復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)介

小世界效應(yīng)對(duì)于傳播動(dòng)力學(xué)行為的影響.Moore等發(fā)現(xiàn),少量的長(zhǎng)程邊也可以明顯增加網(wǎng)絡(luò)中疾病易于傳染的性質(zhì)57.如果把疾病得以傳播開(kāi)去的傳染率下限（稱(chēng)為傳播閾值）和傳播時(shí)間特性（感染者數(shù)量和傳播持續(xù)時(shí)間之間的關(guān)系）視作網(wǎng)絡(luò)傳播動(dòng)力學(xué)中最重要的可觀測(cè)量,則相比規(guī)則網(wǎng)絡(luò),小世界網(wǎng)絡(luò)的傳播閾值小,傳播速度快.另外,很早人們就觀察到在大規(guī)模的種群中,疾病的流行常常具有某種周期的特性58,59,Kuperman等60最早討論了小世界網(wǎng)絡(luò)中的疾病傳播的周期振蕩,他們發(fā)現(xiàn),當(dāng)長(zhǎng)程邊數(shù)目慢慢增大時(shí),感染個(gè)體數(shù)量的時(shí)間序列將逐步從在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)上下波動(dòng)變成明顯的周期振蕩.熊等通過(guò)在小世界網(wǎng)絡(luò)的SIR模型中引入潛伏期,在不同參數(shù)設(shè)置下,分別得到短時(shí)和長(zhǎng)時(shí)的振蕩行為61.類(lèi)似地,Verdasca等從兒童傳染病麻疹和百日咳的致病機(jī)理出發(fā),系統(tǒng)討論了帶有潛伏期的SIR模型（SEIR模型）在小世界網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為,也發(fā)現(xiàn)了明顯的周期振蕩62.汪小帆,李翔,陳關(guān)榮,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用,清華大學(xué)出版社,2006 S.P.Borgatti,A.J.Mehra,D.J.Brass,G.Labianca,NetworkAnalysisintheSocialSciences,Science323(2009)892-895. 感受：學(xué)海無(wú)涯，還有很多知識(shí)都還未掌握。Barabasi A L;Albert R Emergence of scaling in random networks 1999Watts, D.J. and Strogatz, S.H. (1998) Collective Dynamics of “Small-World” Networks. Nature, 393, 440-442.什么是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)？對(duì)普通人而言，在媒體上看到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，首先想到的是互聯(lián)網(wǎng)，實(shí)際上網(wǎng)絡(luò)已經(jīng)成為Internet的代名詞，確實(shí)Internet從只有幾個(gè)結(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)單的網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展到今天Internet的用戶(hù)已經(jīng)數(shù)以?xún)|計(jì)，即使不考慮終端用戶(hù)，路由器的用戶(hù)也是幾萬(wàn)人，確實(shí)是復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，而且對(duì)互聯(lián)網(wǎng)我們?nèi)鄙俳y(tǒng)一的行政管理機(jī)構(gòu)，可以說(shuō)到今天已經(jīng)沒(méi)有任何一個(gè)人能夠知道互聯(lián)網(wǎng)上所有的路由器到底是怎么聯(lián)結(jié)在一起，就是沒(méi)有互聯(lián)網(wǎng)聯(lián)結(jié)一張很完整的清晰的地圖。世界上除了互聯(lián)網(wǎng)以外，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的例子在我們生活中比比皆是，比如說(shuō)我們把一個(gè)萬(wàn)維網(wǎng)做為一個(gè)結(jié)點(diǎn)，可以說(shuō)至少和我們?nèi)祟?lèi)的數(shù)目相當(dāng)?shù)?，所以萬(wàn)維網(wǎng)也是極其復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。就拿我們?nèi)梭w而言，我們?nèi)梭w當(dāng)中實(shí)際上有各種各樣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，我們大腦當(dāng)中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)際上就是有數(shù)量高于十次方以上大量的神經(jīng)源互相連接在一起，我們?nèi)梭w還有各種各樣的新陳代謝網(wǎng)絡(luò)。