安徽省安慶市2020屆高三數(shù)學模擬考試（二模）試題 文（含解析）

2020年安慶市高三模擬考試（二模）數(shù)學試題（文）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合 ，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合M，然后和集合N取交集即可.【詳解】由題意得,則. 故選：C.【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于簡單題.2.設是虛數(shù)單位，則復數(shù)的模是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由復數(shù)的乘法運算得到復數(shù)z，然后取模即可.【詳解】復數(shù),則.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算和復數(shù)的模的計算，屬于簡單題.3.已知是等差數(shù)列的前項和，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到然后利用等差數(shù)列的前n項和公式計算即可得到答案.【詳解】等差數(shù)列中， 故選：B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應用，考查等差數(shù)列前項和公式的應用，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)，若實數(shù)滿足，則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】對實數(shù)a按和進行討論，根據(jù)自變量所在的范圍代入相應的解析式計算即可得到答案.【詳解】由分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)知,其定義域是所以(1)當時, 即 解得 ，(2)當時, 就是,不成立.故選：D.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的計算，解決策略:(1)在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定要判斷x0屬于定義域的哪個子集，然后再代入相應的關(guān)系式;(2) 求f(f(f(a)的值時，一般要遵循由里向外逐層計算的原則.5.如圖，正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為，一只螞蟻從點出發(fā)沿每個側(cè)面爬到，路線為，則螞蟻爬行的最短路程是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】畫出棱柱的側(cè)面展開圖，由圖可得最短距離為對角線的長，利用勾股定理即可求.【詳解】正三棱柱的側(cè)面展開圖是如圖所示的矩形，矩形的長為，寬為，則其對角線的長為最短程. 因此螞蟻爬行的最短路程為. 故選:A. 【點睛】本題考查利用側(cè)面展開圖求最短路程，掌握把空間圖形展開轉(zhuǎn)化為平面圖形的解決方法，是基礎(chǔ)題6.函數(shù)的大致圖像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由函數(shù)的零點排除B，D選項，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除C選項，即可求出結(jié)果.【詳解】令可得，即函數(shù)僅有一個零點，所以排除B，D選項；又，所以由，可得，由得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故排除C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)題型.7.“勾股圓方圖”是我國古代數(shù)學家趙爽設計的一幅用來證明勾股定理的圖案，如圖所示.在“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形.若直角三角形中較小的銳角滿足，則從圖中隨機取一點，則此點落在陰影部分的概率是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設大正方形的邊長為5，由已知條件求出小正方形和大正方形的面積，利用幾何概型公式即可得到答案.【詳解】設大正方形邊長為,由知直角三角形中較小的直角邊長為，較長的直角邊長為，所以小正方形的邊長為且面積,大正方形的面積為25，則此點落在陰影部分的概率是.故選：D.【點睛】處理這類與平面區(qū)域面積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是準確地把握題意,數(shù)形結(jié)合,畫出所有試驗結(jié)果構(gòu)成的平面區(qū)域和事件A所構(gòu)成的平面區(qū)域,求出兩個圖形的面積再求概率即可.8.為了計算，設計如圖所示的程序框圖，則在空白框中應填入（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】模擬程序框圖的運行過程知該程序運行后輸出的SNT，由此知空白處應填入的條件【詳解】模擬程序框圖的運行過程知，該程序運行后輸出的是SNT1+-=（1）+（）+（）；累加步長是2，則在空白處應填入ii+2故選：B【點睛】對于程序框圖的讀圖問題，一般按照從左到右、從上到下的順序，理清算法的輸入、輸出、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)等基本單元，并注意各要素之間的流向是如何建立的特別地，當程序框圖中含有循環(huán)結(jié)構(gòu)時，需首先明確循環(huán)的判斷條件是什么，以決定循環(huán)的次數(shù)9.若函數(shù)在上的最大值是，則實數(shù)（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將cos2x寫成，然后轉(zhuǎn)為求二次函數(shù)類型的最值，即可得到m值.