(最新版)北師大版初中數(shù)學(xué)各冊章節(jié)知識點總結(jié)

北師大版初中數(shù)學(xué)七年級(上冊)各章知識點第一章 豐富圖形世界1、 生活中常見的幾何體：2、 常見幾何體的分類：3、平面圖形折成立體圖形應(yīng)注意：4、圓柱的側(cè)面展開圖是一個長方形；表面全部展開是兩個 和一個 ；圓錐的表面全部展開圖是一個 和一個 ；正方體表面展開圖是一個 和兩個 ；長方體的展開圖是一個大 和兩個 。5、特殊立體圖形的截面圖形： (1)長方體、正方形的截面是：三角形、四邊形（長方形、正方形、梯形、平行四邊形）、五邊形、六邊形。 (2)圓柱的截面是：長方形（正方形）、圓 (3)圓錐的截面是：三角形、圓。 (4)球的截面是：圓。 6、我們經(jīng)常把從正面看到的圖形叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖。7、常見立體圖形的俯視圖 幾何體 長方體 正方體 圓錐 圓柱 球主視圖 長方形 正方形 三角形 長方形 圓俯視圖 長方形 正方形 圓（有一點） 圓 圓左視圖 長方形 正方形 三角形 長方形 圓8、點動成線，線動成面，面動成體。 第二章 有理數(shù)1 、正數(shù)與負數(shù) 在以前學(xué)過的0以外的數(shù)前面加上負號“”的數(shù)叫負數(shù)。 與負數(shù)具有相反意義，即以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)（根據(jù)需要，有時在正數(shù)前面也加上“+”）。 2 、有理數(shù) (1) 正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱 ，正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱 。 整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱 。0既不是 數(shù)，也不是 數(shù)。 (2) 通常用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫數(shù)軸。 數(shù)軸三要素：原點、 、單位長度。 在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫做 。 (3) 只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。例：2的相反數(shù)是 ；-2的相反數(shù) ；0的相反數(shù)是 。 (4) 數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值,記作 。 一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。 3 、有理數(shù)的加減法 (1)有理數(shù)加法法則： 同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。 絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加和為0。 一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。 (2) 有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)。 4、 有理數(shù)的乘除法 (1) 有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。任何數(shù)同0相乘，都得0。 (2) 乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。例：-5的倒數(shù)是；絕對值是5；相反數(shù)是5。 (3) 有理數(shù)除法法則1：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。 有理數(shù)除法法則2：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0。 (4) 求n個相同因數(shù)的積的運算，叫乘方，乘方的結(jié)果叫冪。在a的n次方中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。 負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何次冪都是0。-1的奇次方是 -1；-1的偶次方是1。第三章、字母表示數(shù)1、用運算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的字母叫做代數(shù)式。2、求代數(shù)式值要注意：字母的取值必須確保代數(shù)式有意義；字母的取值要確保它本身所表示的數(shù)量有意義。3、代數(shù)式的系數(shù)應(yīng)包括這一項前的符號；如果代數(shù)式的某一項只含有字母因數(shù)，它的系數(shù)就是1或-1，而不是0。4、同類項所含的字母相同；相同字母的指數(shù)也相同。注意：同類項與系數(shù)無關(guān)，與字母的排列順序無關(guān)；幾個常數(shù)項也是同類項。5、合并同類項法則：在合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，字母和字母指數(shù)不變。6、去括號法則：(1）括號前是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉后，原括號里的符號不變 (2)括號前市“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉后，原括號里的“+”變“-”，“-”變“+”。第四章 平面圖形及位置關(guān)系1、直線、射線、線段 (1) 直線、射線、線段的區(qū)別：直線無端點：射線一個端點：線段有兩個端點。(2) 線段公理：兩點的所有連線中，線段最短（兩點之間，線段最短）。 連接兩點間的線段的長度，叫做 。