那么一條江河里面食物鏈構(gòu)成的食物鏈也是網(wǎng)絡(luò)，甚至大型軟件系統(tǒng)都可以看成是小的對(duì)象類(lèi)通過(guò)互相調(diào)用構(gòu)成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，因此可以說(shuō)絕大部分的事物都可以看成是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。1.2 復(fù)雜性的表征復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性到底體現(xiàn)在哪些方面？1）直觀而言，就是網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，比如說(shuō)互聯(lián)網(wǎng)、路由器和路由器怎么連接，我們沒(méi)有很清晰、很規(guī)則的概念；2）網(wǎng)絡(luò)是不斷演化的，以互聯(lián)網(wǎng)而言，網(wǎng)絡(luò)上我們可以說(shuō)路由器是不斷地增加，路由器與路由器之間的連接也是不斷增長(zhǎng)的；3）連接的多樣性。就像人類(lèi)朋友的關(guān)系，朋友也有親密和疏遠(yuǎn)之分；還有網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性，互聯(lián)網(wǎng)每一個(gè)路由器的動(dòng)力行為，實(shí)際上都是在不停地變化，而且不同的結(jié)點(diǎn)都有不同的動(dòng)力行為，這些都是網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜的因素。那么我們說(shuō)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜，它的復(fù)雜性到底體現(xiàn)在哪些方面？首先第一直觀而言，就是網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，比如說(shuō)互聯(lián)網(wǎng)、路由器和路由器怎么連接，我們沒(méi)有很清晰、很規(guī)則的概念；其次網(wǎng)絡(luò)是不斷演化的，以互聯(lián)網(wǎng)而言，網(wǎng)絡(luò)上我們可以說(shuō)路由器是不斷地增加，路由器與路由器之間的連接也是不斷增長(zhǎng)的；還有一個(gè)就是連接的多樣性。就像人類(lèi)朋友的關(guān)系，朋友也有親密和疏遠(yuǎn)之分；還有網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜性，互聯(lián)網(wǎng)每一個(gè)路由器的動(dòng)力行為，實(shí)際上都是在不停地變化，而且不同的結(jié)點(diǎn)都有不同的動(dòng)力行為，這些都是網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜的因素。今天我想跟大家交流的是關(guān)于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上的復(fù)雜性。那么在研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性之前，我們首先想要關(guān)心的一個(gè)問(wèn)題就是我們?yōu)槭裁匆芯烤W(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)？一個(gè)最主要的理由一個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與它的功能密切相關(guān)。我們大家可以想象一下，我們要想解決一個(gè)城市里面的道路交通堵塞的問(wèn)題，我們首先必須要對(duì)現(xiàn)有的城市交通道路的布局有一個(gè)非常清晰、完整的了解，否則的話(huà)很難想象我們能夠很好解決道路堵塞的問(wèn)題。像時(shí)尚病毒在我們?nèi)祟?lèi)自身構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中的傳播，也與我們?nèi)祟?lèi)社會(huì)的日益網(wǎng)絡(luò)化相關(guān)的，病毒的傳播也是與互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)絡(luò)化相關(guān)的，所以我們之所以研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，就是結(jié)構(gòu)與功能之間有著密切的關(guān)系。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的描述語(yǔ)言描述這種不同類(lèi)型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的共同語(yǔ)言，這樣一種共同的語(yǔ)言，應(yīng)該說(shuō)是由偉大的數(shù)學(xué)家歐拉在十八世紀(jì)就給我們建立了用規(guī)則的圖來(lái)表示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)突破結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究，進(jìn)展有很多，但重要的方面，可以歸為以下這三個(gè)方面：1、網(wǎng)絡(luò)的聚類(lèi)特性。