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吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)高中2020屆高三數(shù)學(xué)第五次月考試題 理(含解析)第卷1.已知全集,集合,則( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析:先化簡(jiǎn)集合A,求得后再求詳解:由題意得, ,故選C點(diǎn)睛:進(jìn)行集合間的運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算的順序,若條件中給出的集合需要化簡(jiǎn)時(shí)要先化簡(jiǎn)2.若復(fù)數(shù)滿足,則( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由,得,故選A3.若向量,則( )A. B. 5 C. 20 D. 25【答案】B【解析】 ,故選B.4.下圖為射擊使用的靶子,靶中最小的圓的半徑為1,靶中各圓的半徑依次加1,在靶中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取黑色部分(7環(huán)到9環(huán))的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:分析:根據(jù)面積型的幾何概型求解詳解:由幾何概型概率公式可得,所求概率為故選D 點(diǎn)睛:根據(jù)幾何概型概率公式求概率時(shí),關(guān)鍵是如何確定所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域的面積以及所求概率對(duì)應(yīng)的事件構(gòu)成的平面區(qū)域的面積,然后根據(jù)公式求解5.若變量滿足約束條件,則的最小值是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:畫出可行域,將變形為,然后平移直線找到最優(yōu)解后可求得z的最小值詳解:畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)由得平移直線,結(jié)合圖形可得,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí),直線在y軸上的截距最大,此時(shí)z取得最小值由解得,故點(diǎn)故選B點(diǎn)睛:求目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí),將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式的形式:,通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值,解題時(shí)要分清z與截距間是正比還是反比的關(guān)系6.在公差為2的等差數(shù)列中,則( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析:根據(jù)等差數(shù)列中的基本量間的關(guān)系,借助于進(jìn)行計(jì)算詳解:由題意得故選B點(diǎn)睛:等差數(shù)列中關(guān)于項(xiàng)的計(jì)算問(wèn)題,要注意的變化與運(yùn)用,對(duì)于條件求值的問(wèn)題,還要注意整體代換的運(yùn)用 7.某幾何體的三視圖如圖所示,其中圓的半徑均為,則該幾何體的體積為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】該幾何體為一棱長(zhǎng)為6的正方體掏掉一個(gè)棱長(zhǎng)為2的小正方體,再放置進(jìn)去一個(gè)半徑為1的球,所以體積為.故選A.8.已知圓:與圓關(guān)于軸對(duì)稱,為圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)?shù)街本€的距離最小時(shí),的橫坐標(biāo)為( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】圓的方程為:,過(guò)M(3,-4)且與直線y=x+2垂直的直線方程為y=-x-1,代入,得 ,故當(dāng)Q到直線y=x+2的距離最小時(shí),Q的坐標(biāo)為 9.大衍數(shù)列,來(lái)源于乾坤譜中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十“的推論.主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過(guò)程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以2,奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減1再除以2,其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項(xiàng)而設(shè)計(jì)的,那么在兩個(gè)判斷框中,可以先后填入( )A. 是偶數(shù)?,? B. 是奇數(shù)?,?C. 是偶數(shù)?, ? D. 是奇數(shù)?,?【答案】D【解析】根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以,奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減再除以,可知第一個(gè)框應(yīng)該是“奇數(shù)”,執(zhí)行程序框圖, 結(jié)束,所以第二個(gè)框應(yīng)該填,故選D.10.