重慶市重慶一中2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）

重慶市重慶一中2018-2019學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法得到集合b，再由集合的交集運(yùn)算得到結(jié)果.【詳解】集合，集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算得到.故答案為：c.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.在等差數(shù)列中，則（ ）a. b. 9c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到【詳解】等差數(shù)列中，,根據(jù)等差數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)得到故答案為：a.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.如果,那么下列不等式成立的是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析：利用作差法比較實數(shù)大小即得解.詳解：-（）=，因為，所以所以.故答案為：d.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查實數(shù)大小的比較，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)比較實數(shù)的大小，常用作差法和作商法，一般如果知道實數(shù)是正數(shù)，可以利用作商法，否則常用作差法.4.在等比數(shù)列中，已知，則該數(shù)列的公比（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到進(jìn)而解得，由等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列中，已知 故答案為：a.【點(diǎn)睛】這個題目考查了等比數(shù)列的性質(zhì)以及通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5.下列命題正確的是（ ）a. 有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱。b. 有兩個面平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱。c. 繞直角三角形的一邊旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體叫圓錐。d. 用一個面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺?！敬鸢浮縝【解析】【分析】根據(jù)課本中的相關(guān)概念依次判斷選項即可.【詳解】對于a選項，幾何體可以是棱臺，滿足有兩個面平行，其余各面都是四邊形，故選項不正確；對于b，根據(jù)課本中棱柱的概念得到是正確的；對于c，當(dāng)繞直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)時構(gòu)成的幾何體不是圓錐，故不正確；對于d，用平行于底面的平面截圓錐得到的剩余的幾何體是棱臺，故不正確.故答案為：b.【點(diǎn)睛】這個題目考查了幾何體的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.6.數(shù)列的通項公式為,其前項和為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列通項依次列舉出數(shù)列的項，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，每4項之和為0，從而求解.【詳解】數(shù)列的通項公式為, 可知每四項之和為0，故得到故答案為：c.【點(diǎn)睛】這個題目考查了數(shù)列求和的應(yīng)用，常見的數(shù)列求和的方法有：列項求和，倒序相加求和，錯位相減求和，以及列舉數(shù)列的項，找規(guī)律求和.7.已知數(shù)列滿足：，則 （ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】將原式子變形為結(jié)合等差數(shù)列的通項公式的求法得到結(jié)果.【詳解】數(shù)列滿足：，, 是以為首相為公差的等差數(shù)列， 故答案：b.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項公式的求法，以及等差數(shù)列的通項的求法，求數(shù)列通項，常見的方法有：構(gòu)造新數(shù)列，列舉找規(guī)律法，根據(jù)等差等比公式求解等.8.已知單位向量滿足，則與的夾角為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】將原式平方，再由向量點(diǎn)積的計算公式得到結(jié)果.【詳解】單位向量滿足,兩邊平方得到.故答案為：b.【點(diǎn)睛】本題考查了向量點(diǎn)積公式的應(yīng)用，以及向量夾角的定義，屬于基礎(chǔ)題.9.中國古代數(shù)學(xué)名著張丘建算經(jīng)中記載：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里”.其大意：現(xiàn)有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的里程數(shù)是前一天的一半，連續(xù)走了7天，共走了700里，則這匹馬第7天所走的路程等于（ ）a. 里b. 里c. 里d. 里【答案】a【解析】【分析】根據(jù)題意得到馬每天所走的路程是，是公比為的等比數(shù)列，這些項的和為700，由等比數(shù)列的求和公式求得首項，再由等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)果.【詳解】設(shè)馬每天所走的路程是，是公比為的等比數(shù)列，這些項的和為700， 故答案為：a.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，是基礎(chǔ)的計算題，對于等比等差數(shù)列的 小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項和公比或者公差，其二是觀察各項間的腳碼關(guān)系，即利用數(shù)列的基本性質(zhì).10.已知等差數(shù)列的前項和有最大值，且，則滿足的最大正整數(shù)的值為（ ）a. 6b. 7c. 10d. 12【答案】c【解析】【分析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)前項和有最大值，得到，再由，得到，且，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為等差數(shù)列的前項和有最大值，所以，又，所以，且，所以，所以滿足的最大正整數(shù)的值為10【點(diǎn)睛】本題主要考查使等差數(shù)列前項和最大的整數(shù)，熟記等差數(shù)列求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.11.三角形中，,，為線段上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根據(jù)向量的線性表示得到，由向量點(diǎn)積公式得到原式等于：，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到結(jié)果.【詳解】設(shè)， 結(jié)合題目中條件得到原式等于：,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到范圍是：.故答案為：b.【點(diǎn)睛】(1)向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)問題;(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法;(3)向量的兩個作用：載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.12.