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1,16.1二重積分的定義與基本性質(zhì),二、二重積分的存在性,一、二重積分的定義,三、二重積分的性質(zhì),2,一、二重積分的定義,解法:類似定積分解決問題的思想:,1.曲頂柱體的體積,給定曲頂柱體:,底：xoy面上的閉區(qū)域D,頂:連續(xù)曲面,側(cè)面：以D的邊界為準(zhǔn)線,平行于z軸,求其體積？,“大化小,常代變,近似和,求極限”,步驟如下：,(3)求和：,(4)取極限：,(1)分割：,(2)近似：,4,求平面薄片的質(zhì)量,將薄片分割成若干小塊，,取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，,所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量,第(i)類面積：,則有,P是有界的，,用直線網(wǎng)T分割,第(i)(iii)類面積：,區(qū)域的面積,顯然有,定理1平面有界圖形P可求面積的充要條件是:,定義2(二重積分),7,積分區(qū)域,積分和,被積函數(shù),積分變量,被積表達(dá)式,面積元素,9,在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，,故二重積分可寫為,則面積元素為,二重積分定義的說明：,二重積分的幾何意義,當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積,當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，是柱體體積的負(fù)值,二、二重積分的存在性,定理2.4有界閉域D上的連續(xù)函數(shù)必可積.,定理2.1,在D上可積，則在D上有界.,12,例1,在D:,上二重積分存在;,在D上二重積分不存在.,13,性質(zhì),當(dāng)為常數(shù)時(shí)，,性質(zhì),三、二重積分的性質(zhì),14,性質(zhì),對(duì)區(qū)域具有可加性,性質(zhì),若為D的面積，,性質(zhì),若在D上,特別地,則有,15,性質(zhì),性質(zhì),（二重積分中值定理）,（二重積分估值不等式）,16,解,例3設(shè)是連續(xù)

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