【詳解】因為當sinx=1時取到函數(shù)的最大值，即解得m=-3故選:C.【點睛】本題考查余弦的二倍角公式，考查二次函數(shù)求最值問題，屬于基礎(chǔ)題.10.直線是拋物線在點處的切線，點是圓上的動點，則點到直線的距離的最小值等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由導數(shù)的幾何意義求得切線l的方程，再利用圓心到直線的距離減半徑即為點P到直線的距離的最小值.【詳解】拋物線,即，,在點（-2,2）處的切線斜率為-2，則切線l的方程為y-2=-2(x+2),即2x+y+2=0,所以圓心到的距離是，圓的半徑為2，則點P到直線的距離的最小值是.故選：C.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的應用，考查圓上的點到直線的距離的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.11.如圖是某個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)（單位：）求得該幾何體的表面積是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三視圖可知該幾何體是一個長方體以一個頂點挖去一個八分之一的球體,利用表面積公式計算即可得到答案.【詳解】由三視圖可以看出，該幾何體是一個長方體以一個頂點挖去一個半徑為3的八分之一的球體.則幾何體的表面積為故選:A.【點睛】解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖.12.將函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)滿足，則下列命題中正確的是（）A. 函數(shù)圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離為B. 函數(shù)圖像關(guān)于點對稱C. 函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱D. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)【答案】D【解析】【分析】由已知可得和是函數(shù)的兩條對稱軸，可確定出和值，得到f(x)解析式，由平移可得函數(shù)g(x)解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)對選項逐個檢驗判斷即可得到答案.【詳解】因為函數(shù)的最大值是，所以，周期是，則又故n=1時，又因為所以,，故于是函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到.函數(shù)g(x)周期為,則兩條相鄰對稱軸之間的距離為，故選項A錯誤；將代入函數(shù)g(x)解析式，函數(shù)值不為0，故選項B錯誤；將代入函數(shù)g(x)解析式，函數(shù)取不到最值，故選項C錯誤；當 時，由正弦函數(shù)圖像可知函數(shù)單調(diào)遞減，故選：D.【點睛】本題考查正弦函數(shù)圖像的周期性，對稱性和單調(diào)性的應用，考查函數(shù)圖像的平移變換，屬于中檔題.二、填空題：每題5分，滿分20分，將答案寫在題中橫線上.13.向量與向量的夾角余弦值是_【答案】【解析】【分析】利用向量夾角的公式計算即可得答案.【詳解】由已知向量，向量，則故答案為：【點睛】本題考查向量的夾角運算公式，屬于簡單題.14.若雙曲線的一條漸近線方程是，則此雙曲線的離心率為_【答案】【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程可求得a,然后利用離心率公式計算即可.【詳解】根據(jù)雙曲線方程可知其漸近線方程為,而已知是一條漸近線方程，則有，解得，又b=2,則故答案為：【點睛】本題考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.15.設實數(shù)滿足不等式，則函數(shù)的最大值為_【答案】11【解析】【分析】本題首先可以通過不等式組畫出在平面直角坐標系中所表示的區(qū)域，然后將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為與直線平行的直線系，最后根據(jù)圖像得出結(jié)果?！驹斀狻坎坏仁奖硎緟^(qū)域如圖中陰影部分所示，目標函數(shù)為，是與直線平行的直線系，當直線向上平移時，在增大，且過點時達到最大值，由得，從而?！军c睛】本題考查線性規(guī)劃的相關(guān)性質(zhì)，能否通過不等式組畫出其在平面直角坐標系中表示的區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，鍛煉了學生的繪圖能力，是簡單題。16.在中，為的外心，若，其中.則點的軌跡所對應圖形的面積是_【答案】【解析】【分析】畫出圖形，根據(jù)余弦定理即可求出cosA，從而得出A，再根據(jù)正弦定理即可求出OB，據(jù)題意可知，點P的軌跡為以OB，OC為鄰邊的平行四邊形及內(nèi)部，從而可求出該軌跡所對應圖形的面積【詳解】由余弦定理得，,所以.因此由題意知，點的軌跡對應圖形是邊長為的菱形,于是這個菱形的面積是故答案為：【點睛】考查正弦定理及余弦定理，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)乘的幾何意義，考查三角形外心的應用，屬于中檔題三、解答題 ：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.已知等比數(shù)列滿足：（）求的通項公式及前項和.（）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（） ,；（）.【解析】【分析】（）由可得首項和公比，即可寫出通項和前n項和;（）寫出數(shù)列的通項，利用裂項相消求和法可得結(jié)果.【詳解】（）由題可知，解得，即.所以的通項公式.前項和.（）. 