高一數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材(第1講)

高一數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材（第1講） 一、本講教學(xué)進(jìn)度1.11.2 (P1-10)二、本講教學(xué)內(nèi)容 1集合2子集3全集和補(bǔ)集三、重點(diǎn)、難點(diǎn)選講 1集合 （1）集合概念. 和幾何中的點(diǎn)、線、面一樣，集合是數(shù)學(xué)中最原始的概念之一，不能用其他基本概念來(lái)定義，它們也叫做不定義的概念或原始概念.課本通過(guò)幾個(gè)具體例子對(duì)集合進(jìn)行描述性的說(shuō)明，這也表明集合概念和其他數(shù)學(xué)概念一樣，是從現(xiàn)實(shí)世界中由具體事物抽象出來(lái)的，而不是數(shù)學(xué)家憑空臆造出來(lái)的.（2）集合中元素的特性.確定性，對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素必須是確定的，也就說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)作為具體研究對(duì)象的元素，都能確定這個(gè)元素是這個(gè)集合的元素或不是這個(gè)集合的元素，兩種情況必有且只有一種為真.因此，諸如“高一（1）班個(gè)子高的同學(xué)”，“比較大的角”，就不能構(gòu)成集合，因?yàn)椤皞€(gè)子高”和“比較大”沒(méi)有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn).互異性，對(duì)于給定集合中的任意兩個(gè)元素，它們必定不相同，即集合中的元素是沒(méi)有重復(fù)現(xiàn)象的，因此，一個(gè)元素在同一集合中只能出現(xiàn)一次.這個(gè)特性在解某些問(wèn)題時(shí)非常重要.無(wú)序性，由于集體是指一組對(duì)象的全體，而不論這些對(duì)象的先后順序，因此在表示集合時(shí)，元素排列的先后順序不影響集合的表示.（3）集合的表示法 表示一個(gè)集合常用下列兩種方法： 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，并寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法叫列舉法.當(dāng)元素個(gè)數(shù)較多，或集合有無(wú)限多個(gè)元素，在用列舉法表集合時(shí)，可以采用省略號(hào)，但應(yīng)很容易按常規(guī)看出該集合中元素的規(guī)律.如：“小于100的正奇數(shù)”集合可以表示為1，3，5，7，9，99；“負(fù)整數(shù)”集合可以表示為-1，-2，-3，-4，. 描述法：把集合中元素的公共屬性描述出來(lái)，用確定的條件表示某些對(duì)象是否屬于這個(gè)集合的方法叫描述法.描述法中，豎線前面是這個(gè)集合的“代表元素”的一般形式，豎線后面是這個(gè)集合元素的公共屬性.如：x|x+3=3x-1表示元素x是方程x+3=3x-1的解，即x=2，亦即x|x+3=3x-1=x|x=2=2。所有整數(shù)組成的集合可以寫成整數(shù)，而所有整數(shù)的寫法就不要當(dāng)了. 用描述法表示集合時(shí)要注意些“代表元素”是什么.如：和表示兩個(gè)不同的集合，前一個(gè)集合就是，后一個(gè)集合是拋物線上所有點(diǎn)組成的集合.（4）符號(hào)“”與“” 表示“屬于”的符號(hào)“”和表示“不屬于”的符號(hào)“”（或）僅表示元素與集合之間的關(guān)系，而不是兩個(gè)集合之間的關(guān)系. 由集合中元素的確定性，對(duì)于任意元素和集合M，在“”和“”這兩種關(guān)系中，必有且僅有一種關(guān)系成立.（5）集合按其中元素的多少，對(duì)只有有限個(gè)元素的集合叫有限集，含有無(wú)限多個(gè)元素的集合叫無(wú)限集.對(duì)于只有一個(gè)元素的集合有時(shí)也叫做單元集. 不含任何元素的集合叫做空集.用“”表示，如：是空集.但不是空集，它是以集合為元素的集合（這個(gè)元素是“”），0也不是空集，它有一個(gè)元素“0”.