§2.2_拓撲空間與連續(xù)映射ppt課件

2.2拓撲空間與連續(xù)映射,我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，從開集及其基本性質(定理2.1.2)出發(fā)來建立拓撲空間的概念.,定義2.2.1設X是一個集合，是X的一個子集族.如果滿足如下條件：(l)X,；(2)若A，B，則AB；(3)若,有,則稱是X的一個拓撲,稱偶對(X，)是一個拓撲空間,的每一個元素都叫做拓撲空間(X，)或X中的一個開集.即：AA是開集.,1,(此定義與度量空間的開集的性質一樣嗎),現在首先將度量空間納入拓撲空間的范疇.定義2.2.2設(X，)是一個度量空間.令為由X中的所有開集構成的集族.根據定理2.1.2，(X，)是X的一個拓撲.稱為X的由度量誘導出來的拓撲.如果沒有另外的說明，我們提到度量空間(X，)的拓撲時，指的就是拓撲；在稱度量空間(X，)為拓撲空間時，指的就是拓撲空間(X，),2,例2.2.1平庸空間.設X是一個集合.令=X，.容易驗證，是X的一個拓撲，稱之為X的平庸拓撲；并且我們稱拓撲空間(X，)為一個平庸空間.在平庸空間(X，)中，有且僅有兩個開集，即X本身和空集.,例2.2.2離散空間.設X是一個集合.令=P(X)，即由X的所有子集構成的族.易證，是X的一個拓撲，稱為X的離散拓撲；在離散空間(X，)中，X的每一個子集都是開集.,3,例2.2.4有限補空間.設X是一個集合.首先我們重申：當我們考慮的問題中的基礎集自明時，我們并不每次提起.因此在后文中對于X的每一個子集A，它的補集XA我們寫為.令=U易驗證是X的一個拓撲。,X|是X的一個有限子集,4,一個令人關心的問題是拓撲空間是否真的要比度量空間的范圍更廣一點？就是問：是否每一個拓撲空間的拓撲都可以由某一個度量誘導出來？,定義2.2.3設(X，P)是一個拓撲空間.如果存在X的一個度量使得拓撲P即是由度量誘導出來的拓撲，則稱(X，P)是一個可度量化空間.,滿足一些什么條件的拓撲空間是可度量化的？,5,現在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓撲空間之間的連續(xù)映射.,定義2.2.4設X和Y是兩個拓撲空間，f:XY.如果Y中每一個開集U的原象(U)是X中的一個開集，則稱f是X到Y的一個連續(xù)映射，或簡稱映射f連續(xù).,按這種方式定義拓撲空間之間的連續(xù)映射，明顯是受到了2.1中的定理2.1.4的啟發(fā).,6,下面的這個定理盡管證明十分容易，但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的性質.,定理2.2.1設X，Y和Z都是拓撲空間.則(1)恒同映射：:XX是一個連續(xù)映射；(2)如果f:XY和g:YZ都是連續(xù)映射，則gf:XZ也是連續(xù)映射.,7,定義2.2.5設X和Y是兩個拓撲空間.如果f：XY是一個一一映射，并且f和：YX都是連續(xù)的，則稱f是一個同胚映射或同胚.,定理2.2.2設X，Y和Z都是拓撲空間.則(1)恒同映射：XX是一個同胚；(2)如果f：XY是一個同胚，則：YX也是一個同胚；(3)如果f：XY和g：YZ都是同胚，則gf：XZ也是一個同胚.,8,定義2.2.6設X和Y是兩個拓撲空間.如果存在一個同胚f：XY，則稱拓撲空間X與拓撲空間Y是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X同胚于Y.粗略地說，同胚的兩個空間實際上便是兩個具有相同拓撲結構的空間.定理2.2.3設X，Y和Z都是拓撲空間.則(1)X與X同胚；(2)如果X與Y同胚，則Y與X同胚；(3)如果X與Y同胚，Y與Z同胚，則X與Z同胚.,9,拓撲空間的某種性質P，如果為某一個拓撲空間所具有，則必為與其同胚的任何一個拓撲空間所具有，則稱此性質P是一