淺談不定積分的解題方法

歡迎下載 本科學(xué)生畢業(yè)論文 淺談不定積分的解題方法淺談不定積分的解題方法 摘要摘要 本文介紹求不定積分的若干方法：直接積分法，換元積分法，分部積分法和有 理函數(shù)積分法等，結(jié)合實(shí)例討論了這些方法在不定積分求解中的可行性. 關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：不定積分;直接積分法;還原積分發(fā);分部積分法;有理函數(shù)積分法 ABSTRACT There are three solution of indefinite integration in this paper: direct integration, exchangeable integration, parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of indefinite integration, combine with real examples. Key words: Indefinite integral; Direct integral method, Change yean integral method and the division of integral method 歡迎下載 目錄目錄 1 1 引論引論.1 1 2 2 不定積分不定積分.1 1 2.1 不定積分定義.1 2.2 經(jīng)典例題.1 3 3 直接積分法直接積分法.2 2 4 4 換元積分法換元積分法.2 2 4.1 第一換元積分法.3 4.1.1 湊微分法.3 4.1.2 常用湊微分法公式.4 4.2 第二換元積分法.4 4.2.1 根式代換法.5 4.2.2 三角代換.5 4.2.3 倒代換.6 5 5 分部積分法分部積分法.7 5.1 分部積分法.7 5.2 積分的關(guān)鍵.7 6 6 有理函數(shù)積分法有理函數(shù)積分法.7 7 6.1 有理函數(shù)積分法.7 7 6.2 分式有理函數(shù).8 7 7 結(jié)論結(jié)論.1010 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn).1111 歡迎下載 歡迎下載 1 1 引論引論 微積分是高等院校的一門(mén)重要基礎(chǔ)課程，當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家柯朗1曾指出微積 分和數(shù)學(xué)分析是人類思維的偉大成果之一，它處于自然科學(xué)與人文科學(xué)之 間的地位，使它成為高等數(shù)學(xué)的一種特別有效的工具. 不定積分是數(shù)學(xué)分析的基本 內(nèi)容和主要內(nèi)容，不定積分也是微分學(xué)和積分學(xué)的聯(lián)系紐帶. 不定積分的一個(gè)重要 內(nèi)容，不定積分的解法不像徽分法有一定的方法可循.求不定積分思維方靈活多樣， 它要根據(jù)不同題型特點(diǎn)采取不同的解法，不定積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算. 下面 把常用的不定積分的解法分類歸納，以便學(xué)生更好地掌握，求解不定積分的常規(guī)方 法有：直接積分法，換元積分法，分部積分法和特殊積分法. 而實(shí)際運(yùn)用中使用較 多的是換元積分法和分部積分法，分部積分法是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn), 掌握不定積 分的解法比較困難，但是求導(dǎo)相對(duì)容易，因?yàn)橹灰煊浟嘶境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式、 掌握了導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，就可以求出任何函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 可是不定積分就沒(méi)有這么容易，第一是沒(méi)有適用于一切初等函數(shù)不定積分的方法， 第二是許多初等函數(shù)的原函數(shù)本身就不是初等函數(shù), 而出現(xiàn)不定積分存在但是求不 出來(lái)的情況. 2 2 不定積分不定積分 2.12.1 不定積分的定義不定積分的定義 不定積分的定義2若在某以區(qū)間上則在這個(gè)區(qū)間上函數(shù) F(x)叫函 Fxf x 數(shù)的原函數(shù). 