2、盡管網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)很多，但是是不是真的很大，它到底有多小。3、網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中的結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)是否平等。事實(shí)上可以歸為這三個(gè)問(wèn)題。聚類(lèi)特性用一句成語(yǔ)就是網(wǎng)絡(luò)物以類(lèi)聚、人以群分的關(guān)系，以朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)而言的話(huà)，那么我的朋友圈的聚類(lèi)系數(shù)是什么？就是我在我的朋友圈當(dāng)中，任意隨機(jī)找兩個(gè)朋友，我看這兩個(gè)朋友他們兩個(gè)人之間也互相是朋友的概率是多大。我們根據(jù)我們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)來(lái)看，事實(shí)上我的朋友大部分都是我的同事、同學(xué)、鄰居，所以他們相互為朋友的概率事實(shí)上也是不小的，而一個(gè)網(wǎng)絡(luò)如果它真的是完全隨機(jī)的，那么我的朋友當(dāng)中兩個(gè)人互相為朋友的概率應(yīng)該是很小的，所以說(shuō)實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，它并不是完全隨機(jī)的，而是具有比完全隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)高得多的聚類(lèi)的特性，這是最近幾年來(lái)人們通過(guò)對(duì)許多大型的實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)做統(tǒng)計(jì)分析得到的結(jié)論，就是與完全隨機(jī)的網(wǎng)絡(luò)相比，我們的網(wǎng)絡(luò)具有高得多的聚類(lèi)效應(yīng)，確實(shí)是物以類(lèi)聚，人以群分，這是一個(gè)特性。小世界特征對(duì)以下的例子，我們可以發(fā)現(xiàn)小世界這樣一種特征，是不同類(lèi)型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)所共有的一種特征，也就是說(shuō)這些不同類(lèi)型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，盡管他們的規(guī)模都很大，但是兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離比我們想象得要小得多。另外一個(gè)特性，這些網(wǎng)絡(luò)看上去都很大，那么我們從反方面來(lái)說(shuō)，它到底有多小呢？我們要看它有多小，我們就要有具體的概念來(lái)刻劃，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離我們定義為從這個(gè)結(jié)點(diǎn)到那個(gè)結(jié)點(diǎn)所需要的最小的邊數(shù)，我們就稱(chēng)為這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離。一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的平均距離就是網(wǎng)絡(luò)所有的結(jié)點(diǎn)距離，我們?nèi)∑骄?，過(guò)去幾年來(lái)人們對(duì)眾多不同的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)這些網(wǎng)絡(luò)雖然大，但是實(shí)際上這些網(wǎng)絡(luò)都是驚人的小，同樣以人類(lèi)自身的網(wǎng)絡(luò)為例的話(huà)，實(shí)際上在二十世紀(jì)六十年代美國(guó)一個(gè)社會(huì)科學(xué)家就通過(guò)一系列的實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)在我們地球上隨機(jī)找兩個(gè)人，這兩個(gè)人之間，從平均的意義上來(lái)講，這兩個(gè)人通過(guò)六層朋友關(guān)系就能拉上關(guān)系，這就是社會(huì)學(xué)上的所謂六度分割原理，這樣的六度分割原理，我想絕大部分的人都有這樣的體驗(yàn)。比如說(shuō)我們有的時(shí)候在一起吃飯的時(shí)候，原來(lái)這兩個(gè)人是互相不認(rèn)識(shí)的，但是大家聊一聊、談一談就發(fā)現(xiàn)你認(rèn)識(shí)甲先生，而甲先生是我的好朋友，聊一聊就會(huì)拉上關(guān)系，大家都會(huì)有這個(gè)體會(huì)，常常說(shuō)這個(gè)世界真小，這實(shí)際上就是反映我們?nèi)祟?lèi)社會(huì)小世界的特征。那么事實(shí)上具有這種小世界特征的網(wǎng)絡(luò)絕不是人類(lèi)社會(huì)本身這個(gè)網(wǎng)絡(luò)一個(gè)。