2020高中數(shù)學(xué) 2-3 第2課時(shí)角度和物理問題同步導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修5

第2課時(shí)角度和物理問題知能目標(biāo)解讀1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法求解三角形的實(shí)際問題.2.學(xué)會(huì)處理測(cè)量角度問題等解三角形的實(shí)際問題.3.用解三角形的知識(shí)，解決有關(guān)的實(shí)際問題，目的是進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，提高分析和解決簡單的實(shí)際問題的能力、動(dòng)手操作能力以及用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行交流的能力，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，以達(dá)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：構(gòu)建數(shù)學(xué)模型探求角度測(cè)量方法.難點(diǎn)：將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)要測(cè)量角的大小，可利用測(cè)角儀或通過測(cè)量出距離計(jì)算角的大小，根據(jù)所測(cè)出的三角形中的量，運(yùn)用正、余弦定理和三角形中的有關(guān)性質(zhì)計(jì)算出所要求的角.在計(jì)算面積和航海問題中，也都與求角的問題相聯(lián)系.要清楚問題中的角的含義，如方向角、方位角、仰角、俯角等，根據(jù)已知線段和角以及要求的角，選擇有充分條件的三角形求解.知能自主梳理1.測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用和求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角.2.坡面和水平面的夾角叫做.3.坡面的鉛直高度與水平寬度之比（如圖中的），叫做.答案1.正弦定理余弦定理2.坡角3.坡比思路方法技巧命題方向測(cè)量角度問題例1在南海伏季漁中，我漁政船甲在A處觀測(cè)到一外國偷漁船乙在我船北偏東60的方向，相距a海里，偷漁船正在向北行駛，若我船速度是漁船速度的倍，問我船應(yīng)沿什么方向前進(jìn)才能追上漁船？此時(shí)漁船已行駛多少海里？解析如圖所示，設(shè)乙船沿B點(diǎn)向北行駛的速度大小為v,則甲船行駛的速度大小為v,兩船相遇的時(shí)間為t,則BC=vt,AC=vt，在ABC中，ABC=120,AB=a,由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120,即3v2t2=a2+v2t2+vat,2v2t2-vat-a2=0,解得t1=,t2=- (舍去).BC=a,CAB=30.即甲船應(yīng)沿北偏東30的方向去追趕乙船，在乙船行駛a海里處相遇.說明解答此類問題，首先應(yīng)明確各個(gè)角的含義，然后分析題意，分清已知和所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，將圖形中的已知量與未知量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形的邊與角的關(guān)系，運(yùn)用正、余弦定理求解.變式應(yīng)用1在地面上某處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，由此處向塔?0米，測(cè)得塔頂仰角為2，再向塔走10米，測(cè)得塔頂仰角為4，試求角的度數(shù).分析如圖所示，求角，必須把角、2、4和邊長30、10盡量集中在一個(gè)三角形中，利用方程求解.解析解法一：PAB=，PBC=2，BPA=，BP=AB=30，又PBC=2，PCD=4，BPC=2，CP=BC=10 ，在BPC中，根據(jù)正弦定理得：，即=，由于sin20,cos2=，0290，2=30,=15.解法二：在BPC中，根據(jù)余弦定理得：PC2=PB2+BC2-2PBBCcos2把PC=BC=10，PB=30代入上式得，300=302+（10）2-23010cos2化簡得：cos2=,0290，2=30,=15.解法三：如下圖，過頂點(diǎn)C作CEPB，交PB于E，BPC為等腰三角形,PE=BE=15,在RtBEC中，cos2=,02OB,ABO=25.49或ABO=154.51,當(dāng)ABO=25.49時(shí)，AOB=136.51，AB=4.77108（km）.當(dāng)ABO=154.51時(shí)，AOB=7.49，AB=9.03107（km）.答：此時(shí)地球與金星之間的距離約為4.77108km或9.03107km.名師辨誤做答例4海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45方向，距A處（-1）n mile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75的方向，距離A處2n mile的C處的緝私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東30方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？