吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)高中2020屆高三數(shù)學(xué)第五次月考試題 理（含解析）

吉林省長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)高中2020屆高三數(shù)學(xué)第五次月考試題 理（含解析）第卷1.已知全集，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先化簡(jiǎn)集合A，求得后再求詳解：由題意得， ，故選C點(diǎn)睛：進(jìn)行集合間的運(yùn)算時(shí)要注意運(yùn)算的順序，若條件中給出的集合需要化簡(jiǎn)時(shí)要先化簡(jiǎn)2.若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，得，故選A3.若向量，則（ ）A. B. 5 C. 20 D. 25【答案】B【解析】 ,故選B.4.下圖為射擊使用的靶子，靶中最小的圓的半徑為1，靶中各圓的半徑依次加1，在靶中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取黑色部分（7環(huán)到9環(huán)）的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：分析：根據(jù)面積型的幾何概型求解詳解：由幾何概型概率公式可得，所求概率為故選D 點(diǎn)睛：根據(jù)幾何概型概率公式求概率時(shí)，關(guān)鍵是如何確定所有基本事件構(gòu)成的平面區(qū)域的面積以及所求概率對(duì)應(yīng)的事件構(gòu)成的平面區(qū)域的面積，然后根據(jù)公式求解5.若變量滿足約束條件，則的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：畫出可行域，將變形為，然后平移直線找到最優(yōu)解后可求得z的最小值詳解：畫出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示）由得平移直線，結(jié)合圖形可得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z取得最小值由解得，故點(diǎn)故選B點(diǎn)睛：求目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式的形式：，通過(guò)求直線的截距的最值間接求出z的最值，解題時(shí)要分清z與截距間是正比還是反比的關(guān)系6.在公差為2的等差數(shù)列中，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：根據(jù)等差數(shù)列中的基本量間的關(guān)系，借助于進(jìn)行計(jì)算詳解：由題意得故選B點(diǎn)睛：等差數(shù)列中關(guān)于項(xiàng)的計(jì)算問(wèn)題，要注意的變化與運(yùn)用，對(duì)于條件求值的問(wèn)題，還要注意整體代換的運(yùn)用 7.某幾何體的三視圖如圖所示,其中圓的半徑均為,則該幾何體的體積為( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】該幾何體為一棱長(zhǎng)為6的正方體掏掉一個(gè)棱長(zhǎng)為2的小正方體，再放置進(jìn)去一個(gè)半徑為1的球，所以體積為.故選A.8.已知圓：與圓關(guān)于軸對(duì)稱，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)街本€的距離最小時(shí)，的橫坐標(biāo)為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】圓的方程為：，過(guò)M（3，-4）且與直線y=x+2垂直的直線方程為y=-x-1,代入，得 ，故當(dāng)Q到直線y=x+2的距離最小時(shí)，Q的坐標(biāo)為 9.大衍數(shù)列，來(lái)源于乾坤譜中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十“的推論.主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過(guò)程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過(guò)的兩儀數(shù)量總和是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題其規(guī)律是:偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以2，奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減1再除以2，其前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，如圖所示的程序框圖是為了得到大衍數(shù)列的前100項(xiàng)而設(shè)計(jì)的，那么在兩個(gè)判斷框中，可以先后填入( )A. 是偶數(shù)?，? B. 是奇數(shù)?，?C. 是偶數(shù)?， ? D. 是奇數(shù)?，?【答案】D【解析】根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方再除以，奇數(shù)項(xiàng)是序號(hào)平方減再除以，可知第一個(gè)框應(yīng)該是“奇數(shù)”，執(zhí)行程序框圖， 結(jié)束，所以第二個(gè)框應(yīng)該填，故選D.10.在偵破某一起案件時(shí)，警方要從甲、乙、丙、丁四名可疑人員中揪出真正的嫌疑人，現(xiàn)有四條明確的信息：（1）此案是兩人共同作案；（2）若甲參與此案，則丙一定沒(méi)參加；（3）若乙參與此案，則丁一定參與；（4）若丙沒(méi)參與此案，則丁也一定沒(méi)參與.據(jù)此可以判斷參與此案的兩名嫌疑人是A. 甲、乙 B. 乙、丙C. 丙、丁 D. 甲、丁【答案】C【解析】分析：對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析、排除可得答案詳解：若甲、乙參與此案，則與信息（2），（3），（4）矛盾，故A不正確若乙、丙參與此案，則與信息（1），（3）矛盾，故B不正確若丙、丁參與此案，則信息全部符合，故C正確若甲、丁參與此案，則與信息（1），（4）矛盾，故D不正確故選C點(diǎn)睛：本題主要考查推理的應(yīng)用，此類問(wèn)題的解法主要是根據(jù)反證法的思想，對(duì)給出的每一選項(xiàng)要逐一分析，看是否與題意符合，然后通過(guò)排除得到答案11.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象，若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題可知，又在上單調(diào)遞減，所以，得：，故得的取值范圍為，故選D12.設(shè)雙曲線：的左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)分別為，以線段為底邊作一個(gè)等腰，且邊上的高.