在偵破某一起案件時(shí),警方要從甲、乙、丙、丁四名可疑人員中揪出真正的嫌疑人,現(xiàn)有四條明確的信息:(1)此案是兩人共同作案;(2)若甲參與此案,則丙一定沒(méi)參加;(3)若乙參與此案,則丁一定參與;(4)若丙沒(méi)參與此案,則丁也一定沒(méi)參與.據(jù)此可以判斷參與此案的兩名嫌疑人是A. 甲、乙 B. 乙、丙C. 丙、丁 D. 甲、丁【答案】C【解析】分析:對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析、排除可得答案詳解:若甲、乙參與此案,則與信息(2),(3),(4)矛盾,故A不正確若乙、丙參與此案,則與信息(1),(3)矛盾,故B不正確若丙、丁參與此案,則信息全部符合,故C正確若甲、丁參與此案,則與信息(1),(4)矛盾,故D不正確故選C點(diǎn)睛:本題主要考查推理的應(yīng)用,此類問(wèn)題的解法主要是根據(jù)反證法的思想,對(duì)給出的每一選項(xiàng)要逐一分析,看是否與題意符合,然后通過(guò)排除得到答案11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象,若在上單調(diào)遞減,則的取值范圍為( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題可知,又在上單調(diào)遞減,所以,得:,故得的取值范圍為,故選D12.設(shè)雙曲線:的左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)分別為,以線段為底邊作一個(gè)等腰,且邊上的高.若的垂心恰好在的一條漸近線上,且的離心率為,則下列判斷正確的是( )A. 存在唯一的,且B. 存在兩個(gè)不同的,且一個(gè)在區(qū)間內(nèi),另一個(gè)在區(qū)間內(nèi)C. 存在唯一的,且D. 存在兩個(gè)不同的,且一個(gè)在區(qū)間內(nèi),另一個(gè)在區(qū)間內(nèi)【答案】A【解析】由題意可設(shè),可得的垂心H,因?yàn)榈拇剐那『迷诘囊粭l漸近線上,所以,所以存在唯一的,且,當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn),選A.點(diǎn)睛:判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)所在區(qū)間的方法(1)解方程法:當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí),可通過(guò)解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上(2)定理法:利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷(3)數(shù)形結(jié)合法:畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象,通過(guò)觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷,或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷第卷二、填空題13.若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)_【答案】3【解析】.,得.經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.故答案為:3. 14.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的最小值為_.【答案】4【解析】分析:由得到等比數(shù)列的公比,然后再根據(jù)基本不等式求解詳解:設(shè)等比數(shù)列的公比為,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立的最小值為4點(diǎn)睛:利用基本不等式求最值時(shí)要注意不等式成立的條件,即“一正二定三相等”,且三個(gè)條件缺一不可,解題時(shí)要說(shuō)明等號(hào)成立的條件15.若的展開式中的系數(shù)為80,則_.【答案】【解析】分析:中的系數(shù)與的積,加上中的系數(shù)與的系數(shù)的積就是展開式的系數(shù)。詳解:展開式通項(xiàng)為,令,則,令,則,解得,故答案為2.點(diǎn)睛:二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為,由此通項(xiàng)公式可求展開式中的特定項(xiàng)。如果是兩個(gè)(或多個(gè))式子相乘,可在第個(gè)式子中取一項(xiàng)相乘,只要未知數(shù)的次數(shù)滿足要求,這時(shí)要注意不能遺漏.16.在四面體中,平面,點(diǎn)為的重心,若四面體的外接球的表面積為,則_.【答案】2【解析】分析:結(jié)合題意先確定的外心O的位置,進(jìn)而求得外接圓的半徑然后根據(jù)四面體外接球的表面積求得外接球的半徑,由此可求得,最后根據(jù)求解即可得到結(jié)論詳解:設(shè)BC的中點(diǎn)為E點(diǎn)是的重心, 設(shè)的外心為O,由題意得點(diǎn)O在AE上,令,則有,即,解得又平面,四面體的外接球的半徑,由題意得,解得,點(diǎn)睛:本題求四面體外接球半徑的方法具有一般性,其條件是在三棱錐中,平面,設(shè)外接圓的半徑為,外接球半徑為,則三、解答題17.