小學(xué)4年級全冊數(shù)學(xué)知識點匯總第19講：最值問題初步（教師版）

第十九講 最值問題初步極端分析法, 賦值法又稱特殊值法，給代數(shù)或者方程式的某些字母賦予一定的特殊值，從而達到解題目的最值原理 ,根據(jù)一個不變量來確定另一變量的最大值或最小值。拆數(shù)問題把數(shù)字變換分解的方法叫做拆數(shù)問題1.有4袋糖塊，其中任意3袋的總和都超過60塊那么這4袋糖塊的總和最少有多少塊?【分析與解】 方法一：設(shè)這4袋為A、B、C、D，為使4袋糖塊的總和最少，則每袋糖應(yīng)盡量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21塊糖則當(dāng)A、B、D三袋糖在一起時，為了滿足條件，D袋糖不少于21塊，驗證A、B、C、D這4袋糖依次有20，20，2l，2l時滿足條件，且總和最少這4袋糖的總和為20+20+21+21=82塊方法二：設(shè)這4袋糖依次有a、b、c、d塊糖，有，+得：3（a+b+c+d）244,所以a+b+c+d81,因為a+b+c+d均是整數(shù)，所以a+b+c+d的和最小是82評注：不能把不等式列為，如果這樣將+得到3(a+b+c+d)240,a+b+c+d80，因為a、b、c、d均是整數(shù)，所以a+b+c+d的和最小是81.至于為什么會出現(xiàn)這種情況如何避免,希望大家自己解決.2用1，3，5，7，9這5個數(shù)字組成一個三位數(shù)ABC和一個兩位數(shù)DE，再用O，2，4，6，8這5個數(shù)字組成一個三位數(shù)FGH和一個兩位數(shù)IJ求算式ABCDE-FGHIJ的計算結(jié)果的最大值【分析與解】 為了使ABCDE-FGHIJ盡可能的大，ABCDE盡可能的大，F(xiàn)GHIJ盡可能的小則ABCDE最大時，兩位數(shù)和三位數(shù)的最高位都最大，所以為7、9，然后為3、5，最后三位數(shù)的個位為1，并且還需這兩個數(shù)盡可能的接近，所以這兩個數(shù)為751，93則FGHIJ最小時，最高位應(yīng)盡可能的小，并且兩個數(shù)的差要盡可能的大，應(yīng)為46820所以ABCDE-FGHIJ的最大值為75193-46820=60483評注：類似的還可以算出FGHIJ-ABCDE的最大值為64082-37915=467953將6，7，8，9，10按任意次序?qū)懺谝粓A周上，每相鄰兩數(shù)相乘，并將所得5個乘積相加，那么所得和數(shù)的最小值是多少?【分析與解】 我們從對結(jié)果影響最大的數(shù)上人手，然后考慮次大的，所以我們首先考慮10，為了讓和數(shù)最小，10兩邊的數(shù)必須為6和7 然后考慮9，9顯然只能放到圖中的位置，最后是8，8的位置有兩個位置可放，而且也不能立即得到哪個位置的乘積和最小，所以我們兩種情況都計算 87+710+106+69+98=312; 97+710+106+68+89=313所以，最小值為3124一個兩位數(shù)被它的各位數(shù)字之和去除，問余數(shù)最大是多少?【分析與解】設(shè)這個兩位數(shù)為=lOa+b，它們的數(shù)字和為a+b,因為lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b9a(moda+b)，設(shè)最大的余數(shù)為k，有9ak(mod a+b)特殊的當(dāng)a+b為18時，有9a=k+18m，因為9a、18m均是9的倍數(shù)，那么k也應(yīng)是9的倍數(shù)且小于除數(shù)18，即0，9，也就是說余數(shù)最大為9；所以當(dāng)除數(shù)a+b不為18，即最大為17時，:余數(shù)最大為16，除數(shù)a+b只能是17，此時有9a=15+17m，有 (t為可取0的自然數(shù))，而a是一位數(shù)，顯然不滿足；：余數(shù)其次為15，除數(shù)a+b只能是17或16，除數(shù)a+b=17時，有9a=15+17m,有,(t為可取0的自然數(shù))，a是一位數(shù)，顯然也不滿足；除數(shù)a+b=16時，有9a=15+16m,有(t為可取0的自然數(shù))，因為a是一位數(shù)，所以a只能取7，對應(yīng)b為16-7=9，滿足；所以最大的余數(shù)為15，此時有兩位數(shù)79(7+9)=4155用1，2，3，4，5，6，7，8，9這9個數(shù)字各一次，組成一個被減數(shù)、減數(shù)、差都是三位數(shù)的正確的減法算式，那么這個算式的差最大是多少?【分析與解】考慮到對差的影響大小，我們先考慮百位數(shù)，為了讓差最大，被減數(shù)的百位為9，減數(shù)的百位為1，如果差的百位為8，那算式就是如下形式：剩下的6個數(shù)字為2、3、4、5、6、7，因為百位數(shù)字為8，所以我們可以肯定被減數(shù)的十位數(shù)字比減數(shù)要大，而且至少大2，因為1已經(jīng)出現(xiàn)在算式中了，算式的可能的形式如下： 得數(shù)的十位只可能是減數(shù)和被減數(shù)的十位數(shù)字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但這時剩下的數(shù)都無法使算式成立再考慮差的百位數(shù)字為7的情況，這時我們可以肯定減數(shù)的十位數(shù)比被減數(shù)要大，為了使差更大，我們希望差值的十位為8，因此，算式可能的形式為：再考慮剩下的三個數(shù)字，可以找到如下幾個算式：，所以差最大為7846.4個不同的真分數(shù)的分子都是1，它們的分母有2個是奇數(shù)、2個是偶數(shù)，而且2個分母是奇數(shù)的分數(shù)之和與2個分母是偶數(shù)的分數(shù)之和相等這樣的奇數(shù)和偶數(shù)很多，小明希望這樣的2個偶數(shù)之和盡量地小，那么這個和的最小可能值是多少?【分析與解】設(shè)這四個分數(shù)為上、(其中m、n、a、b均為非零自然數(shù))有+=+，則有-=-，我們從m=1,b=1開始試驗：=+=+，=+=+，=+=+，=+=+，=+=+， 我們發(fā)現(xiàn)，和分解后具有相同的一項，而且另外兩項的分母是滿足一奇一偶，滿足題中條件：+=+，所以最小的兩個偶數(shù)和為6+10=167.有13個不同的自然數(shù)，它們的和是100問其中偶數(shù)最多有多少個?最少有多少個？【分析與解】 13個整數(shù)的和為100，即偶數(shù)，那么奇數(shù)個數(shù)一定為偶數(shù)個，則奇數(shù)最少為2個，最多為12個；對應(yīng)的偶數(shù)最多有11個，最少有1個但是我們必須驗證看是否有實例符合當(dāng)有11個不同的偶數(shù)，2個不同的奇數(shù)時，11個不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2個不同的奇數(shù)和最小為1+3=4它們的和最小為132+4=136，顯然不滿足：當(dāng)有9個不同的偶數(shù)，4個不同的奇數(shù)時，9個不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4個不同的奇數(shù)和最小為1+3+5+7=16，還是大于100，仍然不滿足；當(dāng)有7個不同的偶數(shù)，6個不同的奇數(shù)時，7個不同的偶數(shù)和最小為2+4+6+8+10+12+14=56，6個不同