(3)線段的比較方法：疊和法和度量法。(4)線段的中點：如果M是AB的中點，那么AM=MB；反之，如果點M在線段AB上，并且有（ABBM），那么點M是AB的中點。例：C是線段AB的中點，可得AC=CB=AB，或者2AC= 2CB=AB，AC+CB =AB ， BC=AB-AC。2、角的度量與表示(1) 1度=60分； 1分=60； 1周角=360度 ；1平角=180度2倍周角 (2)角的三種表示方法：用三個大寫英文字母表示或用一個大寫英文字母表示(如：ABC，A；用希臘字母表示（如）；用數(shù)字表示（如1，2）3、 角的比較與運算 (1)角按大小分可分為銳角、直角、鈍角、平角、周角。(2)角平分線把一個角分成兩個相等的角，角平分線是一條射線。如果射線OC是AOB的角平分線，則我們可知道AOC BOCAOBAOB2BOCAOC，AOC+ BOC =AOB，BOC=AOB-AOC 4、平行線(1)如何畫平行線？(2)平行線的性質(zhì)1：過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行； 平行線的性質(zhì)2：兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也 平行。5、垂直(1) 如何畫垂線？ (2) 垂線的性質(zhì)1：過一點有且只一條直線與已知直線垂直。 垂線的性質(zhì)2：直線外一點與直線上任意一點的連線中，垂線最短。 垂直的性質(zhì)3：點到直線的最短距離。6、 有趣的七巧板：七巧板是由5個等腰直角三角形，一個正方形，一個平行四邊形組成的。第五章 一元一次方程1、 從算式到方程 方程是含有未知數(shù)的等式。 方程都只含有一個未知數(shù)x，未知數(shù)x的指數(shù)都是一次，這樣的方程叫做一元一次方程。 就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的解。2、等式的性質(zhì)： (1). 等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。 (2) 等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。 3、把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。（要移就得變）4、在日歷牌中，一個豎列上相鄰兩個數(shù)相差 7 ，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；一個橫行上相鄰的兩個數(shù)相差1，后面的數(shù)比前面的數(shù)大1。5、常用體積公式：長方形的體積=長X寬X 高； 正方形的體積=邊長X邊長X邊長 ； 棱柱的體積=底面積x高； 圓柱的體積=底面積X 高 ； 圓錐的體積= 底面積 X高。6、常用的相等關(guān)系：(1)利潤=售價-成本；利潤率=利潤成本（進價）(2) 利息=本金X利率X時間； 本息和=本金+利息=本金X（1+利率X期數(shù)）利息稅=利息X稅率=本金X利率X時間X5%； 7、行程問題的主要類型及相等關(guān)系：(1) 追及問題：甲乙同向不同地，則：追者走的路程=前者走的路程+兩地間的距離。(2) 問題：甲乙相向而行，則：甲走的路程+乙走的路程=總路程。8、解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出關(guān)鍵句，建立等量關(guān)系。第六章生活中的數(shù)據(jù)1、把一個大于10的數(shù)表示成a的形式（其中1a10,n為正整數(shù)），就叫科學(xué)記數(shù)法。 （從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字。）2、扇形統(tǒng)計圖的性質(zhì)：各扇形分別代表每部分在總體中的百分比大?。桓魃刃握颊麄€圓的百分比之和為100%。3、 (1) 扇形圓心角的度數(shù)=X該部分占總體的百分比；(2) 每部分占總體的百分比=部分數(shù)量總體百分比=該部分所對應(yīng)圓心角的度數(shù)與的比。4、制作扇形統(tǒng)計圖的步驟是：先統(tǒng)計百分比，計算出圓心角，畫出扇形，標上百分比。5、各統(tǒng)計圖的特點：(1)扇形統(tǒng)計圖能清楚地表示出部分在總體中的百分比；(2)折線統(tǒng)計圖能清楚地反映反映事物的變化情況；(3)條形統(tǒng)計圖能清楚地表現(xiàn)出每個項目的具體數(shù)目。第七章 可能性必然事件：事先能肯定它 確定事件不可能事件：事先能肯定它一定 事件不確定事件：事先無法肯定它 1、事情發(fā)生的可能性的大小：機會大的不確定事件不一定發(fā)生，機會小的不確定事件也不一定不發(fā)生，機會大大小只能說明發(fā)生的程度不同。2、要學(xué)會判斷事情發(fā)生的可能性的大小。北師大版初中數(shù)學(xué)七年級(下冊)各章知識點第一章：整式的運算單項式 整 式 多項式同底數(shù)冪的乘法冪的乘方積的乘方 冪運算 同底數(shù)冪的除法零指數(shù)冪負指數(shù)冪整式的加減 單項式與單項式相乘 整式的乘法 單項式與多項式相乘 多項式與多項式相乘整式運算平方差公式完全平方公式單項式除以單項式整式的除法多項式除以單項式一、單項式1、都是數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項式。2、單項式的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)。3、單項式中所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù)。4、單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式。5、只含有字母因式的單項式的系數(shù)是1或1。6、單獨的一個數(shù)字是單項式，它的系數(shù)是它本身。 7、單獨的一個非零常數(shù)的次數(shù)是0。8、單項式中只能含有乘法或乘方運算，而不能含有加、減等其他運算。9、單項式的系數(shù)包括它前面的符號。