我們把函數(shù)的原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為的不定積分. f x f x f x 記為，亦即 f x dx , f x dxF xC 其中是的一個(gè)原函數(shù)，C 為任意常熟，又稱是被積函數(shù)，為 F x f x f xx 積分變量，C 為積分常數(shù)，記號(hào):為積分號(hào). () 例例 1 1 求多項(xiàng)式的積分 2 321xxdx 解 利用積分的運(yùn)算法則,有 歡迎下載 原式. 232 32x dxxdxdxxxxC 3 3 直接積分法直接積分法 直接積分法3就是利用積分公式和積分的基本性質(zhì)求不定積分的方法，直接積 分法的關(guān)鍵是把被積函數(shù)通過(guò)代數(shù)或三角恒等變形，變?yōu)榇鷶?shù)和，再逐項(xiàng)積分. 直接積分法的關(guān)鍵4是： 熟練的掌握積分的基本公式和運(yùn)算法則是關(guān)鍵,也是 學(xué)習(xí)不定積分的基本要求，由于求不定積分和求導(dǎo)數(shù)互為逆運(yùn)算，因此基本積分公 式是與基本微分公式對(duì)應(yīng)的積分公式 在基本微分公式較熟悉的前提下，基本積分公 式是不難記住的 . 例例 2 2 求 2 cot xdx 分析：基本關(guān)系中沒(méi)有關(guān)于的積分，但是由于他相關(guān)的積分,于是， 2 cot x 2 csc x 把來(lái)表示，然后代入公式： 2 cot x用 2 csc x 解 . 22 cotcsc1cotxdxxdxxxC 例例 3 3 求 4 2 1 x dx x 解 原式. 4 23 22 1 111 1arctan 113 x dxxdxdxxxxC xx 例例 4 求 2 cos xxdx 解 . 2 1 cos21cos21sin2 cos 22224 xxx xxdxdxdxdxxC 例例 5 5 求 cos2 cossin x dx xx 解 被積函數(shù)有不同三角函數(shù)和可利用倍角公式為sin ,cosxxcos2x . 22 cos2cossin cossinsincos cossincossin xxxdx xx dxxxC xxxx 4 4 換元積分法換元積分法 歡迎下載 換元積分法，就是通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把積分轉(zhuǎn)化為積分表中的類型或容易 積分的形式，換元積分法包括第一換元積分法及第二換元積分法. 4.14.1 第一換元積分法第一換元積分法 第一換積分法5（又稱湊微分法)在求積分，如果它可 g x dx 的形式時(shí)，可作變量代換 u=h(x)則，此時(shí) ( )f h x h x dx ( )duh x dx 而又可直接積分得，最后再將 u 換回 ( ) ( )( )f h x h x dxf u du f u du ( )F uC 即可運(yùn)算形式下:( )h x( ) ( ) ( )g x dxf h x h x 湊微分 ( ) ( ( )f h x d h x 變量代換 第一換元積分法的關(guān)鍵4是將被積表達(dá)( )uh x( )F uC 回代 ( )F h x dh xC 化 再選擇變量代換. ( )g x dx ( ) ( )f h x h x dx 湊微分 ( )f h x dh x ( )uh x 第一換元積分法的關(guān)鍵4是:將被積表達(dá)式湊成兩部分，一部分為復(fù)合函數(shù)， 其中外函數(shù)為基本公式的一個(gè)函數(shù)類，另一部分為內(nèi)數(shù)的微分，這里要注意系數(shù)的 調(diào)整 . 例例 6 6 求求 3 1 45 dx x 分析 其中外函數(shù)為冪函數(shù)，內(nèi)函數(shù)為 1 2 3 3 454545 10 a xdxxC .45x 解 原式. 2 1 3 3 13 4545(45 ) 510 xdxxC 湊微分法6可概述為： 湊微分； ( )u x dv x 可積出，則積出； 積不出，則分部之不定積分等于與之積減去和 ( )u x dv x( )u x( )v x( )u x 交換位置的不定積分.( )v x 歡迎下載 注意：注意： 1 可積出 （a）x 冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)，余弦函數(shù)之積的不定積分只須 取 x 的冪函數(shù)作即可積出. （b） x 冪函數(shù)與反三角函數(shù)的積的不定積分只須取反三角函數(shù)作即可積出. ( )u x (c) 指數(shù)函數(shù)同正弦正數(shù)、余弦函數(shù)之積的不定積分則可以任取一種函數(shù)即( )u x 可積出. 2 積不出 多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),正(余)弦函數(shù),反三角函數(shù)的乘積的不定積分. 