數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)系列專(zhuān)題(一)利用軸對(duì)稱(chēng)變換求最小值在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用舉例

數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)系列專(zhuān)題（一）利用軸對(duì)稱(chēng)變換求最小值在初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用舉例新課改下的數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師“要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開(kāi)發(fā)、利用各種教育資源為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材；關(guān)注學(xué)生的個(gè)性差異，有效地實(shí)施差異教學(xué)，使每個(gè)學(xué)生都得到發(fā)展”?！皩?duì)于學(xué)有余力并對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生，教師要為他們提供足夠的材料，指導(dǎo)他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)才能。”縱觀近幾年的全國(guó)各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，首先是緊扣教材和競(jìng)賽大綱，許多試題雖有一定難度，但難而不怪，靈活性強(qiáng)，高而可攀。其次是精心設(shè)計(jì)，題目新型。而且注重知識(shí)的典型性和遷移性，積極引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由知識(shí)到能力的過(guò)渡。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中要努力幫助學(xué)生挖掘課本的教育資源，注重知識(shí)的延伸和遷移，通過(guò)一題多問(wèn)、一題多解、多題一解等有效手段，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。讓學(xué)生在學(xué)與練的過(guò)程中去體味奇妙的數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)和領(lǐng)略?shī)W妙的數(shù)學(xué)；從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、勤奮地去開(kāi)墾數(shù)學(xué)。本文試圖從“利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求最小值”問(wèn)題入手，在挖掘課本教育資源、注重多題一解、培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移能力方面作一些嘗試與探索，與數(shù)學(xué)同行們交流，拋磚引玉。（一）、課本原型：（七年級(jí)下冊(cè)第196頁(yè)）如圖（1）所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A，B到它的距離之和最短？解：如圖（2），只要畫(huà)出A點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，連結(jié)BC交直線(xiàn)L于P，則P點(diǎn)就是所求。這時(shí)PA+PB=PC+PB為最小，（因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線(xiàn)段最短）。（證明：如圖（2），在L上任取一點(diǎn)P1，連結(jié)P1A，P1B，P1C，因?yàn)镻1A+P1B=P1C+P1BBC=PA+PB。這是根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，所以結(jié)論成立。）（二）應(yīng)用和延伸：例1、（七年級(jí)作業(yè)本題）如圖（3），AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，在OA和OB邊上分別找出M、N，使PMN的周長(zhǎng)最小。解：如圖（4），只要畫(huà)出P點(diǎn)關(guān)于OB、OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，P2 ，連結(jié)P1、P2交OB、OA于M、N，此時(shí)PMN的周長(zhǎng)PM+PN+MN=P1P2為最小。（證明略）例2、在圖（1）中，若A到直線(xiàn)L的距離AC是3千米，B到直線(xiàn)L的距離BD是1千米，并且CD的距離4千米，在直線(xiàn)L上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。求這個(gè)最小值。解：如圖（1）所示，只要過(guò)A1點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)L的平行線(xiàn)與BD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于H，在RtA1BH中，A1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A1B的長(zhǎng)度為4千米。即PA+PB的最小值為4千米。圖（1） （三）、遷移和拓展：例1、9(溫州2003年中考題)如圖（5），在菱形ABCD中，AB=4a,E在BC上，EC=2a，BAD=1200,點(diǎn)P在BD上，則PE+PC的最小值是（ ）（A） 6a , (B) 5a , (C) 4a , (D) 2a 。解：如圖（6），因?yàn)榱庑问禽S對(duì)稱(chēng)圖形，所以BC中點(diǎn)E關(guān)于對(duì)角線(xiàn)BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E一定落在AB的中點(diǎn)E1，只要連結(jié)CE1，CE1即為PC+PE的最小值。這時(shí)三角形CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=2a 。