誤解緝私船用t小時(shí)，在D處追上走私船，在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=(-1) 2+22-2（-1）2cos1206，BC=.在BCD中，BD=10t,CD=10t,由余弦定理，得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosCBD,(10t) 2=6+(10t) 2-210t（-），整理，得100t2-5t-3=0,解得t=.BD=,又BC=,CBD=120.BCD=BDC=30.故緝私船沿東偏北30的方向能最快追上走私船.辨析述解法錯(cuò)誤的原因在于默認(rèn)為CBD=120，而沒有給出證明，并且多余的求出時(shí)間t.正解緝私船用t小時(shí)在D處追上走私船.在ABC,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=(-1) 2+22-2（-1）2cos1206，BC=.在BCD中，由正弦定理，得sinABC=sinBAC=,ABC=45，BC與正北方向垂直.CBD=120.在BCD中，由正弦定理，得,sinBCD=,BCD=30.故緝私船沿東偏北30的方向能最快追上走私船.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.在某測(cè)量中，設(shè)A在B的南偏東3427，則B在A的（）A.北偏西3427B.北偏東5533C.北偏西5532D.南偏西5533答案A2.如果在測(cè)量中，某渠道斜坡的坡比為，設(shè)為坡角，那么cos等于（）A. B. C. D. 答案B解析由題意，得tan=,即,為銳角，cos=.3.一船以22km/h的速度向正北航行,在A處看燈塔S在船的北偏東45,1小時(shí)30分后航行到B處,在B處看燈塔S在船的南偏東15,則燈塔S與B之間的距離為 ()A.66 kmB.132 kmC.96 kmD.33 km答案A解析如圖，ASB=180-15-45=120，AB=22，由正弦定理，得，SB=66km.二、填空題4.一艘船以4 km/h的速度沿著與水流方向成120的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過h，該船實(shí)際航程為.答案6 km解析如圖，水流速和船速的合速度為v，在OAB中： OB2=OA2+AB-2OAABcos60，OB=v=2km/h.即船的實(shí)際速度為2km/h，則經(jīng)過h，其路程為2=6 km.5.一只螞蟻沿東北方向爬行xcm后，再向右轉(zhuǎn)105爬行20cm，又向右轉(zhuǎn)135，這樣繼續(xù)爬行可回到出發(fā)點(diǎn)處，那么x=.答案cm解析如圖ABC中，A=451560，B=45+30=75,ACB=45,由正弦定理知,x=.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40，燈塔B在觀察站C的南偏東60，則燈塔A在燈塔B的（）A.北偏東10B.北偏西10C.南偏東10D.南偏西10答案B解析如圖，由題意知ACB=180-40-6080，AC=BC,ABC=50,=60-50=10.2.甲船在B島的正南A處，AB=10km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是 ()A. minB. hC.21.5minD.2.15h答案A解析如圖，設(shè)經(jīng)過x小時(shí)時(shí)距離為s，則在BPQ中，由余弦定理知：PQ2=BP2+BQ2-2BPBQcos120，即s2=(10-4x) 2+(6x) 2-2(10-4x)6x(-)=28x2-20x+100.當(dāng)x=-時(shí)，s2最小，此時(shí)x=h=min.3.如圖所示，B、C、D三點(diǎn)在地面同一直線上，DC=a，從C、D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別為、（)，則A點(diǎn)離地面的高AB等于（）A. B. C. D. 答案A解析由tan=,tan=，聯(lián)立解得AB.4.一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力、（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)，已知、成60角，且、的大小分別為2和4，則的大小為 ()A.6B.2C.2D.2答案D解析由題意，得+0，、-,(+)2=2,+2+22，4+16+224cos602，228，|=2.故選D.5.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60方向上，另一燈塔在船的南偏西75方向上，則這艘船的速度是每小時(shí)（）A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里答案C解析如圖，依題意有BAC=60,BAD=75，CAD=CDA=15，從而CD=CA=10，在RtABC中，求得AB=5，這艘船的速度是=10(海里/小時(shí)).6.