（6）常用的數(shù)集符號(hào) 以數(shù)為元素的集合叫數(shù)集.按約定，常用的數(shù)集符號(hào)有：N自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）；Z整數(shù)集；正整數(shù)集；Q有理數(shù)集；R實(shí)數(shù)集. 例1 判斷下列各條件所指對(duì)象能否構(gòu)成集合：（1）2000年11月1日零時(shí)在江蘇省內(nèi)的所有中國(guó)人；（2）某校高一（3）班所有視力好的同學(xué)；（3）60的質(zhì)因數(shù)；（4）某校高一年級(jí)字寫得漂亮的同學(xué). 解（1）、（3）兩個(gè)條件所指的對(duì)象具有確定性，因此（1）、（3）兩個(gè)條件所指的對(duì)象可以構(gòu)成集合. （2）、（4）兩個(gè)條件所指的對(duì)象無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，因此（2）、（4）兩個(gè)條件所指的對(duì)象不能構(gòu)成集合.例2 用另一種表示法寫出下列各集合：（1）3的正整數(shù)倍的數(shù)；（2）1，6，11，16，21，26，.解 （1）可用列舉法表示為3，6，9，12，15，； （2）可用描述法表示為被5除余1時(shí)的正整數(shù)，或表示為例3 已知集合2，,，求實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件. 解 由集合中元素的互異性，有 即 得 應(yīng)滿足，且 ，且. 2、子集（1） 子集的定義 對(duì)于兩個(gè)集合A與B，如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，即若x,就必有x,則稱集合A是集合B的子集. 應(yīng)注意，“集合B中的部分元素組成的集合A叫集合B的子集”的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，因?yàn)檫@和“空集是任何集合的子集”的規(guī)定矛盾，也和“任何一個(gè)集合是它本身的子集”的結(jié)論矛盾.（2） 符號(hào)“”、“”、“ ”、“ ”、“”、“”.這幾個(gè)符號(hào)僅適用于兩個(gè)集合之間的關(guān)系，而前面的符號(hào)“”、“”是用于 元素與集合之間的關(guān)系.規(guī)定“空集是任何集合的子集”后，任何一個(gè)集合是它本身 的子集，即.并且可知“空集是任何非空集合的真子集”，但不能說(shuō)“空集是任 何集合的真子集”，因?yàn)榭占皇强占恼孀蛹? 由子集和真子集的定義，容易證明集合的包含關(guān)系有傳遞性，即：若，則；若AB，BC，則AC. （3）集合的相等 若集合A和B，既滿足，又滿足，則這兩個(gè)集合相等，即A=B. 因此要證明A=B，只要證明，同時(shí)有就可以了. （4）韋恩圖 如果兩個(gè)集合A和B有關(guān)系A(chǔ)B，可以用右圖表示，這個(gè)圖常稱為韋恩圖，其中兩條封閉曲線內(nèi)部分別表示集合A和B.韋恩圖可以形象地幫助我們考慮集合中的一些問(wèn)題. （5）集合的子集個(gè)數(shù) 一個(gè)有n個(gè)元素（）的有限集A，它的子集有個(gè)，其中包含空集和它本身A.因此，集合A有個(gè)非空子集（不含，含A），有個(gè)真子集（不含A，含），有個(gè)非空真子集（不含，A）. 例4、判斷下列集合之間的關(guān)系： （1）A=三角形，B=等腰三角形，C=等邊三角形； （2）A=,B=,C=; （3）A=,B=,C=; （4） 解（1）ABC. （2）， CAB. （3） ABC. （4） 當(dāng)時(shí)，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)， AB. 例 5 已知a,bAa,b,c,d,e,求集合A. 解 由已知，集合中必須含有元素a,b. 集合A可能是a,b,a,b,c,a,b,d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e. 評(píng)析 本題集合A的個(gè)數(shù)實(shí)為集合c,d,e的真子集的個(gè)數(shù)，所以共有個(gè) .