在前幾年，美國(guó)的科學(xué)家們把好萊塢所有老的電影演員拿來(lái)做實(shí)驗(yàn)，比如說(shuō)一個(gè)演員是一個(gè)結(jié)點(diǎn)，兩個(gè)演員他們合作在同一部電影演出，劃一個(gè)邊，通過(guò)所有演員分析表明，平均來(lái)講兩個(gè)演員之間的距離比6還小，也就是3至4的樣子。以萬(wàn)維網(wǎng)為例，萬(wàn)維網(wǎng)在1999年統(tǒng)計(jì)大概是10億的數(shù)量級(jí)，那么美國(guó)一些物理學(xué)家就設(shè)計(jì)了一種軟件，通過(guò)這個(gè)軟件對(duì)萬(wàn)維網(wǎng)做數(shù)據(jù)采集分析發(fā)現(xiàn)，萬(wàn)維網(wǎng)中的平均距離是19個(gè)連接，這是什么概念？就是說(shuō)你在互聯(lián)網(wǎng)上隨機(jī)任意取兩點(diǎn)，不斷 點(diǎn)這上面的超級(jí)鏈節(jié)按19次鼠標(biāo)就能到達(dá)另一點(diǎn)，這就是萬(wàn)維網(wǎng)小世界特征。以互聯(lián)網(wǎng)為例，我們路由器的數(shù)量已經(jīng)是數(shù)以幾十萬(wàn)計(jì)，但是平均兩個(gè)路由器之間的距離也就是10左右。以食物鏈為例子，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，對(duì)食物鏈網(wǎng)絡(luò)而言，兩個(gè)物種的距離只有2，以我們生物體當(dāng)中的新陳代謝網(wǎng)絡(luò)而言，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，大量的新陳代謝網(wǎng)絡(luò)都是小世界網(wǎng)絡(luò)，它們平均距離都是3左右，驚人得小。通過(guò)一個(gè)很小的動(dòng)物，就是魯蟲(chóng)，這個(gè)動(dòng)物的神經(jīng)源距離是14、我們?nèi)祟?lèi)的語(yǔ)言，我們每天都在使用不同的語(yǔ)言講話(huà)，也許大家沒(méi)有想到過(guò)我們?nèi)祟?lèi)的語(yǔ)言也可以看作是一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。以英語(yǔ)為例，我們可以把每一個(gè)單詞看做是一個(gè)結(jié)點(diǎn)，如果兩個(gè)單詞它們?cè)谕粋€(gè)句子當(dāng)中出現(xiàn)過(guò)，我們就認(rèn)為這兩個(gè)單詞之間是直接關(guān)聯(lián)的，就加一個(gè)邊，這樣我們可以把語(yǔ)言看作是一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)。通過(guò)對(duì)英語(yǔ)的統(tǒng)計(jì)分析，兩個(gè)單詞之間的平均距離，實(shí)際上只有2至3。以我們電子線(xiàn)路為例，我們一塊電路板上往往都有很多的元件，如果兩個(gè)元件之間有兩個(gè)聯(lián)線(xiàn)相連，就畫(huà)一條邊，我們發(fā)現(xiàn)電路板上的平均距離也只有4?；氐轿覀兛蒲腥藛T本身，我們談一下科研合作網(wǎng)絡(luò)，實(shí)際上在對(duì)SARS病毒的研究方面，我們之所以能夠在這么短的幾個(gè)月里面，對(duì)SARS的研究方面，應(yīng)該說(shuō)還是取得了很大的進(jìn)展，很大的程度上應(yīng)該歸功于我們能夠迅速組織起來(lái)的科研合作網(wǎng)絡(luò)，在這里我們可以看到一個(gè)科研合作網(wǎng)絡(luò)的每一個(gè)科學(xué)家、每一個(gè)科研人員，我們把他們看作一個(gè)結(jié)點(diǎn)，如果兩個(gè)科學(xué)家、兩個(gè)科研人員合作發(fā)表過(guò)一篇文章的話(huà)，我們就把這兩個(gè)結(jié)點(diǎn)畫(huà)一條邊，這樣我們就可以得到一個(gè)科學(xué)合作網(wǎng)絡(luò)，研究人員通過(guò)對(duì)不同學(xué)科、不同領(lǐng)域的科學(xué)合作網(wǎng)絡(luò)所做的統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，這些科學(xué)合作網(wǎng)絡(luò)都具有小世界的特征，也就是說(shuō)兩個(gè)科學(xué)家之間平均距離也是在4至9之間，也是很驚人得小。比如說(shuō)在數(shù)學(xué)史上，最多產(chǎn)的一個(gè)科學(xué)家，二十世紀(jì)最著名的科學(xué)家阿爾多斯，他一生發(fā)表過(guò)一千多篇文章，我查到我和他的平均距離，實(shí)際上驚人得小，只有3。為什么實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)都具有這樣一種小世界的特征？這方面突破性的進(jìn)展，是在1998年美國(guó)康乃爾大學(xué)的導(dǎo)師和學(xué)生提出來(lái)小世界模型。他們小世界模型首先是從一個(gè)規(guī)則的，但是局部連接的網(wǎng)絡(luò)開(kāi)始的，如果我們把這個(gè)網(wǎng)絡(luò)看成是朋友關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的話(huà)，就是說(shuō)左邊局部規(guī)則的網(wǎng)絡(luò)，就是假設(shè)每個(gè)人的朋友都在我的周?chē)?