對(duì)稱式和輪換對(duì)稱式的因式分解

在一個(gè)含有若干個(gè)元的多項(xiàng)式中,如果任意交換兩個(gè)元的位置,多項(xiàng)式不變,這樣的多項(xiàng)式叫做對(duì)稱多項(xiàng)式. 二元對(duì)稱式的基本對(duì)稱式是x+y,xy任何二元對(duì)稱多項(xiàng)式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對(duì)稱多項(xiàng)式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解. 對(duì)稱式的因式分解 在一個(gè)含有若干個(gè)元的多項(xiàng)式中,如果任意交換兩個(gè)元的位置,多項(xiàng)式不變,這樣的多項(xiàng)式叫做對(duì)稱多項(xiàng)式. 例7分解因式x4+(x+y)4+y4 分析 這是一個(gè)二元對(duì)稱式,二元對(duì)稱式的基本對(duì)稱式是x+y,xy任何二元對(duì)稱多項(xiàng)式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元對(duì)稱多項(xiàng)式的分解方法之一是:先將其用xy,x+y表示,再行分解. 解 x4+y4 =(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2 =(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2. 原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4 =2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2 =2(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2 =2(x+y)2-xy2-2(x2+y2+xy)2, 例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b). 此題中若將式中的b換成a,c換成b,a換成c,即為c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),原式不變,這類多項(xiàng)式稱為關(guān)于a、b、c的輪換對(duì)稱式，輪換對(duì)稱式的因式分解，用因式定理及待定系數(shù)法比較簡(jiǎn)單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號(hào)f(x)、f(a)如對(duì)一元多項(xiàng)式3x2-5x-2可記作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示當(dāng)x=a時(shí)多項(xiàng)式的值，如x=1時(shí)多項(xiàng)式3x2-5x-2的值為f(1)=312-51-2=-4,當(dāng)x=2時(shí)多項(xiàng)式3x2-5x-2的值為f(2)=322-52-2=0. 因式定理 如果x=a時(shí)多項(xiàng)式f(x)的值為零,即f(a)=0,則f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式). 如多項(xiàng)式f(x)=3x2-5x-2,當(dāng)x=2時(shí),f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事實(shí)上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2). 證明 設(shè)f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0, 若f(a)=0,則 f(x)=f(x)-f(a) =(anxn+an-1xn-1+a1x+a0) =(anan+an-1an-1+a1a+a0) =an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+a1(x-a), 由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),(x-a)|(x-a), (x-a)|f(x), 對(duì)于多元多項(xiàng)式,在使用因式定理時(shí)可以確定一個(gè)主元,而將其它的元看成確定的數(shù)來(lái)處理. 現(xiàn)在我們用因式定理來(lái)解例8. 解 這是一個(gè)含有a、b、c三個(gè)字母的三次多項(xiàng)式，現(xiàn)以a為主元，設(shè)f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知當(dāng)a=b和a=c時(shí)，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多項(xiàng)式的因式，而視b為主元時(shí)，同理可知b-c也是多項(xiàng)式的因式，而三次多項(xiàng)式至多有三個(gè)因式故可設(shè)a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k為待定系數(shù)，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1. a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a). 例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b). 分析 這是一個(gè)關(guān)于a、b、c的四次齊次輪換多項(xiàng)式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多項(xiàng)式的三個(gè)因式，而四次多項(xiàng)式還有一個(gè)因式，由輪換對(duì)稱性可知這個(gè)一次因式應(yīng)是a+b+c，故可設(shè)a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a