和差化積公式

和差化積公式正弦、余弦的和差化積公式指高中數學三角函數部分的一組恒等式 sin +sin= 2sin(+)/2cos(-)/2 sin -sin= 2cos(+)/2sin(-)/2 cos +cos= 2cos(+)/2cos(-)/2 cos -cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 【注意右式前的負號】 以上四組公式可以由積化和差公式推導得到證明過程法1sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2的證明過程 因為 sin(+)=sin cos +cos sin ， sin(-)=sin cos -cos sin ， 將以上兩式的左右兩邊分別相加，得 sin(+)+sin(-)=2sin cos ， 設 +=，-= 那么 =(+)/2, =(-)/2 把，的值代入，即得 sin +sin =2sin(+)/2cos(-）/2 法2 根據歐拉公式，e Ix=cosx+isinx 令x=a+b 得e I（a+b）=eia*eib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b） 所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa正切的和差化積tantan=sin()/(coscos)（附證明） cotcot=sin()/(sinsin) tan+cot=cos(-)/(cossin) tan-cot=-cos(+)/(cossin) 證明：左邊=tantan=sin/cossin/cos =(sincoscossin)/(coscos) =sin()/(coscos)=右邊 等式成立注意事項在應用和差化積時，必須是一次同名三角函數方可實行。若是異名，必須用誘導公式化為同名；若是高次函數，必須用降冪公式降為一次 口訣 正加正，正在前，余加余，余并肩 正減正，余在前，余減余，負正弦 反之亦然 生動的口訣：（和差化積） 帥+帥=帥哥 帥-帥=哥帥 哥+哥=哥哥 哥-哥=負嫂嫂 反之亦然記憶方法和差化積公式的形式比較復雜，記憶中以下幾個方面是難點，下面指出了各自的簡單記憶方法。結果乘以2這一點最簡單的記憶方法是通過三角函數的值域判斷。sin和cos的值域都是-1,1，其積的值域也應該是-1,1，而和差的值域卻是-2,2，因此乘以2是必須的。 也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角和差公式后，未抵消的兩項相同而造成有系數2，如： cos(-)-cos(+) =(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin) =2sinsin 故最后需要乘以2。只有同名三角函數能和差化積無論是正弦函數還是余弦函數，都只有同名三角函數的和差能夠化為乘積。這一點主要是根據證明記憶，因為如果不是同名三角函數，兩角和差公式展開后乘積項的形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消和相同的項，也就無法化簡下去了。乘積項中的角要除以2在和差化積公式的證明中，必須先把和表示成兩角和差的形式，才能夠展開。熟知要使兩個角的和、差分別等于和，這兩個角應該是(+)/2和(-)/2，也就是乘積項中角的形式。 注意和差化積和積化和差的公式中都有一個“除以2”，但位置不同；而只有和差化積公式中有“乘以2”。使用哪兩種三角函數的積這一點較好的記憶方法是拆分成兩點，一是是否同名乘積，二是“半差角”(-)/2的三角函數名。 是否同名乘積，仍然要根據證明記憶。注意兩角和差公式中，余弦的展開中含有兩對同名三角函數的乘積，正弦的展開則是兩對異名三角函數的乘積。所以，余弦的和差化作同名三角函數的乘積；正弦的和差化作異名三角函數的乘積。 (-)/2的三角函數名規(guī)律為：和化為積時，以cos(-)/2的形式出現(xiàn)；反之，以sin(-)/2的形式出現(xiàn)。 由函數的奇偶性記憶這一點是最便捷的。如果要使和化為積，那么和調換位置對結果沒有影響，也就是若把(-)/2替換為(-)/2，結果應當是一樣的，從而(-)/2的形式是cos(-)/2；另一種情況可以類似說明。余弦-余弦差公式中的順序相反/負號這是一個特殊情況，完全可以死記下來。 當然，也有其他方法可以幫助這種情況的判定，如(0,內余弦函數的單調性。因為這個區(qū)間內 余弦函數是單