10、單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，應(yīng)化成假分數(shù)。11、單項式的系數(shù)是1或1時，通常省略數(shù)字“1”。12、單項式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，與單項式的系數(shù)無關(guān)。二、多項式1、幾個單項式的和叫做多項式。2、多項式中的每一個單項式叫做多項式的項。3、多項式中不含字母的項叫做常數(shù)項。4、一個多項式有幾項，就叫做幾項式。5、多項式的每一項都包括項前面的符號。6、多項式?jīng)]有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念。7、多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)。三、整式1、單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。2、單項式或多項式都是整式。3、整式不一定是單項式。4、整式不一定是多項式。5、分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。四、整式的加減1、整式加減的理論根據(jù)是：去括號法則，合并同類項法則，以及乘法分配律。2、幾個整式相加減，關(guān)鍵是正確地運用去括號法則，然后準確合并同類項。3、幾個整式相加減的一般步驟：（1）列出代數(shù)式：用括號把每個整式括起來，再用加減號連接。（2）按去括號法則去括號。（3）合并同類項。4、代數(shù)式求值的一般步驟：（1）代數(shù)式化簡。（2）代入計算（3）對于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進行計算。五、同底數(shù)冪的乘法1、n個相同因式（或因數(shù)）a相乘，記作an，讀作a的n次方（冪），其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，an的結(jié)果叫做冪。2、底數(shù)相同的冪叫做同底數(shù)冪。3、同底數(shù)冪乘法的運算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：aman=am+n。4、此法則也可以逆用，即：am+n = aman。5、開始底數(shù)不相同的冪的乘法，如果可以化成底數(shù)相同的冪的乘法，先化成同底數(shù)冪再運用法則。六、冪的乘方1、冪的乘方是指幾個相同的冪相乘。（am）n表示n個am相乘。2、冪的乘方運算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（am）n =am n。3、此法則也可以逆用，即： am n =（am）n=（an）m。七、積的乘方1、積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方。2、積的乘方運算法則：積的乘方，等于把積中的每個因式分別乘方，然后把所得的冪相乘。即（ab）n=an b n。3、此法則也可以逆用，即：an b n =（ab）n。八、三種“冪的運算法則”異同點1、共同點：（1）法則中的底數(shù)不變，只對指數(shù)做運算。（2）法則中的底數(shù)（不為零）和指數(shù)具有普遍性，即可以是數(shù)，也可以是式（單項式或多項式）。（3） 對于含有3個或3個以上的運算，法則仍然成立。2、不同點：（1）同底數(shù)冪相乘是指數(shù)相加。（2）冪的乘方是指數(shù)相乘。（3）積的乘方是每個因式分別乘方，再將結(jié)果相乘。九、同底數(shù)冪的除法1、同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：aman=am-n（a0）。2、此法則也可以逆用，即：am-n = aman（a0）。十、零指數(shù)冪1、零指數(shù)冪的意義：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1，即：a0=1（a0）。十一、負指數(shù)冪1、任何不等于零的數(shù)的p次冪，等于這個數(shù)的p次冪的倒數(shù)，即： 注：在同底數(shù)冪的除法、 零指數(shù)冪、負指數(shù)冪中底數(shù)不為0。十二、整式的乘法（一）單項式與單項式相乘1、單項式乘法法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字 母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。2、系數(shù)相乘時，注意符號。3、相同字母的冪相乘時，底數(shù)不變，指數(shù)相加。4、對于只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫在積里，作為積的因式。5、單項式乘以單項式的結(jié)果仍是單項式。6、單項式的乘法法則對于三個或三個以上的單項式相乘同樣適用。（二）單項式與多項式相乘1、單項式與多項式乘法法則：單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配率用單項式去乘多項式中的每一項，再把所得的積相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+m c。2、運算時注意積的符號，多項式的每一項都包括它前面的符號。3、積是一個多項式，其項數(shù)與多項式的項數(shù)相同。4、混合運算中，注意運算順序，結(jié)果有同類項時要合并同類項，從而得到最簡結(jié)果。（三）多項式與多項式相乘1、多項式與多項式乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+n b。2、多項式與多項式相乘，必須做到不重不漏。相乘時，要按一定的順序進行，即一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項。在未合并同類項之前，積的項數(shù)等于兩個多項式項數(shù)的積。