在中,角的對(duì)邊分別為,已知,(1)求角的大小;(2)求的值【答案】(1);(2)【解析】分析:(1)由條件及三角變換可得,從而,解得,于是可得(2)由正弦定理可得,又,于是得,然后根據(jù)余弦定理求得,于是可得結(jié)論詳解:(1), ,解得(舍去)又,.(2)由及正弦定理的,又,在中,由根據(jù)余弦定理得,.點(diǎn)睛:(1)在三角形中根據(jù)已知條件求未知的邊或角時(shí),要靈活選擇正弦、余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化,以達(dá)到求解的目的(2)求角的大小時(shí),在得到角的某一個(gè)三角函數(shù)值后,還要根據(jù)角的范圍才能確定角的大小,這點(diǎn)容易被忽視,解題時(shí)要注意18.如圖,三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,分別是棱的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析;(2)【解析】分析:(1)由可得又由題意得平面,故有,于是平面,根據(jù)面面垂直的判定可得結(jié)論成立(2)由題意建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)條件求得平面的法向量,又平面的一個(gè)法向量為,然后根據(jù)及圖形可得所求余弦值詳解:(1)證明:因?yàn)?,是棱的中點(diǎn),所以又三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,且,所以平面,又平面,則因?yàn)椋云矫?,又平面,所以平面平?(2)由于三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,故可以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,故,設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得,由(1)知平面的一個(gè)法向量為,所以.由圖可知二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.點(diǎn)睛:(1)證明空間中的位置關(guān)系時(shí)要嚴(yán)格按照相關(guān)定理的要求書寫解題過(guò)程,特別是對(duì)于定理中的關(guān)鍵詞,在解題過(guò)程中要得到體現(xiàn)(2)根據(jù)空間向量的運(yùn)算得到兩平面法向量夾角的余弦值后,還要根據(jù)圖形判斷出所求的二面角為銳角還是鈍角,然后才能得到結(jié)論19.自2020年10月習(xí)近平主席提出建設(shè)“一帶一路”的合作倡議以來(lái),我國(guó)積極建立與沿線國(guó)家的經(jīng)濟(jì)合作伙伴關(guān)系.某公司為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,欲在海上絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶(南線):泉州-福州-廣州-海口-北海(廣西)-河內(nèi)-吉隆坡-雅加達(dá)-科倫坡-加爾各答-內(nèi)羅畢-雅典-威尼斯的個(gè)城市中選擇個(gè)城市建設(shè)自己的工業(yè)廠房,根據(jù)這個(gè)城市的需求量生產(chǎn)某產(chǎn)品,并將其銷往這個(gè)城市.(1)求所選的個(gè)城市中至少有個(gè)在國(guó)內(nèi)的概率;(2)已知每間工業(yè)廠房的月產(chǎn)量為萬(wàn)件,若一間廠房正常生產(chǎn),則每月或獲得利潤(rùn)萬(wàn);若一間廠房閑置,則該廠房每月虧損萬(wàn),該公司為了確定建設(shè)工業(yè)廠房的數(shù)目,統(tǒng)計(jì)了近年來(lái)這個(gè)城市中該產(chǎn)品的月需求量數(shù)據(jù),得如下頻數(shù)分布表:月需求量(單位:萬(wàn)件)100110120130月份數(shù)6241812若以每月需求量的頻率代替每月需求量的概率,欲使該產(chǎn)品的每月總利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大,應(yīng)建設(shè)工業(yè)廠房多少間?【答案】(1);(2)12間.【解析】分析:(1)根據(jù)對(duì)立事件的概率及古典概型求解即可(2)設(shè)該產(chǎn)品每月的總利潤(rùn)為,分別求出時(shí)每月總利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望,根據(jù)其中期望最大的來(lái)決定建設(shè)廠房的數(shù)量詳解:(1)記事件為“該公司所選的3個(gè)城市中至少有1個(gè)在國(guó)內(nèi)”,則,所以該公司所選的3個(gè)城市中至少有1個(gè)在國(guó)內(nèi)的概率為.(2)設(shè)該產(chǎn)品每月的總利潤(rùn)為,當(dāng)時(shí),萬(wàn)元當(dāng)時(shí),的分布列為所以萬(wàn)元.當(dāng)時(shí),的分布列為所以萬(wàn)元.當(dāng)時(shí),的分布列為所以萬(wàn)元.綜上可知,當(dāng)時(shí)萬(wàn)元最大,故建設(shè)廠房12間點(diǎn)睛:(1)離散型隨機(jī)變量的期望與方差的應(yīng)用,是高考的重要考點(diǎn),不僅考查學(xué)生的理解能力與數(shù)學(xué)計(jì)算能力,而且不斷創(chuàng)新問(wèn)題情境,突出學(xué)生運(yùn)用概率、期望與方差解決實(shí)際問(wèn)題的能力(2)在實(shí)際問(wèn)題中,一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案,若各方案的期望相同,則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案20.