點(diǎn)c是線段ab上任意一點(diǎn)，是直線ab外一點(diǎn)，不等式對滿足條件的及恒成立，則實數(shù)的取值范圍（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)結(jié)論得到代入不等式并且化簡得到：，對其求導(dǎo)得到單調(diào)性和最值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量中的共線定理得到，根據(jù)等式兩邊均為正，得到，代入不等式并且化簡得到：對這個函數(shù)求導(dǎo)得到： 原問題對于n是恒成立問題，對于是有解問題，故原不等式等價于，函數(shù) 代入得到 故答案為：d.【點(diǎn)睛】這個題目考查了恒成立求參的問題，涉及多個變量的問題；一般恒成立或有解求參，首選變量分離，對于多個變量的問題一般是先看成其中一個變量的函數(shù)，再看成另一個變量的函數(shù).二、填空題.13.已知，與共線，則_.【答案】【解析】【分析】已知向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量共線得到表達(dá)式，進(jìn)而求解.【詳解】，與共線,則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】這個題目考查了向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.14.內(nèi)角的對邊分別為，若，則角等于_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形正弦定理得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)三角形中的正弦定理得到 故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.已知是與的等差中項，則的最小值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，原式可化為進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】是與的等差中項,故得到 等號成立的條件是 故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查了二元化一元的思想，以及均值不等式的應(yīng)用，在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.16.已知數(shù)列前項和為，且有（），則數(shù)列的前項和_.【答案】【解析】【分析】原式可以轉(zhuǎn)化為化簡得到是等比數(shù)列公比為2，進(jìn)而得到之后裂項求和即可.【詳解】因為，故得到 化簡得到，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到是等比數(shù)列，故得到公比為2，故由裂項求和的方法得到前項和 故答案為：.【點(diǎn)睛】這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知不等式的解集與關(guān)于的不等式的解集相同。（1）求實數(shù)值；（2）若實數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先得到絕對值不等式的解集，根據(jù)兩者解集相同，由韋達(dá)定理得到結(jié)果；（2）原式子等價于根據(jù)均值不等式求解即可.【詳解】（1）,解得，又解集為：，故和是方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得到：。（2），則，當(dāng)，即時取等號，即時有最小值?！军c(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤.18.已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足：，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）;（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式得到，根據(jù)通項公式的求法得到結(jié)果；（2）分組求和即可.【詳解】（1）設(shè)的公比為q,的公差為d,由題意 ,由已知,有即 所以的通項公式為, 的通項公式為.（2），分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到：.【點(diǎn)睛】這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。19.如圖，已知菱形的邊長為2，動點(diǎn)滿足，.（1）當(dāng)時，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】(1) 時，分別為的中點(diǎn)，可得，根據(jù)模長的計算公式得到結(jié)果；（2）根據(jù)平面向量基本定理得到按照向量點(diǎn)積公式展開得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，分別為的中點(diǎn)，此時易得且的夾角為，則;（2），故.【點(diǎn)睛】(1)向量的運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識可以解決某些函數(shù)問題;(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法;(3)向量的兩個作用：載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.20.設(shè)向量，在中分別為角a,b,c的對邊，且.（1）求角；（2）若，邊長，求的周長和面積的值.【答案】（1） （2）周長為6，面積【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理得到，再根據(jù)余弦定理得到結(jié)果；（2）根據(jù)向量點(diǎn)積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，結(jié)合余弦定理得到，進(jìn)而求得面積.【詳解】（1）由已知可得：,即， ，（2）由題意可知， 由余弦定理可知， ，則即，故周長為，面積【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用21.已知數(shù)列滿足：，數(shù)列滿足：（）。（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和，并比較與的大小.【答案】（1）見證明；（2）見解析【解析】【分析】(1)將原式變形為，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）根據(jù)第一問得到，錯位相減得到結(jié)果.【詳解】（1）由條件得，易知，兩邊同除以得，又，故數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為。（2）由（1）知，則兩式相減得即?！军c(diǎn)睛】這個題目考查的是數(shù)列通項公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項，但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯位相減，裂項求和，分組求和等。22.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且（1）求實數(shù)a與b的值；（2）若函數(shù)，數(shù)列為正項數(shù)列，且當(dāng)，時，設(shè)（），記數(shù)列和的前項和分別為，且對有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性得到，再由，得;（2），將原式化簡得到，進(jìn)而得到，數(shù)列的前項和，原恒成立問題轉(zhuǎn)化為對恒成立，對n分奇偶得到最值即可.【詳解】（1）因為為奇函數(shù)，得，又，得。（2）由（1）知，得，又，化簡得到：，又，所以，又，故，則數(shù)列的前項和；又，則數(shù)列的前項和為，對恒成立對恒成立對恒成立，令，則當(dāng)為奇數(shù)時，原不等式對恒成立對恒成立，又函數(shù)在上單增，故有；當(dāng)為偶數(shù)時，原不等式對恒成立對恒成立，又函數(shù)在上單增