，如果我們的朋友關(guān)系真是這樣的網(wǎng)絡(luò)的話(huà)，那么這樣的網(wǎng)絡(luò)具有很高的聚類(lèi)特性，但是它是大世界，就是全世界人口有70億的話(huà)，從這個(gè)頂點(diǎn)到另外一個(gè)頂點(diǎn)的距離，跟我們?nèi)祟?lèi)的數(shù)量是相等的，所以這是一個(gè)大世界。那么他們通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，我們只要在這樣一個(gè)局部連接網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，引入非常少量的長(zhǎng)城連接，就可以使原來(lái)大世界的網(wǎng)絡(luò)，變成一個(gè)小世界的網(wǎng)絡(luò)，也就是說(shuō)可以使兩個(gè)人之間的距離變得非常小。以朋友關(guān)系為例，就是說(shuō)我們只要有少量的人，他具有少量遠(yuǎn)在異國(guó)他鄉(xiāng)的朋友的話(huà)，就能使我們整個(gè)人類(lèi)變成一個(gè)小世界的網(wǎng)絡(luò)。我們前面談到了實(shí)際網(wǎng)絡(luò)具有比較高的聚類(lèi)效應(yīng)，而且實(shí)際網(wǎng)絡(luò)盡管它們的規(guī)模都很大，但是其實(shí)它們也有很小的方面。下面我們看一看實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)之間在地位上是否平等呢？要表述這個(gè)問(wèn)題就要引出另外一個(gè)概念，就是度分布的概念，所謂一個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)分布的話(huà)，就是你有多少個(gè)朋友，這個(gè)K就是你的度，那么什么叫做度分布的概念？就是說(shuō)我們以朋友網(wǎng)絡(luò)關(guān)系而言，我們隨機(jī)找一個(gè)人看看他有K個(gè)朋友的概率是多大，這個(gè)概率就是這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的度分布。那么我們研究人員在過(guò)去幾年里面，在對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的度分布上面，發(fā)現(xiàn)了什么樣的特征呢？我們學(xué)過(guò)概率統(tǒng)計(jì)的朋友可能都知道，我們最常用的分布，就是我們科研人員最常用的分布就是正態(tài)分布，具有這種分布的網(wǎng)絡(luò)，它具有一個(gè)明顯的特征長(zhǎng)度K，就是以我們這個(gè)城市。以我們高速公路網(wǎng)為例，那么通過(guò)每一個(gè)大城市的高速公路數(shù)目應(yīng)該來(lái)說(shuō)差別都不太大，就是不可能說(shuō)一個(gè)城市有幾百條高速公路都穿過(guò)這個(gè)城市，那么航空交通網(wǎng)就大不一樣，右邊是美國(guó)航空交通網(wǎng)的圖，很多機(jī)場(chǎng)實(shí)際上都是不大的，每天的航班數(shù)目都不太多，但是有少量的大的機(jī)場(chǎng)它幾乎每分鐘都有飛機(jī)不停地在升起降下，比如說(shuō)芝加哥、亞特蘭大、紐約等等，對(duì)網(wǎng)絡(luò)連接起很重要的作用，就是把這幾個(gè)大機(jī)場(chǎng)關(guān)閉，整個(gè)航空交通網(wǎng)絡(luò)就會(huì)癱瘓。那么我們只是關(guān)掉小的機(jī)場(chǎng)的話(huà)，可以說(shuō)對(duì)整個(gè)航空交通網(wǎng)絡(luò)是沒(méi)有影響的，所以航空交通網(wǎng)跟城市的高速公路交通網(wǎng)是有很大的區(qū)別。那么研究人員通過(guò)對(duì)許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的研究，就發(fā)現(xiàn)許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)都具有像航空交通網(wǎng)的性質(zhì)，就是這種網(wǎng)絡(luò)它的連接度分布是一種我們稱(chēng)之為PK的分布，就是K的冪次方，具有這種冪度的分布網(wǎng)絡(luò)，由于沒(méi)有明顯的特征長(zhǎng)度，所以我們稱(chēng)之為五次度網(wǎng)絡(luò)。以互聯(lián)網(wǎng)為例，就是五次度網(wǎng)絡(luò)，大量的路由器只有少量的路由器連接，但是大量的互聯(lián)網(wǎng)路由器與眾多的其他的路由器相連接。對(duì)這種互聯(lián)網(wǎng)的五次度網(wǎng)絡(luò)特征發(fā)現(xiàn)，也影響到了我們對(duì)互聯(lián)網(wǎng)突破結(jié)構(gòu)發(fā)生器的研究工作，大家知道，我們互聯(lián)網(wǎng)的規(guī)模發(fā)展到今天這么大，我們有了一種新的想法，我們是不可能立即在實(shí)際的網(wǎng)絡(luò)上面做實(shí)驗(yàn)，我們往往都要做大量的仿真實(shí)驗(yàn)，而這些仿真實(shí)驗(yàn)效果怎么樣，很大程度上取決于我們互聯(lián)網(wǎng)仿真模型是否與實(shí)際的互聯(lián)網(wǎng)相符合。運(yùn)行在互聯(lián)網(wǎng)上的萬(wàn)維網(wǎng)，也是具有五次度特性的網(wǎng)絡(luò)。