若的垂心恰好在的一條漸近線上，且的離心率為，則下列判斷正確的是（ ）A. 存在唯一的，且B. 存在兩個(gè)不同的，且一個(gè)在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間內(nèi)C. 存在唯一的，且D. 存在兩個(gè)不同的，且一個(gè)在區(qū)間內(nèi)，另一個(gè)在區(qū)間內(nèi)【答案】A【解析】由題意可設(shè)，可得的垂心H，因?yàn)榈拇剐那『迷诘囊粭l漸近線上，所以，所以存在唯一的，且，當(dāng)時(shí)無(wú)零點(diǎn)，選A.點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過(guò)解方程確定方程是否有根落在給定區(qū)間上(2)定理法：利用零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷(3)數(shù)形結(jié)合法：畫出相應(yīng)的函數(shù)圖象，通過(guò)觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷，或者轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷第卷二、填空題13.若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)_【答案】3【解析】.，得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故答案為：3. 14.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為_.【答案】4【解析】分析：由得到等比數(shù)列的公比，然后再根據(jù)基本不等式求解詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立的最小值為4點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)要注意不等式成立的條件，即“一正二定三相等”，且三個(gè)條件缺一不可，解題時(shí)要說(shuō)明等號(hào)成立的條件15.若的展開式中的系數(shù)為80，則_.【答案】【解析】分析：中的系數(shù)與的積，加上中的系數(shù)與的系數(shù)的積就是展開式的系數(shù)。詳解：展開式通項(xiàng)為，令，則，令，則，解得，故答案為2.點(diǎn)睛：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，由此通項(xiàng)公式可求展開式中的特定項(xiàng)。如果是兩個(gè)（或多個(gè)）式子相乘，可在第個(gè)式子中取一項(xiàng)相乘，只要未知數(shù)的次數(shù)滿足要求，這時(shí)要注意不能遺漏.16.在四面體中，平面，點(diǎn)為的重心，若四面體的外接球的表面積為，則_.【答案】2【解析】分析：結(jié)合題意先確定的外心O的位置，進(jìn)而求得外接圓的半徑然后根據(jù)四面體外接球的表面積求得外接球的半徑，由此可求得，最后根據(jù)求解即可得到結(jié)論詳解：設(shè)BC的中點(diǎn)為E點(diǎn)是的重心， 設(shè)的外心為O，由題意得點(diǎn)O在AE上，令，則有，即，解得又平面，四面體的外接球的半徑，由題意得，解得，點(diǎn)睛：本題求四面體外接球半徑的方法具有一般性，其條件是在三棱錐中，平面，設(shè)外接圓的半徑為，外接球半徑為，則三、解答題17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知，（1）求角的大小；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）由條件及三角變換可得，從而，解得，于是可得（2）由正弦定理可得，又，于是得，然后根據(jù)余弦定理求得，于是可得結(jié)論詳解：（1）， ，解得（舍去）又，.（2）由及正弦定理的，又，在中，由根據(jù)余弦定理得，.點(diǎn)睛：（1）在三角形中根據(jù)已知條件求未知的邊或角時(shí)，要靈活選擇正弦、余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求解的目的（2）求角的大小時(shí)，在得到角的某一個(gè)三角函數(shù)值后，還要根據(jù)角的范圍才能確定角的大小，這點(diǎn)容易被忽視，解題時(shí)要注意18.如圖，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，分別是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）由可得又由題意得平面，故有，于是平面，根據(jù)面面垂直的判定可得結(jié)論成立（2）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求得平面的法向量，又平面的一個(gè)法向量為，然后根據(jù)及圖形可得所求余弦值詳解：(1)證明：因?yàn)?，是棱的中點(diǎn)，所以又三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，所以平面，又平面，則因?yàn)椋云矫?，又平面，所以平面平?（2）由于三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，由（1）知平面的一個(gè)法向量為，所以.由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.點(diǎn)睛：（1）證明空間中的位置關(guān)系時(shí)要嚴(yán)格按照相關(guān)定理的要求書寫解題過(guò)程，特別是對(duì)于定理中的關(guān)鍵詞，在解題過(guò)程中要得到體現(xiàn)（2）根據(jù)空間向量的運(yùn)算得到兩平面法向量夾角的余弦值后，還要根據(jù)圖形判斷出所求的二面角為銳角還是鈍角，然后才能得到結(jié)論19.自2020年10月習(xí)近平主席提出建設(shè)“一帶一路”的合作倡議以來(lái)，我國(guó)積極建立與沿線國(guó)家的經(jīng)濟(jì)合作伙伴關(guān)系.某公司為了擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，欲在海上絲綢之路經(jīng)濟(jì)帶（南線）：泉州-福州-廣州-海口-北海（廣西）-河內(nèi)-吉隆坡-雅加達(dá)-科倫坡-加爾各答-內(nèi)羅畢-雅典-威尼斯的個(gè)城市中選擇個(gè)城市建設(shè)自己的工業(yè)廠房，根據(jù)這個(gè)城市的需求量生產(chǎn)某產(chǎn)品，并將其銷往這個(gè)城市.（1）求所選的個(gè)城市中至少有個(gè)在國(guó)內(nèi)的概率；（2）已知每間工業(yè)廠房的月產(chǎn)量為萬(wàn)件，若一間廠房正常生產(chǎn)，則每月或獲得利潤(rùn)萬(wàn)；若一間廠房閑置，則該廠房每月虧損萬(wàn)，該公司為了確定建設(shè)工業(yè)廠房的數(shù)目，統(tǒng)計(jì)了近年來(lái)這個(gè)城市中該產(chǎn)品的月需求量數(shù)據(jù)，得如下頻數(shù)分布表：月需求量（單位：萬(wàn)件）100110120130月份數(shù)6241812若以每月需求量的頻率代替每月需求量的概率，欲使該產(chǎn)品的每月總利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大，應(yīng)建設(shè)工業(yè)廠房多少間？