例例 7 7 求 2 351 cos4xxxdx 解 根據(jù)不定積分的運(yùn)算性質(zhì),得 222 sin4 351 cos43cos45cos4cos48405 32 cos4 25. 16 x xxxdxxxdxxxdxxdxxx x xC 4.1.24.1.2 常用的湊微公式常用的湊微公式 常用的湊微公式主要有： ； 1 dxaxb a ； 1 lndxdx x ； xx e dxd e ；cossinxdxdx ； 2 2 1 csc sin dxxdx x . 2 1 arctan 1 dxdx x 例例 8 8 2 1 1 Idx x x 解 令,則 secxt 22 sec tan,1sec1tandxttdtxtt 歡迎下載 . 11 arccos sec tan Ic ttdtx 4.24.2 第二換元積分法第二換元積分法 一般地，如果在積分中,令，且可導(dǎo), 則有 f x dx xh t , 0h xhx 若該式右端易求出原函數(shù)， 則得第二類換元法7積 f x dxfh th t dt () 分公式其中為的反函數(shù), . 1 f x dxhh xC 1 h x xh t 1 th x 第二類換元法關(guān)鍵：是要引入適當(dāng)?shù)男碌姆e分變量，將原來(lái)的不定積分轉(zhuǎn)化成 為對(duì)新的積分變量的積分 然而,如何引入新的積分變量一般沒(méi)有什么規(guī)律可循,只有 一條大原則,就是引入新的積分變量后,要使新的不定積分比原來(lái)的不定積分較易求 出 這樣,問(wèn)題也就比靈活,也比較困難 在教學(xué)時(shí),我將這個(gè)問(wèn)題作了一些歸納總結(jié), 如何引入新的積分變量可大致歸結(jié)為下列三種方法. 4.2.14.2.1 根式代換法根式代換法 根式代換法4的原則是將被積函數(shù)中含有的某個(gè)根式作為一個(gè)新的積分變量, 即將被積函數(shù)中含有的某個(gè)根式用一個(gè)新的積分變量代換后,使其在新的被積函數(shù)中 不再含有根式. 例例 9 9 求 3 1 31 x dx x 解 根據(jù)上述原則，須引進(jìn)一個(gè)新的積分變量使其在新的被積表達(dá)式中不再含 有根式，顯然，只須引入變量，則可以達(dá)到上述目的, 3 31tx 令，則 3 31tx 32 1 1 , 3 xtdxt dt . 2 2 222 3 3 1 11 111 3 5231 15531 t x dxt dtttCxxC tx 4.2.24.2.2 三角代換三角代換 三角代換法8的原則是通過(guò)引入適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q把被積表達(dá)式中之根號(hào)去掉,轉(zhuǎn) 化成為三角有理函數(shù)之積分 被積函數(shù)中若含有根式, 22 0axa 歡迎下載 或都可用三角代換法解決 三角代換法的一般方法如 22 0axa 22 0 xaa 下: 被積式含有的根式三角代換 22 0axa sin 22 xatt 22 0axa 22 xatgtt 22 0 xaa ssec0, 2 2 xattt 例例 1010 求 22 0ax dx a 解 令,則,于是sin , 2 2 xat t cosdxatdt 2 2 222222 2222 22 sincoscos1 cos2 2 arcsinarcsin. 22 a ax dxaatatdtatdtt dt axxaxaxx CaxC aaaaa 4.2.24.2.2 倒代換倒代換 所謂倒數(shù)代換法7就是將積分變量用一個(gè)新的變量的倒數(shù)去代換，將其被積表 達(dá)式化簡(jiǎn) 一般地，形如 ； ； 22 1 0dx a x xa 222 1 0dx a xxa ； ； 2 1 dx x axbxc 22 1 dx xaxbxc ； 2 2 axbxc dx x 等積分均可作倒數(shù)代換. xt 歡迎下載 例例 1111 求 1 1 1 n xnN x x 解 令 2 11 ,xdxdt tt 原式 1 2 1 1 ln 1 1 11 1 n n n n t t dtdttC tn tt 得 . 111 ln 1 1 n n C nxx x 5 5 分部積分法分部積分法 5.15.1 分部積分法分部積分法 分部積分法9主要用于解決被積函數(shù)的兩種初等函數(shù)的乘積或單一個(gè)函數(shù)(對(duì)數(shù) 函數(shù)，反三角函數(shù)，初等函數(shù))的不定積分的分部積分公式: . u x dv xu x v xv x du x 5.25.2 積分的關(guān)鍵積分的關(guān)鍵 選取哪個(gè)因子當(dāng)作是鍵，選擇不當(dāng)不僅不會(huì)使積分由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，反而更復(fù)雜 選要按以下順序進(jìn)行口(順序在前者先選)對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函 數(shù)、三角函數(shù). 