那么萬(wàn)維網(wǎng)實(shí)際上是一種有向的網(wǎng)絡(luò)，為什么稱(chēng)為是有向的網(wǎng)絡(luò)？就是說(shuō)萬(wàn)維網(wǎng)就像我的主頁(yè)上有一些超級(jí)鏈節(jié)，比如說(shuō)我有一個(gè)指向新浪網(wǎng)的主頁(yè)，但是新浪網(wǎng)上面沒(méi)有指向我的主頁(yè)，所以我們可以畫(huà)出兩張地圖，就是只考慮每一個(gè)出去的網(wǎng)絡(luò)，另外一個(gè)就是只考慮有多少個(gè)外面的指向它，通過(guò)對(duì)兩張地圖的統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，都具有五次度特征。這種五次度特征表示萬(wàn)維網(wǎng)什么特性？就是不規(guī)則的特性。像我的個(gè)人主頁(yè)很少有別的主頁(yè)能夠加上我的個(gè)人主業(yè)的超級(jí)鏈接，而成千上萬(wàn)能夠指向新浪網(wǎng)的超級(jí)鏈接。很多新陳代謝的網(wǎng)絡(luò)也具有這種五次度特征，有一篇文章提到在癌癥上面非常重要的網(wǎng)絡(luò)叫P53網(wǎng)絡(luò)，就提到這樣一個(gè)觀點(diǎn)，我們理解P53網(wǎng)絡(luò)一種方式就是把它與互聯(lián)網(wǎng)相比較，細(xì)胞和互聯(lián)網(wǎng)一樣也具有五次度的特征。我們科學(xué)引用網(wǎng)絡(luò)而言，即我們把每發(fā)表的一篇文章當(dāng)做一個(gè)結(jié)點(diǎn)，文章后面參考文獻(xiàn)，就構(gòu)成了文章與文章之間相互引用關(guān)系，組成了科學(xué)引用網(wǎng)絡(luò)，研究人員發(fā)現(xiàn)，對(duì)不同學(xué)科而言，這種科學(xué)引用網(wǎng)絡(luò)都具有這種五次度特征。通過(guò)這些例子，我們就要問(wèn)，像復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中哪些少量大的結(jié)點(diǎn)是怎么產(chǎn)生的？為什么這些復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)它們的連接分布具有這種分布的特性？在1999年的時(shí)候，二個(gè)物理學(xué)家發(fā)表了一篇文章，就提出五次度網(wǎng)絡(luò)模型，他們認(rèn)為之所以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)會(huì)產(chǎn)生這種五次度特性，是有兩個(gè)很重要的機(jī)理：一個(gè)是網(wǎng)絡(luò)不斷增長(zhǎng)的特性，也就是我們?nèi)f維網(wǎng)上每天都有新的站點(diǎn)產(chǎn)生，以科研人員為例，就是有不同的科研成果加進(jìn)來(lái)；第二就是網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)優(yōu)先連接特點(diǎn)，就是富的人更富這樣的特性。這是什么意思？比如說(shuō)以萬(wàn)維網(wǎng)為言，我在建立我個(gè)人主頁(yè)的時(shí)候，我在我個(gè)人主頁(yè)建立超級(jí)鏈接，主要先想到新浪、雅虎這樣著名的站點(diǎn)，越具有高知名度的結(jié)點(diǎn)，后面的結(jié)點(diǎn)越想跟他們連接，就是富的人越富。發(fā)表文章我們參考的時(shí)候，越是著名的文章我們大家越想引用它，就是這兩個(gè)機(jī)理使得復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)具有五次度特性。這幾年還有大量的研究，我們就不詳細(xì)介紹了?？偟膩?lái)看，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特征的研究，我們看到許多的實(shí)際網(wǎng)絡(luò)盡管規(guī)模很大，但是還是比較緊密的聯(lián)系在一起的，而且盡管它的規(guī)模很大，實(shí)際上結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)之間的距離遠(yuǎn)比我們想象的小得多，也就是世界上也很小的，盡管網(wǎng)絡(luò)規(guī)模很大，但是網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)之間的地位是不平等的，就是我們的網(wǎng)絡(luò)世界實(shí)際上也是不平等的，就是歸納起來(lái)就是這樣三種主要的特性。3.3魯棒性研究網(wǎng)絡(luò)的這些結(jié)構(gòu)上的特征本身并不是我們的目的，我們的目的是想看看這些結(jié)構(gòu)上的特征與網(wǎng)絡(luò)的行為之間到底有什么樣的關(guān)系，或者說(shuō)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)是怎么樣影響網(wǎng)絡(luò)的行為的？這里我們簡(jiǎn)單談一下三個(gè)方面：網(wǎng)絡(luò)的脆弱性；網(wǎng)絡(luò)上的統(tǒng)分化行為；網(wǎng)絡(luò)上的病毒傳播機(jī)制。