3、多項式的每一項都包含它前面的符號，確定積中每一項的符號時應(yīng)用“同號得正，異號得負”。4、運算結(jié)果中有同類項的要合并同類項。5、對于含有同一個字母的一次項系數(shù)是1的兩個一次二項式相乘時，可以運用下面的公式簡化運算：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 。十三、平方差公式1、（a+b）(a-b)=a2-b2，即：兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方之差。2、平方差公式中的a、b可以是單項式，也可以是多項式。3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b)。4、平方差公式還能簡化兩數(shù)之積的運算，解這類題，首先看兩個數(shù)能否轉(zhuǎn)化成（a+b）(a-b)的形式，然后看a2與b2是否容易計算。十四、完全平方公式1、 即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。2、公式中的a，b可以是單項式，也可以是多項式。3、掌握理解完全平方公式的變形公式：（1） （2） （3） 4、完全平方式：我們把形如: 的二次三項式稱作完全平方式。5、當計算較大數(shù)的平方時，利用完全平方公式可以簡化數(shù)的運算。6、完全平方公式可以逆用，即： 十五、整式的除法（一）單項式除以單項式的法則1、單項式除以單項式的法則：一般地，單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。2、根據(jù)法則可知，單項式相除與單項式相乘計算方法類似，也是分成系數(shù)、相同字母與不相同字母三部分分別進行考慮。（二）多項式除以單項式的法則1、多項式除以單項式的法則：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。用字母表示為： 2、多項式除以單項式，注意多項式各項都包括前面的符號。第二章平行線與相交線余角余角補角補角角 兩線相交 對頂角同位角三線八角 內(nèi)錯角同旁內(nèi)角平行線的判定平行線平行線的性質(zhì)尺規(guī)作圖一、余角與補角1、如果兩個角的和是直角，那么稱這兩個角互為余角，簡稱為互余，稱其中一個角是另一個角的余角。2、如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角，簡稱為互補，稱其中一個角是另一個角的補角。3、互余和互補是指兩角和為直角或兩角和為平角，它們只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān)。4、余角和補角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等，同角或等角的補角相等。5、余角和補角的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言可表示為：（1） 則 (同角的余角（或補角）相等)。（2） 且 則 (等角的余角（或補角）相等)。6、余角和補角的性質(zhì)是證明兩角相等的一個重要方法。二、對頂角1、兩條直線相交成四個角，其中不相鄰的兩個角是對頂角。2、一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，這兩個角叫做對頂角。3、對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。4、對頂角的性質(zhì)在今后的推理說明中應(yīng)用非常廣泛，它是證明兩個角相等的依據(jù)及重要橋梁。5、對頂角是從位置上定義的，對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂角。三、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角1、兩條直線被第三條直線所截，形成了8個角。2、同位角：兩個角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫做同位角。3、內(nèi)錯角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。4、同旁內(nèi)角：兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫同旁內(nèi)角。5、這三種角只與位置有關(guān)，與大小無關(guān)，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關(guān)系。四、六類角1、補角、余角、對頂角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角六類角都是對兩角來說的。2、余角、補角只有數(shù)量上的關(guān)系，與其位置無關(guān)。3、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角只有位置上的關(guān) 系，與其數(shù)量無關(guān)。4、對頂角既有數(shù)量關(guān)系，又有位置關(guān)系。五、平行線的判定方法1、同位角相等，兩直線平行。2、內(nèi)錯角相等，兩直線平行。3、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。4、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。5、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行。六、平行線的性質(zhì)1、兩直線平行，同位角相等。2、兩 直線平行，內(nèi)錯角相等。3、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。4、平行線的判定與性質(zhì) 具備互逆的特征，其關(guān)系如下：在應(yīng)用時要正確區(qū)分積極向上的題設(shè)和結(jié)論。七、尺規(guī)作線段和角1、在幾 何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。