的奇數(shù)和為1+3+5+7+9+11：36，滿足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即為100類似的可知，最少有5個不同的偶數(shù)，8個不同的奇數(shù)，有2，4，8，10，16，135，7，9，11，13，15滿足所以，滿足題意的13個數(shù)中，偶數(shù)最多有7個，最少有5個1用1，3，5，7，9這5個數(shù)字組成一個三位數(shù)ABC和一個兩位數(shù)DE，再用O，2，4，6，8這5個數(shù)字組成一個三位數(shù)FGH和一個兩位數(shù)IJ求算式ABCDE-FGHIJ的計算結(jié)果的最大值A(chǔ)1. 一把鑰匙只能開一把鎖.現(xiàn)在有4把鑰匙4把鎖,但不知哪把鑰匙開哪把鎖最多要試次才能配好全部的鑰匙和鎖.2. 用長和寬分別是4厘米和3厘米的長方形小木塊,拼成一個正方形,最少要用這樣的木塊塊.3.一個一位小數(shù)用四舍五入法取近似值精確到萬位,記作50000.在取近似值以前,這個數(shù)的最大值是.B1.100個自然數(shù),它們的總和是10000,在這些數(shù)里,奇數(shù)的個數(shù)比偶數(shù)的個數(shù)多,那么這些數(shù)里至多有個偶數(shù).2975935972( ),要使這個連乘積的最后四個數(shù)字都是零.在括號內(nèi)最小應(yīng)填.8649877423. 有三個連續(xù)自然數(shù),它們依次是12、13、14的倍數(shù),這三個連續(xù)自然數(shù)中(除13外)是13倍數(shù)的那個數(shù)最小是.4.下圖九個數(shù)中取出三個數(shù)來,這三個數(shù)都不在同一橫行,也不在同一縱行.問:怎樣取才能使這三個數(shù)之和最大,最大數(shù)是.C1農(nóng)民叔叔阿根想用20塊長2米,寬1.2米的金屬網(wǎng)建一個靠墻的長方形雞窩.為了防止雞飛出,所建雞窩的高度不得低于2米,要使雞窩面積最大,長方形的長和寬分別應(yīng)是.2.一個三角形的三條邊長是三個兩位的連續(xù)偶數(shù),它們的末位數(shù)字和能被7整除,這個三角形的最大周長等于.3農(nóng)場計劃挖一個面積為432m2的長方形養(yǎng)魚池,魚池周圍兩側(cè)分別有3m和4m的堤堰如圖所示,要想占地總面積最小,水池的長和寬應(yīng)為.1.某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡,每張240元,使用規(guī)定:不記名,每卡每次只限一人,每人只限一次.某班有48名學(xué)生,老師打算組織學(xué)生集體去游泳,除需購買若干張游泳卡,每次游泳還需包一輛汽車,無論乘坐多少名學(xué)生,每次的包車費均為40元.若要使每個同學(xué)游8次,每人最少交多少錢?2某商店需要制作如圖所示的工字形架100個,每個由鋁合金型材長為2.3米,1.7米,1.3米各一根組裝而成.市場上可購得該鋁合金型材的原料長為6.3米.問:至少要買回多少根原材料,才能滿足要求(不計損耗)?1.下圖中,已知a、b、c、d、e、f是不同的自然數(shù),且前面標(biāo)有兩個箭頭的每一個數(shù)恰等于箭頭起點的兩數(shù)的和(如b=a+d),那么圖中c最小應(yīng)為多少? a b c d e f2.唐老鴨與米老鼠進行一萬米賽跑,米老鼠的速度是每分鐘125米,唐老鴨的速度是每分鐘100米.唐老鴨手中掌握著一種迫使米老鼠倒退的電子遙控器,通過這種遙控器發(fā)出第n次指令,米老鼠就以原速度的n10%倒退一分鐘,然后再按原來的速度繼續(xù)前進,如果唐老鴨想在比賽中獲勝,那么它通過遙控器發(fā)出指令的次數(shù)至少應(yīng)是多少次?3.