一個(gè)系統(tǒng)，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，它的某個(gè)脆弱的方面，我們?cè)诳茖W(xué)方面通常也把它稱(chēng)為這個(gè)系統(tǒng)的阿基尼斯的腳后跟，為什么稱(chēng)為阿基尼斯腳后跟，阿基尼斯是古希臘出生的一個(gè)英雄，他的母親把他放在禁河里，所以就力大無(wú)窮，他母親是抓著他的腳后跟放入禁河，只有腳后跟是凡人，別人就射他的腳后跟，所以我們稱(chēng)之為阿基尼斯的腳后跟。Internet的阿基尼斯腳后跟，在這期發(fā)表的文章當(dāng)中，就研究了具有五次度特征的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，它的魯棒性和脆弱性，就是把這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的一些結(jié)點(diǎn)去掉，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否還是一個(gè)完整的網(wǎng)絡(luò)。以互聯(lián)網(wǎng)為例，我們互聯(lián)網(wǎng)的前身是具有幾個(gè)結(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)演變而來(lái)的，美國(guó)國(guó)防部當(dāng)時(shí)在設(shè)計(jì)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)候，一個(gè)很重要的因素就是希望我這個(gè)網(wǎng)絡(luò)在受到蘇聯(lián)攻擊的時(shí)候，它仍然能夠保持通信的暢通，互聯(lián)網(wǎng)現(xiàn)在發(fā)展成為這樣巨大的網(wǎng)絡(luò)，是否還具有魯棒性，對(duì)數(shù)據(jù)仿真研究發(fā)現(xiàn)，確實(shí)我們的互聯(lián)網(wǎng)它對(duì)隨機(jī)性的鼓掌具有非常高的魯棒性，這實(shí)際上也是與我們今天的現(xiàn)實(shí)相符合，我們每天都在使用互聯(lián)網(wǎng)，也許我們沒(méi)有注意到在互聯(lián)網(wǎng)上每天都有數(shù)以百計(jì)的路由器在發(fā)生故障，而我們普通用戶(hù)都沒(méi)有感覺(jué)到這些故障，我們還能在互聯(lián)網(wǎng)上沖浪，這就是互聯(lián)網(wǎng)高度容忍的隨機(jī)性和魯棒性，為什么互聯(lián)網(wǎng)有這樣的魯棒性？研究認(rèn)為互聯(lián)網(wǎng)路由器具有的五次度特征有關(guān)系，也就是互聯(lián)網(wǎng)上有少量的路由器，它們與其他眾多的路由器相關(guān)聯(lián)，這些少量的路由器只要能正常運(yùn)行，就能保證整個(gè)Internet能夠正常運(yùn)行。但是從另外一個(gè)方面來(lái)講，正是由于少量的結(jié)點(diǎn)，它對(duì)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行所起的重要的作用，也使得我們互聯(lián)網(wǎng)對(duì)惡意的攻擊具有很強(qiáng)的脆弱性，也就是說(shuō)如果我要使我們的互聯(lián)網(wǎng)陷入癱瘓的話(huà)，我只要對(duì)哪些少量的連接度很高的結(jié)點(diǎn)，只要使不超過(guò)5的結(jié)點(diǎn)癱瘓的話(huà)，就可以使Internet癱瘓，這也是它不利的一個(gè)方面。那篇文章的觀點(diǎn)就認(rèn)為這種復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)對(duì)隨機(jī)性故障的魯棒性和對(duì)惡意攻擊的脆弱性是五次度特征的共性。而事實(shí)上，近些年不同領(lǐng)域的科學(xué)家對(duì)不同事物進(jìn)行研究分析，魯棒當(dāng)同時(shí)脆弱是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)最重要的特征，比如說(shuō)航天飛機(jī)，我們?cè)O(shè)計(jì)航天飛機(jī)的時(shí)候，顯然我們總是失望，對(duì)我們能夠想到的各種干擾，我們希望航空飛機(jī)能夠順利回到地面，但是我們還是不幸出現(xiàn)了哥倫比亞號(hào)的災(zāi)難，就是實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)既具有魯棒性，也具有脆弱性的一面。3.4網(wǎng)絡(luò)同步實(shí)際上同步化現(xiàn)象是宇宙當(dāng)中最樸實(shí)的現(xiàn)象，對(duì)同步化在科學(xué)上做研究，可以追溯到十九世紀(jì)一個(gè)科學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)兩個(gè)掛鐘在一個(gè)地方，一個(gè)時(shí)期以后就會(huì)是同步，而以前是不同步的。比如說(shuō)夏天有一棵樹(shù)上有很多的螢火蟲(chóng)，可能一開(kāi)始閃滅的時(shí)間都不同，但是一段時(shí)間以后就可以同時(shí)閃滅，就像手電筒一開(kāi)一關(guān)一樣。窗外蟋蟀叫響的聲音是不同的，但是過(guò)一段時(shí)間就會(huì)聽(tīng)到蟋蟀同時(shí)叫，同時(shí)不叫。演講的時(shí)候，觀眾都要給以掌聲，但是最初幾秒鐘大家的掌聲比較雜亂，但是很快過(guò)了幾秒鐘我們的掌聲就會(huì)非常整齊一致。