3、尺規(guī)作圖中直尺的功能是：（1）在兩點間連接一條線段；（2）將線段向兩方延長。4、尺規(guī)作圖中圓規(guī)的功能是：（1）以任意一點為圓心，任意長為半徑作一個圓；（2）以任意一點為圓心，任意長為半徑畫一段弧；5、熟練掌握以下作圖語言：（1）作射線；（2）在射線上截取=；（3）在射線上依次截取=；（4）以點為圓心，為半徑畫弧，交于點；（5）分別以點、點為圓心，以、為半徑作弧，兩弧相交于點；（6）過點和點畫直線（或畫射線）；（7）在的外部（或內(nèi)部）畫=；6、在作較復(fù)雜圖形時，涉及基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細過程，只用一句話概括敘述就可以了。（1）畫線段=； （2）畫=；第三章生活中的數(shù)據(jù)單位換算科學(xué)記數(shù)法近似數(shù)生活中的數(shù)據(jù) 精確數(shù)有效數(shù) 字精確度統(tǒng)計圖（象形統(tǒng)計圖）一、單位換算1、長度單位：（1）百萬分之一米又稱微米，即1微米=10-6米。（2）10億分之一米又稱納米，即1納米=10-9米。（3）1微米=103納米。（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=109納米。2、面積單位（1）10-6千米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米2=1018納米2。3、質(zhì)量單位（1）1噸=103千克=106克。二、科學(xué)計數(shù)法表示絕對值小于1的較小數(shù)據(jù)1、用科學(xué)計數(shù)法表示絕對值小于1的較小數(shù)據(jù)時，也可以表示為a10n的形式，其中1a10,n為負整數(shù)，n等于這個數(shù)的第一個不為零的數(shù)字前面所有零的個數(shù)（ 包括小數(shù)點前面的一個零）的相反數(shù)。三、近似數(shù)與精確數(shù)1、精確數(shù)是指一個物體或描述一事件的真實數(shù)值。2、近似數(shù)是指用測量或統(tǒng)計的方法、四舍五入、估計等得到的數(shù)。3、近似數(shù)產(chǎn)生的原因有：（1）由于測量工具和測量方法的局限性不可能得到物體的準確值；（2）有些事件也不可能或沒有必要得出它的精確值。4、近似數(shù)a的真值的范圍大于或等于a與它的最末位的半個單位的差而小于a與它的最末位的半個單位的和。例如近似數(shù)1.60的真值范圍為大于或等于1.595而小于1.605。四、有效數(shù)字1、對于一個近似數(shù)，從左邊第一個不為零的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字。2、對于科學(xué)計數(shù)法型的近似數(shù)，由a10n（1a10）中的a來確定，a的有效數(shù)字就是這個近似數(shù)的有效數(shù)字。與 10n無關(guān)。3、對帶有記數(shù)單位的近似數(shù)，由數(shù)字來確定，與單位無關(guān)。五、近似數(shù)的精確度1、近似數(shù)的精確度是近似數(shù)精確的程度。2、近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。3、精確度是由該近似數(shù)的最后一位有效數(shù)字在該數(shù)中所處的位置決定的。4、對于單獨一個近似數(shù)，根據(jù)最后一位有效數(shù)字在該數(shù)中所處的位置直接確定精確度。5、對用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)應(yīng)注意將其還原為原來的數(shù)后，再確定其精確度。6、對帶單位的近似數(shù)，也要還原為原來的數(shù)后再確定其精確度。7、對近似數(shù)進行取舍時需要注意一般形式與科學(xué)記數(shù)法形式。六、統(tǒng)計圖（表）1、條形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出每個項目的具體數(shù)目。2、折線統(tǒng)計圖：能清楚地反映事物的變化情況。3、扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。4、象形統(tǒng)計圖：能直觀地反映數(shù)據(jù)之間的意義。5、從統(tǒng)計圖中獲取更多的有用信息，應(yīng)做到以下幾步：（1）審清統(tǒng)計圖橫軸和縱軸代表的意義，若是象形統(tǒng)計圖則要看準每個形象圖標代表什么意義；（2）把各部分的數(shù)據(jù)找出來；（3）以圖中讀出的信息作為參考（已知），推測相關(guān)量的變化趨勢或規(guī)律；（4）對需要計算后回答的信息要準確地進行計算。6、制作象形統(tǒng)計圖（1）象形統(tǒng)計圖比一般的統(tǒng)計圖更直觀、更簡潔生動，極富有個性和情感，但準確性差一些。（2）制作象形統(tǒng)計圖沒有固定的格式，需要具有較強的想像力和創(chuàng)造力。（3）制作象形統(tǒng)計圖：一是要明確制作的統(tǒng)計圖的特點；二是要結(jié)合具體問題，分析數(shù)據(jù)特點和規(guī)律，通過設(shè)計簡明、直觀、形象的統(tǒng)計圖，加深對問題的理解。第四章概率必然事件 事件不可能事件不確定事件概率等可能性游戲的公平性概率的定義 概率幾何概率 設(shè)計概率模型一、事件1、事件分為必然事件、不可能事件、不確定事件。2、必然事件：事先就能肯定一定會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次一定發(fā)生，不可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能是100%（或1）。3、不可能事件：事先就能肯定一定不會發(fā)生的事件。也就是指該事件每次都完全沒有機會發(fā)生，即發(fā)生的可能性為零。