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為,且過(guò)點(diǎn),圓是以線段為直徑的圓,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相切.(1)求橢圓及圓的方程; (2)是否存在直線,使得直線與圓相切,與橢圓交于兩點(diǎn),且滿足?若存在,請(qǐng)求出直線的方程,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)橢圓的方程為,圓的方程為;(2)不存在【解析】分析:(1)由題意得,再根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)得到關(guān)于的方程組,求解后可得橢圓和圓的方程(2)先假設(shè)存在直線滿足條件()當(dāng)直線斜率不存在時(shí),可得直線方程為,求得點(diǎn)的坐標(biāo)后驗(yàn)證可得;()當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程,結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得不成立從而可得不存在直線滿足題意詳解:(1)由題意知,,圓的方程為由題可知,解得 ,所以橢圓的方程為,圓的方程為.(2)假設(shè)存在直線滿足題意.由,可得,故()當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),此時(shí)的方程為當(dāng)直線時(shí),可得所以同理可得,當(dāng)時(shí),.故直線不存在()當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為, 因?yàn)橹本€與圓相切,所以,整理得由消去y整理得,設(shè),則,因?yàn)?,所以,則,即,所以,所以,整理得由得,此時(shí)方程無(wú)解.故直線不存在由(i)(ii)可知不存在直線滿足題意.點(diǎn)睛:圓錐曲線中存在性問(wèn)題的求解步驟假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,若方程組有實(shí)數(shù)解,則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在;否則,元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在21.已知函數(shù)(是常數(shù)).(1)求的單調(diào)區(qū)間與最大值;(2)設(shè)在區(qū)間(為自然對(duì)數(shù)底數(shù))上的最大值為,求的值.【答案】(1);(2)【解析】分析:(1)求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)區(qū)間,然后可得最值(2)對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論,分別求出函數(shù)的最值后再結(jié)合條件求出實(shí)數(shù)即可詳解:(1)由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?,令,得,?dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間為故當(dāng)時(shí),有極大值,也為最大值,且(2)因?yàn)?,所以,則若,則,從而在上是增函數(shù),不合題意若,則由,得;由,得,在上為增函數(shù),在為減函數(shù),由題意得,解得符合題意綜上可得點(diǎn)睛:(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時(shí)要注意函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用,由單調(diào)性得到函數(shù)的極值,然后再求最值對(duì)于含有參數(shù)的問(wèn)題,要結(jié)合條件對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,分類時(shí)要做到合理、不重不漏(2)對(duì)于已知函數(shù)的最值求參數(shù)或其范圍的問(wèn)題,在解題仍要注意單調(diào)性的應(yīng)用,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解、判斷選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程;(2)若與曲線相切,且與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn),求以為直徑的圓的極坐標(biāo)方程.【答案】(1);(2)【解析】分析:(1)利用公式,把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化;(2)利用與曲線相切,結(jié)合一元二次方程的解法求出結(jié)果詳解:(1)由,得,即,故曲線的普通方程為(2)由,當(dāng),聯(lián)立得,因?yàn)榕c曲線相切,所以,所以的方程為,不妨假設(shè),則,線段的中
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