2001年發(fā)表的一篇文章就是探討議會(huì)中這些觀眾的掌聲一開(kāi)始不同步，幾秒鐘以后就會(huì)同步。在高科技領(lǐng)域也有很多同步化的現(xiàn)象，比如說(shuō)路由器振蕩的同步。激光之所以有可能產(chǎn)生，就是因?yàn)閿?shù)以萬(wàn)以計(jì)的原子，它們同時(shí)釋放出具有同樣的分子產(chǎn)生的。同步并不都是有利的，在很多場(chǎng)合同步也是有害的，比如說(shuō)英國(guó)在為了迎接新千年的到來(lái)，建立了一座千年大橋，開(kāi)放后不久有一天晚上，這個(gè)大橋上面人數(shù)眾多，大家走路又產(chǎn)生了某種共振，使千年大橋發(fā)生了劇烈的晃動(dòng)，迫使工作人員不得不把這座大橋關(guān)閉，這就是同步化造成的危害。以互聯(lián)網(wǎng)為例，普通公眾沒(méi)有意識(shí)到互聯(lián)網(wǎng)上有多少同步化的危害，比如說(shuō)互聯(lián)網(wǎng)上的路由器，每一個(gè)路由器都要周期性的發(fā)布路由消息，而盡管各個(gè)路由器它都是自己來(lái)決定它什么時(shí)候發(fā)布路由消息的，但是研究人員發(fā)現(xiàn)不同路由器它們發(fā)送路由消息，最終會(huì)達(dá)到同步化現(xiàn)象，也就是大家要不同時(shí)發(fā)布路由消息，要不發(fā)布，這顯然對(duì)網(wǎng)絡(luò)的擁塞，這都是不利的行為。前面談到同步化的行為，科學(xué)家就想到這些不同類(lèi)型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為什么會(huì)產(chǎn)生這些同步化的現(xiàn)象，就是在不同類(lèi)型的同步化現(xiàn)象背后共同的特征是什么？特別是近幾年人們也把同步化現(xiàn)象產(chǎn)生與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)突破結(jié)構(gòu)結(jié)合起來(lái)，在這方面通過(guò)研究，我們就發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中，任何兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間，都是直接相連的話(huà)，那么只要這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模足夠大的話(huà)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)之間的結(jié)點(diǎn)必然會(huì)產(chǎn)生同步化現(xiàn)象。而對(duì)于一個(gè)只有局部相連的規(guī)則網(wǎng)絡(luò)而言，對(duì)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)而言，不管兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的連接強(qiáng)度有多大，只要網(wǎng)絡(luò)規(guī)模足夠大的話(huà)，這樣的網(wǎng)絡(luò)是不可能達(dá)到同步的。而我們關(guān)于小世界網(wǎng)絡(luò)的研究，我們發(fā)現(xiàn)只要在原來(lái)局部規(guī)則網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上，引入少量的幾個(gè)長(zhǎng)城鏈接，就能夠顯著改善網(wǎng)絡(luò)同步化的能力。對(duì)五次度網(wǎng)絡(luò)同步化的實(shí)驗(yàn)表明，由于網(wǎng)絡(luò)的非均勻特性，就是少量結(jié)點(diǎn)在五次度網(wǎng)絡(luò)的作用，相當(dāng)于幾個(gè)結(jié)點(diǎn)起作用，這樣使得五次度網(wǎng)絡(luò)與新型網(wǎng)絡(luò)類(lèi)似同步化的能力也是非常強(qiáng)的，所以說(shuō)這就在一定程度上解釋了為什么許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)它都具有一種同步化的趨勢(shì)。3.5網(wǎng)絡(luò)傳播復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)傳播現(xiàn)象，也就是最初一個(gè)局部的小的故障，小的擾動(dòng)是怎么在網(wǎng)絡(luò)當(dāng)中傳播的，怎么樣最終影響整個(gè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)行為的。例如，由于狂風(fēng)暴雨，使得某一個(gè)地方的電線(xiàn)桿倒了，這就有可能在很短時(shí)間內(nèi)導(dǎo)致一片城區(qū)都斷電，這就是電力網(wǎng)中的連鎖故障。經(jīng)濟(jì)活動(dòng)為例，最簡(jiǎn)單的例子就是亞洲金融危機(jī)，在1997年亞洲金融危機(jī)發(fā)生之前，那些發(fā)生危機(jī)的國(guó)家它們的經(jīng)濟(jì)建立了長(zhǎng)達(dá)十幾年的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，