4、不確定事件：事先無法肯定會不會發(fā)生的事件，也就是說該事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即發(fā)生的可能性在0和1之間。5、三種事件都是相對于事件發(fā)生的可能性來說的，若事件發(fā)生的可能性為100%，則為必然事件；若事件發(fā)生的可能性為0，則為不可能事件；若事件不一定發(fā)生，即發(fā)生的可能性在01之間，則為不確定事件。6、簡單地說，必然事件是一定會發(fā)生的事件；不可能事件是絕對不可能發(fā)生的事件；不確定事件是指有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生的事件。7、表示事件發(fā)生的可能性的方法通常有三種：（1）用語言敘述可能性的大小。（2）用圖例表示。（3）用概率表示。二、等可能性1、等可能性：是指幾種事件發(fā)生的可能性相等。2、游戲規(guī)則的公平性：就是看游戲雙方的結(jié)果是否具有等可能性。（1）首先要看游戲所出現(xiàn)的結(jié)果的兩種情況中有沒有必然事件或不可能事件，若有一個必然事件或不可能事件，則游戲是不公平的；（2）其次如果兩個事件都為不確定事件，則要看這兩個事件發(fā)生的可能性是否相同；即看雙方獲勝的可能性是否相同，只有雙方獲勝的可能性相同，游戲才是公平的。（3）游戲是否公平，并不一定是游戲結(jié)果的兩種情況發(fā)生的可能性都是二分之一，只要對游戲雙方獲勝的事件發(fā)生的可能性一樣即可。三、概率1、概率：是反映事件發(fā)生的可能性的大小的量，它是一個比例數(shù)，一般用P來表示，P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)/所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。2、必然事件發(fā)生的概率為1，記作P（必然事件）=1；3、不可能事件發(fā)生的概率為0，記作P（不可能事件）=0；4、不確定事件發(fā)生的概率在01之間，記作0P（不確定事件）c,a+cb,b+ca；a-bc,a-cb,b-cc,a+cb,b+ca同時成立時，能組成三角形；（2）當兩條較短線段之和大于最長線段時，則可以組成三角形。3、確定第三邊（未知邊）的取值范圍時，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即 .三、三角形中三角的關(guān)系1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于1800。2、三角形按內(nèi)角的大小可分為三類：（1）銳角三角形，即三角形的三個內(nèi)角都是銳角的三角形；（2）直角三角形，即有一個內(nèi)角是直角的三角形，我們通常用“Rt”表示“直角三角形”,其中直角C所對的邊AB稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。注：直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余。（3）鈍角三角形，即有一個內(nèi)角是鈍角的三角形。3 、判定一個三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù)。4、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。5、任 意一個三角形都具備六個元素，即三條邊和三個內(nèi)角。都具有三邊關(guān)系和三內(nèi)角之和為1800的性質(zhì)。6、三角形內(nèi)角和定理包含一個等式，它是我們列出有關(guān)角的方程的重要等量關(guān)系。四、三角形的三條重要線段1、三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線、中線和高線。2、三角形的角平分線：（1）三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。（2）任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點。3、三角形的中線：（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線。（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點 。4、三角形的高線：（1）從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點。區(qū)別相同中線平分對邊三條中線交于三角形內(nèi)部（1）都是線段（2）都從頂點畫出（3）所在直線相交于一點角平分線平分內(nèi)角三條角平分線交于三角表內(nèi)部高線垂直于對邊（或其延長線）銳角三角形：三條高線都在三角形內(nèi)部直角三角形：其中兩條恰好是直角邊鈍角三角形：其中兩條在三角表外部五、全等圖形1、兩個能夠重合的圖形稱為全等圖形。2、全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。3、全等圖形的面積或周長均相等。4、判斷兩個圖形是否全等時，形狀相同與大小相等兩者缺一不可。5、全等圖形在平移、旋轉(zhuǎn)、折疊過程中仍然全等。6、全等圖形中的對應(yīng)角和對應(yīng)線段都分別相等。六、全等分割1、把一個圖形分割成兩個或幾個全等圖形叫做把一個圖形全等分割。2、對一個圖形全等分割：（1）首先要觀察分析該圖形，發(fā)現(xiàn)圖形的構(gòu)成特點；（2）其次要大膽嘗試，敢于動手，必要時可采用計算、交流、討論等方法完成。七、全等三角形1、能夠重合的兩個三角形是全等三角形，用符號“”連接，讀作“全等于”。2、用“”連接的兩個全等三角形，表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這是今后證明邊、角相等的重要依據(jù)。4、兩個全等三角形，準確判定對應(yīng)邊、對應(yīng)角，即找準對應(yīng)頂點是關(guān)鍵。八、全等三角形的判定1、三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“SSS”。