例例 1212 求lnxxdx 分析 被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，由的選取順序,. u x lnu xx 解解 原式. 22222 11111 lnlnlnln 22224 xdxxxx dxxxxC 例例 1313 求 2 xtg xdx 分析 被積函數(shù)是冪函數(shù)與三角函數(shù)的乘積，由，的選取順序，令 ()() = 解 原式 222 1 1 sec1sec 2 xxdxxxdxxdxxdtgxxC 22 2 111 cos 2cos2 xtgxtgxdxxCxtgxdxxC x 歡迎下載 ( ). 22 11 lncoslncos 22 xtgxxxCatgxxxC 12 CCC 6 6 有理函數(shù)有理函數(shù) 6.16.1 有理函數(shù)有理函數(shù) 有理函數(shù)2設(shè) P(x)和 Q(x)是兩個(gè)多項(xiàng)式，則成形如的函數(shù)為有理函數(shù) P x Q x 如： 22 24 13221 , 115 xx xx xxxx 等都是有理函數(shù) 下面為我們討論有理函數(shù)的積分方法的一般方法. 6.26.2 分式有理函數(shù)分式有理函數(shù) 把真分式分解為簡(jiǎn)單分實(shí)質(zhì)和的方法歸結(jié)起來(lái)，主要由以下兩點(diǎn)： 若 Q(x)有一個(gè) k 重實(shí)根 a，則分解時(shí)必含有分式 () , 12 2 k k AAA xa xaxa 其中 A1,A,2Ak為待定系數(shù)； , (ii) 若 Q(x)有一對(duì) k 重共軛復(fù)根 和 ，這時(shí) Q(x)必有因子,其中 2 k xpxq 22 ,40,xpxqxxpq 則分解師比含有分式 ,其中 1122 22 22 xxkxk k BCBCBC xpxq xpxqxpxq 都是待定系數(shù) . 1212 , kk B BB C CC 由此可見(jiàn)，任何一個(gè)真分式都可以分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單的部分分式之和，而這些 簡(jiǎn)單分式不外乎以下四種類型： (1)； A xa (2)； 1,2,3, n A n xa 歡迎下載 (3)； 2 BxC xpxq (4). 2 1,2,3 n BxC n xpxq 其中都是常數(shù)，并設(shè)二次三項(xiàng)式?jīng)]有實(shí)根，即于, , , ,A B C a p q 2 xpxq 2 40pq 是，求任何一個(gè)真分式的不定積分問(wèn)題也就化成以上四種類型的積分，現(xiàn)在，分別 求出如下： (1) A dx xa 這個(gè)積分早已會(huì)求，它是 ln A dxAxaC xa (2 1,2,3 n A dx n xa 這個(gè)積分早已會(huì)求，它是 1 1 1,2,3 1 nn AA dxC N n xaxa A (3) 2 BxC dx xpxq 由分出完全平方項(xiàng)，從而有 2 xpxq ， 2 2 2 24 pp xpxqxq 最后一個(gè)括號(hào)中的表達(dá)式為一正數(shù)，不妨記為 現(xiàn)在作代換 2 , 2 p xt dxdt 于是, 22 222 12 lnarctan 22 bp BxC BxCBBpt dxdttaCC xpxqtaaa 其中為常數(shù)，代回變量 x，就有 . 2 2 22 22 lnarctan 2 44 BxCBCBpxp dxxpxqC xpxq qpqp 歡迎下載 例例 1414 求 2 2 22 11 x dx xx 解 利用部分分時(shí)，即可求得 222 22 22112 11 111 xxx dxdxdxdx xx xxx . 2 2 11 ln1ln1arctan 21 xxxC x 例例 1515 求 32 2 3 1 xxx dx x 解 這是被積函數(shù)的次數(shù)高于分母的次數(shù)，因此首先用除法寫(xiě)成 32 22 32 1 11 xxx x xx 即可求得 . 322 22 321 1ln 1121 xxxxx dxxdxxC xxx 結(jié)論結(jié)論 上面所介紹的不定積分的解題方法都是常用的方法，根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特 點(diǎn)采取上述所給出的方法去解題，同時(shí)要學(xué)會(huì)用一些技巧把所求的復(fù)雜的題目變成 我們所熟悉的，簡(jiǎn)單的方法解題 因此，需要我們?nèi)ザ嘧鲂┚毩?xí)來(lái)