（精選幻燈片）第六章 近獨立粒子的最概然分布 熱力學統(tǒng)計物理.ppt

1,第六章,近獨立粒子的最概然分布,2,統(tǒng)計物理:關于熱現象的微觀理論。,研究對象:大量微觀粒子組成的宏觀物質系統(tǒng)。(微觀粒子：如分子、原子、自由電子、光子等),統(tǒng)計物理認為:宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現。宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。,經典統(tǒng)計:粒子滿足經典力學規(guī)律(運動狀態(tài)的經典描述),量子統(tǒng)計:粒子滿足量子力學規(guī)律(運動狀態(tài)的量子描述),在一定條件下，經典統(tǒng)計是一個極好的近似。,本章內容:經典描述;量子描述;三種分布函數及相應的微觀狀態(tài)數。,3,6.1粒子運動狀態(tài)的經典描述,遵守經典力學運動規(guī)律的粒子，稱為經典粒子。1.具有“顆粒性”：有一定的質量、電荷等性質。2.軌道運動：滿足牛頓定律.給定初時刻的、，可確定其運動軌跡(確定性描述)。經典粒子可以被“跟蹤”。3.可以分辨：經典全同粒子可以分辨。具有完全相同屬性（質量、電荷、自旋等）的同類粒子稱為全同粒子。4.能量是連續(xù)的：按照經典力學的觀點，在允許的能量范圍內，粒子的能量可取任何值。,4,一空間（相空間）：粒子位置和動量構成的空間,經典力學:確定一個粒子的運動狀態(tài)用和。自由度r=1（曲線上運動):x和px描述其狀態(tài)；r=3（3D空間中運動):x,y,z和px,py,pz描述狀態(tài)。若粒子有內部運動,則r更大。如雙原子分子,p,p一般地，設粒子的自由度為r，其力學運動狀態(tài)由粒子的r個廣義坐標q1、q2、qr和相應的r個廣義動量p1、p2、pr共2r個量的值確定。粒子能量：=(q1、q2、qr，p1、p2、pr)。,總之，微觀粒子運動狀態(tài)的經典描述是采用粒子的坐標和動量共同描述的方法。,5,用單粒子的廣義坐標和廣義動量q1,q2,qr,p1,p2,pr為直角坐標構成2r維空間,稱為粒子相空間(即空間).例如：單原子分子r=3，空間是6維。剛性雙原子分子r=5，空間是10維的。粒子在某時刻的力學運動狀態(tài)(q1、pr)可用空間中的一個點表示，稱為粒子運動狀態(tài)的代表點。（1）代表點:粒子的一個微觀運動狀態(tài)，（2）相軌道:粒子狀態(tài)的變化,代表點在空間中的移動。（3）N粒子系統(tǒng),需N個代表點描述系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài).（4）體積元：各軸上截取dq1,dq2,dqr,dp1,dp2,dpr,則圍成空間中的體積元：d=dq1dq2dqrdp1dp2dpr,6,二經典描述方法例子1自由粒子不受外力作用的粒子（如理想氣體分子、金屬自由電子等），其能量,1D自由粒子:限制在長L范圍內(線狀材料等)；互相正交的x、px軸構成2D的空間。相軌道“”等能面是一條直線.3D自由粒子：r=3,設粒子處于體積V中。狀態(tài)由x、y、z、px、py、pz確定，空間是6維的。,粒子能量=(px2+py2+pz2)/2m動量子空間的半徑,7,等能面（在動量子空間中）是半徑為的球面。,相空間的體積（動量小于p時）,8,9,10,11,12,自由度為1,某時刻粒子狀態(tài)為（x,px）?？臻g為二維。若給定振子的能量,運動軌跡由如下方程確定：,2線性諧振子,質量為m的粒子在力f=-kx作用下的一維簡諧振動（如雙原子分子;晶體中格點上的原子、離子等）。,兩個半軸長度,12,13,即相空間中的等能面為橢圓。其面積為,能量不同橢圓也不相同。,14,描述質點的位置,考慮r不變：,與共軛的動量,質量為m的質點繞O點轉動(設半徑不變),3轉子,轉動能量,其中轉動慣量,15,兩體或多體繞質心的轉動也可看成一個轉子,廣義動量p和p是轉子角動量的兩個分量。p是沿Z軸的分量，P是沿變軸的分量，這個變軸垂直于Z軸和OA所在的平面。,由于位矢r垂直于角動量L，質點的運動是在垂直于L的平面內運動。,A,15,16,兩體或多體繞質心的轉動也可看成一個轉子,角動量沿Z軸，質點在X,Y平面上，平面轉子：,多體能量為,17,一粒子微觀運動狀態(tài)的量子描述波粒二象性德布羅意于1924年提出，一切微觀粒子都具有波粒二象性(中子衍射)。、p與、k存在德布羅意關系h普朗克常數，它的量綱是時間能量=長度動量=角動量,不確定關系(測不準原理)微觀粒子的坐標和動量不可能同時具有確定的值。用q表示粒子坐標的不確定值,p表示動量不確定值,6.2粒子運動狀態(tài)的量子描述,18,電子軌道電子出現概率最大的地方。,狀態(tài)的分立性量子力學中，微觀粒子的運動狀態(tài)稱為量子態(tài)。它由一組量子數來表征，其數目等于粒子的自由度數。