2、兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“角邊角”或“ASA”。3、兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“角 角邊”或“AAS”。4、兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“SAS”。5、注意以下內(nèi)容（1）三角形全等的判定條件中必須是三個元素，并且一定有一組邊對應(yīng)相等。（2）三邊對應(yīng)相等，兩邊及夾角對應(yīng)相等，一邊及任意兩角對應(yīng)相等，這樣的兩個三角形全等。（3）兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等不能判定兩三角形全等。6、熟練運用以下內(nèi)容（1）熟練運用三角形判定條件，是解決此類題的關(guān) 鍵。（2）已知“SS”，可考慮A：第三邊，即“SSS”；B：夾角，即“SAS”。（3）已知“SA”，可考慮A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夾角的另一邊，即“SAS”。（4）已知“AA”，可考慮A：任意一邊，即“AAS”或“ASA”。7、三角形的穩(wěn)定性：根據(jù)三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。九、作三角形1、作圖題的一般步驟：（1）已知，即將條件具體化；（2）求作，即具體敘述所作圖形應(yīng)滿足的條件；（3）分析，即尋找作圖方法的途徑（通常是畫出草圖）；（4）作法，即根據(jù)分析所得的作圖方法，作出正式圖形，并依次敘述作圖過程；（5）證明，即驗證所作圖形的正確性（通常省略不寫）。2、熟練以下三種三角形的作法及依據(jù)。（1）已知三角形的兩邊及其夾角，作三角形。（2）已知三角形的兩角及其夾邊，作三角形。（3）已知三角形的三邊，作三角形。十、利用三角形全等測距離1、利用三角形全等測距離，實際上是利用已有的全等三角形，或構(gòu)造出全等三角形，運用全等三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊相等），把較難測量或無法測量的距離轉(zhuǎn)化成已知線段或較容易測量的線段的長度，從而得到被測距離。2、運用全等三角形解決實際問題的步驟：（1）先明確實際問題應(yīng)該用哪些幾何知道解決；（2）根據(jù)實際問題抽象出幾何圖形；（3）結(jié)合圖形和題意分析已知條件；（4）找到解決問題的途徑。十一、直角三角形全等的條件1、在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。2、“HL”是直角三角形特有的判定條件，對非直角三角形是不成立的；3、書寫時要規(guī)范，即在三角形前面必須加上“Rt”字樣。十二、分析-綜合法1、我們在平時解幾何題時，采用的解題方法通常有兩種，綜合法與分析法。2、綜合法：從問題的條件出發(fā)，通過分析條件，依據(jù)所學(xué)知識，逐步探索，直到得出問題的結(jié)論。3、分析法：從問題的結(jié)論出發(fā)，不斷尋找使結(jié)論成立的條件，直至已知條件。4、在具體解題中，通常是兩種方法結(jié)合起來使用，既運用綜合法，又運用分析法。第六章變量之間的關(guān)系 自變量 變量的概念 因變量變量之間的關(guān)系表格法關(guān)系式法 變量的表達方法 速度時間圖象圖象法 路程時間圖象一、變量、自變量、因變量1、在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。2、如果一個變量y隨另一個變量x的變化而變化，則把x叫做自變量，y叫做因變量。3、自變量與因變量的確定：（1）自變量是先發(fā)生變化的量；因變量是后發(fā)生變化的量。（2）自變量是主動發(fā)生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量。（3）利用具體情境來體會兩者的依存關(guān)系。二、表格1、表格是表達、反映數(shù)據(jù)的一種重要形式，從中獲取信息、研究不同量之間的關(guān)系。（1）首先要明確表格中所列的是哪兩個量；（2）分清哪一個量為自變量，哪一個量為因變量；（3）結(jié)合實際情境理解它們之間的關(guān)系。2、繪制表格表示兩個變量之間關(guān)系（1）列表時首先要確定各行、各列的欄目；（2）一般有兩行，第一行表示自變量，第二行表示因變量；（3）寫出欄目名稱，有時還根據(jù)問題內(nèi)容寫上單位；（4）在第一行列出自變量的各個變化取值；第二行對應(yīng)列出因變量的各個變化取值。（5）一般情況下，自變量的取值從左到右應(yīng)按由小到大的順序排列，這樣便于反映因變量與自變量之間的關(guān)系。三、關(guān)系式1、用關(guān)系式表示因變量與自變量之間的關(guān)系時，通常是用含有自變量（用字母表示）的代數(shù)式表示因變量（ 也用字母表示），這樣的數(shù)學(xué)式子（等式）叫做關(guān)系式。2、關(guān)系式的寫法不同于方 程，必須將因變量單獨寫在等號的左邊。3、求兩個變量之間關(guān)系式的途徑：（1）將自變量和因變量看作兩個未知數(shù)，根據(jù)題意列出關(guān)于未知數(shù)的方程，并最終寫成關(guān)系式的形式。（2）根據(jù)表格中所列的數(shù)據(jù)寫出變量之間的關(guān)系式；（3）根據(jù)實際問題中的基本數(shù)量關(guān)系寫出變量之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)圖象寫出與之對應(yīng)的變量之間的關(guān)系式。4、關(guān)系式的應(yīng)用：（1）利用關(guān)系式能根據(jù)任何一個自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值；（2）同樣也可以根據(jù)任何一個因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值；（3）根據(jù)關(guān)系式求值的實質(zhì)就是解一元一次方程（求自變量的值）或求代數(shù)式的值（求因變量的值）。