下圖中,已知a、b、c、d、e、f是不同的自然數(shù),且前面標(biāo)有兩個箭頭的每一個數(shù)恰等于箭頭起點的兩數(shù)的和(如b=a+d),那么圖中c最小應(yīng)為多少? a b c d e f4.某游泳館出售冬季學(xué)生游泳卡,每張240元,使用規(guī)定:不記名,每卡每次只限一人,每人只限一次.某班有48名學(xué)生,老師打算組織學(xué)生集體去游泳,除需購買若干張游泳卡,每次游泳還需包一輛汽車,無論乘坐多少名學(xué)生,每次的包車費均為40元.若要使每個同學(xué)游8次,每人最少交多少錢?5.某商店需要制作如圖所示的工字形架100個,每個由鋁合金型材長為2.3米,1.7米,1.3米各一根組裝而成.市場上可購得該鋁合金型材的原料長為6.3米.問:至少要買回多少根原材料,才能滿足要求(不計損耗)?6如果三個人的平均年齡為22歲.年齡最小的沒有小于18歲.那么最大年齡可能是_歲。 1. 6第一把鑰匙最壞的情況要試3次,第二把要試2次,第三把要試1次,共計6次.2. 12因4和3的最小公倍數(shù)為12,故最少需這樣的木塊12塊.3. 50000.44. 48一共有100個自然數(shù),其中奇數(shù)應(yīng)多于50個,因為這100個自然數(shù)的總和是偶數(shù),所以奇數(shù)的個數(shù)是偶數(shù),至少有52個,因而至多有48個.5. 20因975=3952,935=1875,972=24322,要使其積為1000的倍數(shù),至少應(yīng)乘以522=20.6. 1105因為12、13、14的公倍數(shù)分別加上12、13、14后才依次是12、13、14倍數(shù)的連續(xù)自然數(shù),故要求是13的倍數(shù)的最小自然數(shù),只須先求12、13、14的最小公倍數(shù)為1092,再加上13得1105.7. 20第一橫行取6,第二橫行取7,第三橫行取7.8. 12米,6米.金屬網(wǎng)應(yīng)豎著放,才能使雞窩高度不低于2米.如圖,設(shè)長方形的長和寬分別是x米和y米,則有x+2y=1.220=24.長方形的面積為S=xy=.因為x與2y的和等于24是一個定值,故它們的乘積當(dāng)它們相等時最大,此時長方形的面積S也最大,于是有:x=12,y=6.9. 264依題意,末位數(shù)字和能被7整除的只有7、14、21等三種.但三個兩位的連續(xù)偶數(shù)相加其和也一定是偶數(shù),故符合題意的只有14.這樣三個最大的兩位連續(xù)偶數(shù).它們的末位數(shù)字又能被7整除的,便是90、88、86，它們的和即三角形最大周長為90+88+86=264.10. 24m,18m如圖,設(shè)水池邊長為xm,寬為ym,則有xy=432,占地總面積S=(x+8)(y+6)m2于是S=xy+6x+8y+48=6x+8y+480.因6x+8y=48432為定值,故當(dāng)6x=8y時,S最小,此時x=24,y=18.11. 依題意,d應(yīng)當(dāng)取最小值1,那么a和f只能一個為2,另一個為4.這樣,根據(jù)b=a+d,e=d+f,b和e便只能一個為3,另一個為5,而c=b+e.所以c最小應(yīng)為3+5=8. 12. 米老鼠跑完全程用的時間為10000125=80(分),唐老鴨跑完全程的時間為10000100=100(分).唐老鴨第n次發(fā)出指令浪費米老鼠的時間為.當(dāng)n次取數(shù)為1、2、3、413時,米老鼠浪費時間為1.1+1.2+1.3+1.4+2.3=22.1(分)大于20分.因為米老鼠早到100-80=20分,唐老鴨要想獲勝,必須使米老鼠浪費的時間超過20分鐘,因此唐老鴨通過遙控器至少要發(fā)13次指令才能在比賽中獲勝.13.設(shè)一共