談反證法在分析學(xué)中的應(yīng)用文獻(xiàn)綜述

談反證法在分析學(xué)中的應(yīng)用XXX（莆田學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院 指導(dǎo)教師: XXX）一、 研究背景及動(dòng)態(tài)反證法的應(yīng)用是分析學(xué)中的一個(gè)非常重要的課題，它不但是高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析中許多問(wèn)題的解題基礎(chǔ)，并且它也為許多數(shù)學(xué)分支，如微分幾何、常微分方程、泛函分析等的進(jìn)一步研究提供了堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù).目前國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有很多學(xué)者研究反證法在分析學(xué)中的應(yīng)用這個(gè)課題。 一般而言，在現(xiàn)在的大學(xué)學(xué)習(xí)階段，對(duì)于反證法的應(yīng)用提及的不少，但只是說(shuō)到一些表面的應(yīng)用，而且沒(méi)有針對(duì)反證法的應(yīng)用進(jìn)行分類歸納。而現(xiàn)行的數(shù)學(xué)專業(yè)教材中則很少對(duì)此作出總結(jié)，文獻(xiàn)綜述也較為分散，本課題是在前人學(xué)者研究的基礎(chǔ)之上針對(duì)教材相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的概括和升華。對(duì)以后解決相關(guān)的命題可能會(huì)起到不可替代的作用，為我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)和掌握相關(guān)內(nèi)容提供了更好更全的方法。二、 評(píng)述從命題結(jié)論的反面出發(fā)，引出矛盾，從而證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。反證法是一種十分重要的數(shù)學(xué)證明方法，它的使用可以上溯到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，與無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（J.Hamdamard,18651963）對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)做過(guò)概況：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。正是由于前人學(xué)者對(duì)于反證法的重視和研究，也是由于反證法的重要性，以至于現(xiàn)在我們不得不重新審視反證法，對(duì)于反證法的應(yīng)用再次進(jìn)行歸納總結(jié)和推廣。陳艷凌、陳繼龍、張銳梅幾位學(xué)者在“關(guān)于數(shù)學(xué)分析中宜用反證法證明的問(wèn)題”一文中指出，運(yùn)用反證法證明的習(xí)題類型及規(guī)律是：1.證明“函數(shù)某個(gè)特定常數(shù)”；2.在已知極限存在貨易證出極限存在的前提下，證明“極限等于零”或“極限等于某個(gè)特定常數(shù)”；3.證明有關(guān)“不存在”的題目；4.證明“至少有一點(diǎn)”的題目，對(duì)于題設(shè)中函數(shù)不具連續(xù)條件者，有時(shí)適宜用實(shí)數(shù)理論找點(diǎn)，再用反證法證明為所求；5.證明集合個(gè)數(shù)為“有限個(gè)”；6.證明“函數(shù)有界限”；7.證明“最多只有”的題目；8.證明“唯一性”。徐秀娟在“反證法在高等數(shù)學(xué)證明題中的應(yīng)用”中通過(guò)對(duì)于具體例題的分析，歸納出一些多采用反證法證明的命題，如命題結(jié)論涉及“否定”含義；命題結(jié)論涉及“無(wú)限”；命題結(jié)論出現(xiàn)“至少”、“至多”、“僅有”形式等，采用反證法證明較易的問(wèn)題。我國(guó)學(xué)者郭建在“分析學(xué)中的邏輯方法”一文中指出，分析學(xué)中，關(guān)于唯一性的各種命題的論證，多用反證法。并闡述了反證法的兩種形式歸謬法和窮舉法。在數(shù)學(xué)邏輯的角度對(duì)反證法的應(yīng)用進(jìn)行了說(shuō)明。學(xué)者殷堰工在“數(shù)學(xué)分析中的反證法”一文中指出反證法對(duì)于那些抽象程度高而且用直接證法難于達(dá)到目的的數(shù)學(xué)命題常常奏效。同時(shí)通過(guò)對(duì)大量的反證法處理的命題進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)出一些適用反證法的規(guī)律性問(wèn)題。孟紅玲、趙遠(yuǎn)在“反證法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉例”中說(shuō)明了反證法的含義，及用反證法證明的嚴(yán)密性，反證法的證明步驟，及適宜用反證法證明的問(wèn)題。同時(shí)本文的一些經(jīng)典例題參考自孫濤的“數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析”以及李明振的“數(shù)學(xué)方法與解題研究”。參考了大量的關(guān)于此類命題研究的文章，選取了對(duì)筆者啟發(fā)比較大比較有代表性的一些文章進(jìn)行參考。隨著歷史的車輪時(shí)間的腳步，通過(guò)前人學(xué)者的研究我們可以發(fā)現(xiàn)，反證法的定義大致上沒(méi)有什么改變，但是在對(duì)于細(xì)節(jié)上日臻完善。同樣在對(duì)反證法在分析學(xué)中的應(yīng)用，前人學(xué)者也都各自有著自己的看法和見(jiàn)解。總結(jié)分類方面也不盡相同，筆者就是在前人的研究基礎(chǔ)之上，進(jìn)行了再一次的探究和論證，希望對(duì)以后的學(xué)者在對(duì)反證法在分析學(xué)中的應(yīng)用方面有著更好的認(rèn)識(shí)，能夠抓住要點(diǎn)，掌握精髓。三、 結(jié)論總體上來(lái)看，在分析學(xué)中宜用反證法證明的命題形式分為幾種：1、結(jié)論為否定形式的命題；2、結(jié)論為以“至少”、“至多”、“任一”、“惟一”、“無(wú)一”、“全部”等形式出現(xiàn)的命題；3、結(jié)論以“無(wú)限”的形式出現(xiàn)或涉及“無(wú)限”性質(zhì)的命題；4、關(guān)于存在性的命題；5、已知條件少或從已知出發(fā)所能推出結(jié)論甚少的命題，以及其他的一些方面等，筆者就是從前人學(xué)者的基礎(chǔ)上進(jìn)行再次總結(jié)，并對(duì)接觸到的關(guān)于反證法在分析學(xué)中應(yīng)用的新的形式或題型進(jìn)行了總結(jié)和例舉。由于水平知識(shí)有限，所以文章存在著這樣那樣的漏洞和缺點(diǎn)，希望大家能幫忙改正。參考文獻(xiàn)：1陳艷凌,陳繼龍,張銳梅. 關(guān)于數(shù)學(xué)分析中宜用反證法證明的問(wèn)題J. 齊齊哈爾師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2007,03:125-126.2徐秀娟. 反證法在高等數(shù)學(xué)證明題中的應(yīng)用J. 河北理工學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2005,04:115-117.3孟紅玲,趙遠(yuǎn). 反證法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用舉例J. 洛陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào),2002,04:110-112.4郭健. 分析學(xué)中的邏輯方法J. 商洛師專學(xué)報(bào),1995,0