【答案】(1)；(2)12間.【解析】分析：（1）根據(jù)對(duì)立事件的概率及古典概型求解即可（2）設(shè)該產(chǎn)品每月的總利潤(rùn)為，分別求出時(shí)每月總利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，根據(jù)其中期望最大的來(lái)決定建設(shè)廠房的數(shù)量詳解：（1）記事件為“該公司所選的3個(gè)城市中至少有1個(gè)在國(guó)內(nèi)”，則，所以該公司所選的3個(gè)城市中至少有1個(gè)在國(guó)內(nèi)的概率為.（2）設(shè)該產(chǎn)品每月的總利潤(rùn)為，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元當(dāng)時(shí)，的分布列為所以萬(wàn)元.當(dāng)時(shí)，的分布列為所以萬(wàn)元.當(dāng)時(shí)，的分布列為所以萬(wàn)元.綜上可知，當(dāng)時(shí)萬(wàn)元最大，故建設(shè)廠房12間點(diǎn)睛：（1）離散型隨機(jī)變量的期望與方差的應(yīng)用，是高考的重要考點(diǎn)，不僅考查學(xué)生的理解能力與數(shù)學(xué)計(jì)算能力，而且不斷創(chuàng)新問(wèn)題情境，突出學(xué)生運(yùn)用概率、期望與方差解決實(shí)際問(wèn)題的能力（2）在實(shí)際問(wèn)題中，一般地將期望最大(或最小)的方案作為最優(yōu)方案，若各方案的期望相同，則選擇方差最小(或最大)的方案作為最優(yōu)方案20.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相切.（1）求橢圓及圓的方程； （2）是否存在直線，使得直線與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，請(qǐng)求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）橢圓的方程為，圓的方程為；（2）不存在【解析】分析：（1）由題意得，再根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)得到關(guān)于的方程組，求解后可得橢圓和圓的方程（2）先假設(shè)存在直線滿足條件（）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可得直線方程為，求得點(diǎn)的坐標(biāo)后驗(yàn)證可得；（）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得不成立從而可得不存在直線滿足題意詳解：(1)由題意知,，圓的方程為由題可知，解得 ，所以橢圓的方程為，圓的方程為.（2）假設(shè)存在直線滿足題意.由，可得，故（）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)的方程為當(dāng)直線時(shí)，可得所以同理可得，當(dāng)時(shí)，.故直線不存在（）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為， 因?yàn)橹本€與圓相切，所以，整理得由消去y整理得，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，即，所以，所以，整理得由得，此時(shí)方程無(wú)解.故直線不存在由（i）（ii）可知不存在直線滿足題意.點(diǎn)睛：圓錐曲線中存在性問(wèn)題的求解步驟假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實(shí)數(shù)解，則元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在21.已知函數(shù)（是常數(shù)）.（1）求的單調(diào)區(qū)間與最大值；（2）設(shè)在區(qū)間（為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）上的最大值為，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）求導(dǎo)后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)區(qū)間，然后可得最值（2）對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行分類討論，分別求出函數(shù)的最值后再結(jié)合條件求出實(shí)數(shù)即可詳解：（1）由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?，令，得，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為故當(dāng)時(shí)，有極大值，也為最大值，且（2）因?yàn)?，所以，則若，則，從而在上是增函數(shù)，不合題意若，則由，得；由，得，在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，由題意得，解得符合題意綜上可得點(diǎn)睛：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值時(shí)要注意函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，由單調(diào)性得到函數(shù)的極值，然后再求最值對(duì)于含有參數(shù)的問(wèn)題，要結(jié)合條件對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要做到合理、不重不漏（2）對(duì)于已知函數(shù)的最值求參數(shù)或其范圍的問(wèn)題，在解題仍要注意單調(diào)性的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解、判斷選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程；（2）若與曲線相切，且與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，求以為直徑的圓的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用公式，把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）利用與曲線相切，結(jié)合一元二次方程的解法求出結(jié)果詳解：（1）由，得，即，故曲線的普通方程為（2）由，當(dāng)，聯(lián)立得，因?yàn)榕c曲線相切，所以，所以的方程為，不妨假設(shè)，則，線段的中