四、圖象1、圖象是刻畫變量之間關(guān)系的又一重要方法，其特點是非常直觀、形象。2、圖象能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況。3、用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸（又稱橫軸）上的點表示自變量，用豎直方向的數(shù)軸（又稱縱軸）上的點表示因變量。4、圖象上的點：（1）對于某個具體圖象上的點，過該點作橫軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點自變量的取值；（2）過該點作縱軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點相應(yīng)因變量的值。（3）由自變量的值求對應(yīng)的因變量的值時，可在橫軸上找到表示自變量的值的點，過這個點作橫軸的垂線與圖象交于某點，再過交點作縱軸的垂線，縱軸上垂足所表示的數(shù)據(jù)即為因變量的相應(yīng)值。（4）把以上作垂線的過程過來可由因變量的值求得相應(yīng)的自變量的值。5、圖象理解（1）理解圖象上某一個點的意義，一要看橫軸、縱軸分別表示哪個變量；（2）看該點所對應(yīng)的橫軸、縱軸的位置（數(shù)據(jù)）；（3）從圖象上還可以得到隨著自變量的變化，因變量的變化趨勢。五、速度圖象1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示速度，哪一條軸（通常是橫軸）表示時間；2、準確讀懂不同走向的線所表示的意義：（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表速度增加；（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表勻速行駛或靜止；（3）下降的線：從左向右呈下降 狀的線，其代表速度減小。六、路程圖象1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示路程，哪一條軸（通常是橫軸）表示時間；2、準確讀懂不同走向的線所表示的意義：（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表勻速遠離起點（或已知定點）；（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表靜止；（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表反向運動返回起點（或已知定點）。七、三種變量之間關(guān)系的表達方法與特點：表達方法特點表格法多個變量可以同時出現(xiàn)在同一張表格中關(guān)系式法準確地反映了因變量與自變量的數(shù)值關(guān)系圖象法直觀、形象地給出了因變量隨自變量的變化趨勢第七章生活中的軸對稱軸對稱圖形軸對稱分類軸對稱角平分線軸對稱實例線段的垂直平分線等腰三角形生活中的軸對稱等邊三角形 軸對稱的性質(zhì)軸對稱的性 質(zhì)鏡面對稱的性質(zhì)圖案設(shè)計軸對稱 的應(yīng)用鑲邊與剪紙一、軸對稱圖形1、如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點：（1）指一個圖形；（2）存在一條直線（對稱軸）；（3）圖形被直線分成的兩部分互相重合；（4）軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的則存在多條；（5）線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形；二、軸對稱1、對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸?？梢哉f成：這兩個圖形關(guān)于某條直線對稱。2、理解軸對稱應(yīng)注意：（1）有兩個圖形；（2）沿某一條直線對折后能夠完全重合；（3）軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但兩個全等的圖形不一定是軸對稱圖形；（4）對稱軸是直線而不是線段；軸對稱圖形軸對稱區(qū)別是一個圖形自身的對稱特性是兩個圖形之間的對稱關(guān)系對稱軸可能不止一條對稱軸只有一條共同點沿某條直線對折后都能夠互相重合如果軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形分成兩部分（兩個圖形），那么這兩部分關(guān)于這條對稱軸成軸對稱。三、角平分線的性質(zhì)1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。2、性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。四、線段的垂直平分線1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。2、性質(zhì)：線段垂直 平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。五、等腰三角形1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；2、 相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸（等邊三角形除外），其底邊上的高或頂角的平分線，或底 邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸。6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對稱軸。7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。8、“三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，一般三角形不具備這一重要性質(zhì)。9、“三線