所以數(shù)列的前項和.【點睛】裂項相消法是指將數(shù)列的通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如 (其中是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如或.18.如圖所示，在三棱柱中，平面是線段上的動點，是線段上的中點.（）證明：；（）若，且直線所成角的余弦值為，試指出點在線段上的位置，并求三棱錐的體積.【答案】（）見解析；（）.【解析】【分析】（）根據(jù)棱柱為直棱柱可得平面平面BC，由D為BC中點，得AD垂直BC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，從而得到證明；（）由直線所成角得，可得長度，從而看確定點E的位置，然后利用可求得所求體積.【詳解】（）因為，所以平面ABC.而平面BC,所以平面平面BC.因為線段的中點為，且是等腰三角形，所以而平面ABC, 平面ABC平面BC=BC ,所以.又因為，所以（），則.，即.又，所以，故，所以是直角三角形.在三棱柱中，直線所成角的余弦為，則在中，所以. 在中，所以.因為，所以點是線段的靠近點的三等分點.因為所以.【點睛】本題考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應用，考查棱錐體積的求法，利用等體積轉(zhuǎn)化求解體積是常用方法.19.我們知道，地球上的水資源有限，愛護地球、節(jié)約用水是我們每個人的義務和責任.某市政府為了對自來水的使用進行科學管理，節(jié)約水資源，計劃確定一個家庭年用水量的標準，為此，對全市家庭日常用水的情況進行抽樣調(diào)查，并獲得了個家庭某年的用水量（單位：立方米），統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.（）分別求出的值；（）若以各組區(qū)間中點值代表該組的取值，試估計全市家庭平均用水量；（）從樣本中年用水量在（單位：立方米）的個家庭中任選個，作進一步跟蹤研究，求年用水量最多的家庭被選中的概率（個家庭的年用水量都不相等）.【答案】（）n=200，a=0.0025，b=0.0125；（）27.25；（）【解析】【分析】（）利用頻率等于頻數(shù)比總數(shù)，即可求出n,a,b的值；（）利用每個矩形的底邊的中點橫坐標與對應的小矩形的面積的乘積，然后作和，即可估計平均用水量；（）利用列舉法列舉出基本事件的總數(shù)，從中找到符合條件的基本事件數(shù)，利用古典概型概率公式計算【詳解】（）用水量在內(nèi)的頻數(shù)是，頻率是，則. 用水量在內(nèi)的頻率是，則.用水量在內(nèi)的頻率是，則.（）估計全市家庭年均用水量為 （）設代表年用水量從多到少的個家庭，從中任選個，總的基本事件為 共個,其中包含的有 共個.所以. 即年用水量最多的家庭被選中的概率是.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，考查古典概型概率的求法，利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，易出錯，應注意區(qū)分這三者在頻率分布直方圖中：(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和20.如圖所示，橢圓的左、右頂點分別為，離心率，長軸與短軸的長度之和為. （）求橢圓的標準方程； （）在橢圓上任取點（與兩點不重合），直線交軸于點，直線交軸于點，證明：為定值.【答案】（）；（）見解析.【解析】【分析】（）由題意，2a+2b10，結(jié)合 解得a3，b2，即得到橢圓方程；（）設P（x0，y0），直線PA交y軸于點C（0，y1），直線PB交y軸于點D（0，y2），求得直線PA，PB的方程，分別求出y1，y2，再根據(jù)向量的數(shù)量積即可證明.【詳解】（）由題可知，又解得.故橢圓的標準方程為.（）解法1：設，直線交軸于點，直線交軸于點.則，即.易知同向，故. 因為，所以得直線的方程為，令，則；直線的方程為，令，則,所以 ，為定值.解法2：的左、右頂點分別為、，則有由（）知，設直線、的斜率分別為，則. 直線的方程為，令得；直線的方程為令得.所以.解法3：的左、右頂點分別為、，則 如題圖所示，.【點睛】本題考查橢圓標準方程的求法，注意運用直線與曲線聯(lián)立求交點，考查向量的數(shù)量積的坐標表示和化簡整理的運算能力，屬于中檔題21.設函數(shù)，其中.函數(shù)的圖像在點處的切線與函數(shù)的圖像在點處的切線互相垂直.（）求的值；（）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）求f（x）的導函數(shù)，代入g（x），對函數(shù)g（x）求導，結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象在點A處的切線與g（x）的圖象在點B處的切線互相垂直列式求t值；（）設函數(shù)F（x）kg（x）2f（x）2kex（x+1）2x28x4，（x2），求其導函數(shù)，分類求得函數(shù)最小值，可得k的取值范圍【詳解】（）由得，.于是，所以.函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象在點處的切線互相垂直，所以，即 （），.設函數(shù)=（），則=.由題設可知，即.令 得 ， .（1）若，則，此時，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在取最小值.而 當時,，即恒成立.若則，此時在單調(diào)遞增，而 ，當時,，即恒成立. 若則，此時 .當時， 不能恒成立.綜上所述，的取值范圍是【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，屬中檔題請考生在（22）、（23）兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.22.在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，