狀態(tài)所對應的力學量(如能量等)不連續(xù)狀態(tài)量子化。,5全同性原理全同粒子不可分辨，任意交換一對粒子不改變系統(tǒng)狀態(tài).,波函數描寫態(tài),微觀粒子的和不能同時具有確定值不是軌道運動。用波函數描述狀態(tài)：表示t時刻處粒子出現的概率密度。,19,20,21,22,23,24,二量子描述例子,（一）.線性諧振子,能量的本征值為,（二）.轉子,軌道角動量的本征值,經典轉子的能量,對于給定的l，角動量在Z軸的投影Lz只能取分立值,自旋角動量的情況與軌道角動量類似。,本征函數為厄米多項式。,本征函數為球諧函數，勒讓德多項式。,25,26,外場中的電子自旋,電子自旋產生磁矩,而,所以,（自旋方向取向量子化）,即外場中的電子自旋狀態(tài)只需要一個量子數,即可描寫其狀態(tài)，它取兩個分立值,沿磁場方向,為自旋角動量,27,2自由粒子,（1）一維自由粒子：自由運動的粒子被限制在邊長為L的一維容器中。波函數要滿足一定的邊界條件，采用周期性條件，即,由,所以,即動量只能取分立的值。,負號表示反向傳播,量子數,正號表示正向傳播,28,能量,能量也是分立的。,表明：用一個量子數就可以確定粒子的動量、能量。粒子狀態(tài)是分立的能級。各能級的簡并性：nx=1是不同狀態(tài)簡并。能級間隔大小與L、m成反比，,顯然,若L時，0，即能量此時是連續(xù)的。故粒子在宏觀尺度上量子效應不顯著，可用經典方法描述。,29,（2）三維自由粒子：,設自由粒子在邊長為L的方盒子中運動。粒子的運動滿足薛定諤方程。由周期性邊界條件得,量子態(tài)即由三個量子數來確定。狀態(tài)是量子化的。對于一定的能量，可包含多個量子態(tài)能級簡并。,簡并性討論：,30,經典粒子的動量和能量是連續(xù)的,而在量子描述中,動量和能量是分立的,這是局域在有限空間范圍粒子的特性。,六狀態(tài)能量同為,3線性諧振子,用一個量子數n描述狀態(tài)；各能級都是非簡并的，即每個能級只有一個量子態(tài)；能級間隔相同：；存在零點能，即n=0時能量非零。,31,三、粒子的狀態(tài)與空間體積元的對應關系,空間中的體積元為:d=dq1dq2dqrdp1dp2dpr,如：1D：相體積,若對坐標不加限制，則成為,3D：相體積,若對坐標不加限制，則成為,32,由,有,故在V中，粒子的動量在間隔，,范圍內的量子態(tài)數為,在宏觀大小的容器內，粒子的動量、能量已變得準連續(xù)。但原則上仍有量子數的概念。這時如何考慮自由粒子的量子態(tài)數？,33,利用不確定關系解釋,相格：表示粒子的一個狀態(tài)在空間中占有的體積。則上式可理解為：相體積Vdpxdpydpz內具有的量子態(tài)數為相體積Vdpxdpydpz比上相格。,在空間體積元d內粒子可能的狀態(tài)數為,34,由，量子化軌道把空間分成許多體積元，,例1一維自由粒子空間是二維的，一定時，相軌道是一條線段。,驗證了上面結論。,其體積為,例2線性諧振子空間的等能面是橢圓，面積為,能級為，,相鄰兩個狀態(tài)之間所夾的面積為,35,推廣之：粒子的一個狀態(tài)在空間中占有的體積為相格,四.三維自由粒子的態(tài)密度,1D：相體積dxdpx,若對坐標不限制，相體積Ldpx,其中狀態(tài)數,3D：空間為6維,相格大小為h3,下面分幾種情況討論.,1直角坐標,組成的體積元內,粒子的狀態(tài)數為,36,3若動量空間中采用球坐標，,在體積V內，動量大小在p到p+dp,動量方向在到+d，到+d內，自由粒子可能的狀態(tài)數為：,2若對坐標不加限制,內的狀態(tài)數為,則在V中,動量范圍,描述質點的動量,則動量空間的體積元：,37,4若對動量的方向不加限制，則在體積V內，動量絕對值在p到p+dp的范圍內，自由粒子可能的狀態(tài)數為：,5以能量形式表示,38,D()表示附近單位能量間隔內的狀態(tài)數,稱為態(tài)密度。以上的計算沒有考慮粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零，還要考慮自旋的貢獻。,表示：在V內，在到+d的范圍內自由粒子可能的狀態(tài)數。,定義：,P188習題6.1,有限大小體積內的態(tài)密度:BalianandBloch:Ann.Phys.60,401-447(1970),39,40,6.3系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的描述,全同粒子系統(tǒng)就是由具有完全相同屬性（相同的質量、自旋、電荷等）的同類粒子所組成的系統(tǒng)。如自由電子氣體。近獨立粒子系統(tǒng)：粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之間的相互作用。將整個系統(tǒng)的能量表達為單個粒子的能量之和。