所以選（D）。例2、（2001年全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖（7），在直角坐標(biāo)系XOY中，X軸上的動(dòng)點(diǎn)M（X，0）到定點(diǎn)P（5，5）和到Q（2，1）的距離分別為MP和MQ，那么當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)X=。圖（7）圖（8）解：如圖（8），只要畫(huà)出點(diǎn)Q關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q1（2，-1），連結(jié)PQ1 交X于點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為所求。點(diǎn)M的橫坐標(biāo)只要先求出經(jīng)過(guò)PQ1兩點(diǎn)的直線(xiàn)的解析式，（Y=2X-5），令Y=0，求得X=5/2。（也可以用勾股定理和相似三角形求出答案）。例3、求函數(shù)Y= +的最小值。解：方法（）、把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為Y= + ，因此可以理解為在X軸上找一個(gè)點(diǎn)，使它到點(diǎn)（3，1）和（-3，5）的距離之和最小。（解法同上一題）。方法（），如圖（9），分別以PM=（3-X）、AM=1為邊和以PN=（X+3）、BN=5為邊構(gòu)建使（3-X）和（X+3）在同一直線(xiàn)上的兩個(gè)直角PAM、PNB，兩條斜邊的長(zhǎng)就是PA= 和PB= ，因此，求Y的最小值就是求PA+PB的最小值，只要利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求出BA1的長(zhǎng)，就是Y的最小值。（6）。（四）、思考與練習(xí)：1、（2002湖北黃崗競(jìng)賽題）如圖（10），AOB=450，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO=10，在角兩邊上有兩點(diǎn)Q、R（均不同于點(diǎn)O），則PQR的周長(zhǎng)最小值是 。（提示：畫(huà)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2， AOB=450，P1OP2是等腰直角三角形，P1P2=10）。又問(wèn)當(dāng)PQR周長(zhǎng)最小時(shí)，QPR的度數(shù)= 。（1000）。 2、已知點(diǎn)A（-2，1），點(diǎn)B（3，4）。在X軸上求一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小。這個(gè)最小值是 。（同例2）3、（北京市競(jìng)賽題）如圖（11），在矩形ABCD中，AB=20，BC=10，若在AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值。（提示：要使BM+MN的值最小，應(yīng)設(shè)法把折線(xiàn)BM+MN拉直，從而想到用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)來(lái)做。畫(huà)出點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B1，則B1N的長(zhǎng)就是最小值；又因?yàn)镹也是動(dòng)點(diǎn)，所以，當(dāng)B1NAB時(shí)這個(gè)值最小，利用勾股定理和三角形面積公式可以求得這個(gè)最小值為16。初三的同學(xué)也可以用射影定理和面積公式求解。）4、（希望杯2001初二數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題），如圖（12）在菱形ABCD中，DAB=1200，點(diǎn)E平分BC，點(diǎn)P在BD上，且PE+PC=1，那么邊長(zhǎng)AB的最大值是 。（因?yàn)楫?dāng)PE+PC最小時(shí)，AB=CD達(dá)到最大，這個(gè)最大值是）。5、（美國(guó)中學(xué)生競(jìng)賽題）如圖（13），一個(gè)牧童在小河南4英里處牧馬，河水向正東方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家，他能夠完成這件事所走的最短距離是（ ）（提示：畫(huà)點(diǎn)A關(guān)于小河岸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1，連結(jié)A1B即為最短距離。）（A） 4+英里 （B） 16英里 （C） 17英里 （D） 18英里 6、（新蕾杯競(jìng)賽題）如圖（14），正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。（與知識(shí)拓展例1類(lèi)似，因?yàn)辄c(diǎn)C和點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)BD對(duì)稱(chēng)，所以AE是PC+PE的最小值，這個(gè)值為）。 7、如圖（15），在河灣處M點(diǎn)有一個(gè)觀察站，觀察員要從M點(diǎn)出發(fā)，先到AB岸，再到CD岸然后返回M點(diǎn)，則該船應(yīng)該走的最短路線(xiàn)是（先畫(huà)圖，再用字母表示）。（提示：，同知識(shí)遷移題）8、（溫州2001年中考題）如圖（16），AB是O的直徑，AB=2，OC是O的半徑，OCAB，點(diǎn)D在上,=2，點(diǎn)P是半徑OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么AP+PD的最小值是 。（只要找出點(diǎn)D關(guān)于半徑OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D1，AD1的長(zhǎng)就是AP+PD的最小值。因?yàn)锳BD1是含有趣300角的直角三角形，所以這個(gè)值是）。9、求代數(shù)式 + 的最小值。（）10、（2000年湖北省選拔賽試題）在直角坐標(biāo)系中，有四個(gè)點(diǎn)A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m,0）,當(dāng)四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短時(shí)，的