例 6 （1）已知集合A=x|ax+1=0,B=x|，求滿足條件AB的實(shí)數(shù)a組成的集合M；（2）已知集合A=2，4，x, B=2，且AB，求實(shí)數(shù)x的值；（3）已知A=1，x，2x，1，y，y2，若求實(shí)數(shù)x和y的值.解 （1）B=2，3 由AB，A=，或A=2，或A=3. 若A=，a=0；若A=2,；若A=3,a= （2）AB, 或 由， 由， 當(dāng)x=2 時(shí)，與集合中元素的互異性矛盾. （3）由知A=B. 或（） 由（）得 或 由（）得 或 當(dāng)x=0,y=0,與集合中元素的互異性矛盾. 3. 全集與補(bǔ)集（1） 全集是一個(gè)相對(duì)的概念，它含有與研究的問(wèn)題有關(guān)的各個(gè)集合的全部元素，通常用“U”表示全集. 在研究不同問(wèn)題時(shí)，全集也不一定相同，如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論問(wèn)題時(shí)，實(shí)數(shù)集R就是全集U；在有理數(shù)范圍內(nèi)討論問(wèn)題時(shí)，有理數(shù)集Q就是全集U.（2） 補(bǔ)集也是一個(gè)相對(duì)的概念，若集合A是集合S的子集，則S中所有不屬于A的元素組成的集合稱為S中子集A的補(bǔ)集（余集），記作 sA，即 sA=x|. 當(dāng)S不同時(shí)，集合A的補(bǔ)集也不同. 如：A=1，2，3，4，5，若S=1，2，3，9 則 sA=6，7，8，9；若S=1，2，3，4，5，6，則 sA=6. 由補(bǔ)集的定義，知 s ( sA )=A. 例7 已知U=R，S=x|,A=x|,求 UA， sA . 解 S=. UA=x|. sA=x|. 評(píng)析 求這一類補(bǔ)集時(shí)，常需要借助于數(shù)軸，并且特別需要注意等號(hào)是否成立. 例8 已知全集U=1，3，A=1，x，求 UA. 解 由全集的概念，A， 或 當(dāng)x=3時(shí)，與集合中元素的互異性矛盾. UA=3. 例9 已知集合A=， UA=， UB=，求集合B. 解 由集合A，集合 uA及補(bǔ)集的概念，全集U=. 集合 B和 uB互為全集U中的補(bǔ)集， 集合B= u（ uB）=. 例10 設(shè)全集U=1，3，5，7，集合A=， uA=， 求實(shí)數(shù)p、q的值. 解 設(shè)A=x1，x2, uA=x3，x4， 則 x1，x2，x3，x4. 由韋達(dá)定理， 跟 蹤 練 習(xí) 一、 選擇題1、下列五個(gè)寫法：； 0； 1，2，3=3，2，1 -2，其中不正確的是（ ）A、， B、， C、， D、，2、已知集合M=1，N=1，2，3，4，5，集合P滿足MPN，則這樣的集合P有（ ）A、4個(gè) B、8個(gè) C、14個(gè) D、15個(gè)3、設(shè)P=平行四邊形，Q=菱形，R=矩形，S=正方形，則下列式子中不正確的是（ ）A、PQ S B、QR S C、PR S D、QS4、下列各對(duì)集合中，表示相等的集合的是（ ）A、B、C、D、（-1，2）,-1，25、設(shè)S=Z，A=，B=，則（ ） A、 sA sB B、 sA sB C、 sA = sB D、 sA sB6、已知全集U=，A=，B=，C=，則 A、CA B、C= uB C、A uB D、B= uA二、 填空題7、“被3除余2的自然數(shù)”可以用描述法表示為_.8、已知集合A=x|x=2n-1,nz,B=,則集合A與集合B的關(guān)系為A_B.9、若S=x|x=,A=x|x=,則 SA=_.10、若集合A=x|1x2,B=x|xa,且AB，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.三、 解答題11、設(shè)，集合A=2，B=5，xy+4，且A=B，求x，y.12、已知集合A=x|，B=x|，且AB，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.13、已知集合A=1，1+d，1+2d，B=1，q，q2，若A=B，求實(shí)數(shù)d和q的值.14、設(shè)S=1，2，A=2，|a-1|， SA=a-3，求a的值.答 案 與 提 示一、1C 2D 3B 4C 5A