江岸邊有一炮臺(tái)高30米，江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45和30，而且兩條船與炮臺(tái)底部連線成30角，則兩條船相距（）A.10米B.100米C.20米D.30米答案D解析設(shè)炮臺(tái)頂部為A，兩條船分別為B,C,炮臺(tái)底部為D，可知BAD=45，CAD=60，BDC=30，AD=30.分別在RtADB,RtADC中，求得BD=30,DC=30.在DBC中，由余弦定理得BC2=DB2+DC2-2DBDCcos30，解得BC=30.7.如圖，在一幢20m高的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0，底部的俯角為45，那么這座塔吊的高是（）A.20（1+）mB.20（1+）mC.10（）mD.20（）m答案B解析由仰角與俯角的意義可知，DAE=60，EAC45，又EC20m,BC=AE=20m,在AED中，DE=AEtan6020m.塔吊的高度是20（1+）m.8.如下圖所示，一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為（）A. 海里/小時(shí) B.34海里/小時(shí)C.海里/小時(shí) D.34海里/小時(shí)答案 A解析 由題意知PM=68，MPN=120，N=45,由正弦定理知MN=68=34,速度為（海里/小時(shí)）.二、填空題9.一角槽的橫斷面如圖所示，四邊形ABED是矩形，已知DAC=50，CBE=70，AC=90，BC=150，則DE= .答案210解析由題意知ACB=120，在ACB中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=902+1502-290150（-）44100.AB=210,DE=210.10.在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船前進(jìn)的方向指向河流的上游并與河岸垂直的方向所成的角為.答案30解析水流速度與船速的合速度為v,方向指向河岸，如圖由題意可知sin=30.11.有一長為100米的斜坡，它的傾斜角為45，現(xiàn)在要把傾斜角改成30，則坡底要伸米.答案50（）解析如圖所示，在ABC中，C=90，ABC=45，AB=100,AC=50.又在ACD中，ADC=30，DAB=45-3015.sin15=sin(45-30)=.在ABD中，由正弦定理，得,BD=50()（米）.12.在燈塔上面相距50米的兩點(diǎn)A、B，測(cè)得海內(nèi)一出事漁船的俯角分別為45和60，試計(jì)算該漁船離燈塔的距離.答案25（+1）（米）解析由題意，作出圖形如圖所示，設(shè)出事漁船在C處，根據(jù)在A處和B處測(cè)得的俯角分別為45和60，可知CBD=30，BAC=45+90=135,ACB=180-135-30=15,又AB=50,在ABC中，由正弦定理，得,AC=25（）（米）.出事漁船離燈塔的距離CD= (米).三、解答題13.甲船在A處遇險(xiǎn)，在甲船西南10海里B處的乙船收到甲船的求救信號(hào)后，測(cè)得甲船正沿著北偏西15的方向，以每小時(shí)9海里的速度向某島靠近.如果乙船要在40分鐘內(nèi)追上甲船，問乙船應(yīng)以多大速度、向何方向航行？（注：sin2147=）分析解答本題可先畫示意圖，然后運(yùn)用余弦定理求解速度，用正弦定理求乙船的航向.解析設(shè)乙船速度為v海里/時(shí)，在ABC中，由余弦定理可知：BC2=AC2+AB2-2ACABcosCAB,v=21海里/時(shí).又由正弦定理可知：,sinB=,B2147,即乙船應(yīng)按北偏東4521472313的方向航行.14.A、B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800 m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45，BAD=120，又在B點(diǎn)測(cè)得ABD=45，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.解析如圖，由于CD平面ABD，CAD=45,所以CD=AD.因此，只需在ABD中求出AD即可.在ABD中，BDA=180-45-120=15,由（m）.CD平面ABD，CAD=45，CD=AD=800（+1）2 186（m）.答：山高CD為2 186 m.15.如圖所示，海中一小島周圍3.8 n mile內(nèi)有暗礁，一船從A由西向東航行望見此島在北75東.船行8 n mile后，望見此島在北60東，如果該船不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有沒有觸礁的危險(xiǎn).解析在ABC中，AC=8，ACB=90+60=150,CAB=90-75=15,ABC=15.ABC為等腰三角形，BC=AC=8，在BCD中，BCD=30,BC=8,BD=BCsin30=43.8.故該船沒有觸礁危險(xiǎn).16.如圖所示，A、B兩個(gè)小島相距21n mile,