(如理想氣體：近獨立的粒子組成的系統(tǒng)),一基本概念,41,任一粒子的狀態(tài)發(fā)生變化,則整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)發(fā)生變化,經典描述單粒子的狀態(tài)要r個廣義坐標和r個廣義動量，N個粒子系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)需要(i=1,2,N)共2N個變量來確定。在空間中要用N個點表示系統(tǒng)某時刻的一個微觀運動狀態(tài)。,qi1、qi2、qir；pi1、pi2、pir,二系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的經典描述,全同粒子是可以分辨的。在全同粒子系統(tǒng)中,將兩個粒子的運動狀態(tài)加以交換,則系統(tǒng)的力學運動狀態(tài)是不同的。,42,B)粒子狀態(tài)是分立的。粒子所處的狀態(tài)叫量子態(tài)(單粒子態(tài))。量子態(tài)用一組量子數表征（如自由粒子nx,ny,nz）.不同量子態(tài)的量子數取值不同。量子描述單粒子的狀態(tài)是確定單粒子的量子態(tài)，對于N個粒子的系統(tǒng)，就是確定各個量子態(tài)上的粒子數。,三系統(tǒng)微觀運動狀態(tài)的量子描述,A)全同粒子是不可分辨的。交換任何一對粒子不改變整個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)。但定域系粒子可辨（定域系粒子位置被限定）,43,1玻耳茲曼系統(tǒng)由可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數不受限制的系統(tǒng)。,確定了每個粒子所處的量子態(tài)就確定了系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài),例：設系統(tǒng)由A、B兩個粒子組成（定域子）。粒子的個體量子態(tài)有3個,討論系統(tǒng)有那些可能的微觀狀態(tài)？,因此，對于定域系統(tǒng)可有9種不同的微觀狀態(tài)，即32。一般地為.,A,B,1,2,3,是量子態(tài)數，a是粒子數。,44,2不可分辨的全同粒子系統(tǒng)對于不可分辨的全同粒子，必須考慮全同性原理。,確定了每個量子態(tài)上的粒子數就確定了系統(tǒng)的微觀狀態(tài),（1）玻色系統(tǒng)：即自旋量子數為整數的粒子組成的系統(tǒng).,如光子自旋為1、介子自旋為0。由玻色子構成的復合粒子是玻色子，由偶數個費米子構成的復合粒子也是玻色子,粒子不可分辨，每個量子態(tài)上的粒子數不限（即不受泡利原理限制）,45,（2）費米系統(tǒng)：即自旋量子數為半整數的粒子組成的系統(tǒng),如電子、質子、中子等都是自旋為1/2的費米子。由奇數個費米子構成的復合粒子也是費米子。,粒子不可分辨，每個個體量子態(tài)上最多能容納一個粒子（費米子遵從泡利原理）。,上例變?yōu)?A=B),兩個玻色子占據3個量子態(tài)有6種方式,46,仍為A=B,兩個費米子占據3個量子態(tài)有3種占據方式,對于不同統(tǒng)計性質的系統(tǒng)，即使它們有相同的粒子數、相同的量子態(tài)，系統(tǒng)包含的微觀狀態(tài)數也是不同的。上例僅為兩個粒子組成的系統(tǒng)、三個量子態(tài)。對于大量微觀粒子組成的實際系統(tǒng)，其微觀狀態(tài)數目是大量的。,分屬玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)的兩個粒子占據三個量子態(tài)給出的微觀狀態(tài)數,47,（以氣體自由膨脹為例）：一個被隔板分為A、B相等兩部分的容器，裝有4個涂以不同顏色分子。,開始時，4個分子都在A部，抽出隔板后分子將向B部擴散并在整個容器內無規(guī)則運動。隔板被抽出后，4分子在容器中可能的分布情形如下圖所示：,6.4等概率原理,宏觀態(tài)與微觀態(tài),48,微觀態(tài)共有24=16種可能的方式，而且4個分子全部退回到A部的可能性即幾率為1/24=1/16。,49,50,宏觀態(tài)與微觀態(tài)的關系：宏觀態(tài)：系統(tǒng)的熱力學狀態(tài)。用少數幾個宏觀參量即可確定系統(tǒng)的宏觀態(tài)。微觀態(tài)：系統(tǒng)的力學狀態(tài)。確定方法：可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻耳茲曼系統(tǒng))；不可分辨的全同粒子系統(tǒng)(玻色、費米系),確定各微觀狀態(tài)出現的概率就能用統(tǒng)計的方法求出微觀量的統(tǒng)計平均值，從而求出相應宏觀物理量，因此確定各微觀狀態(tài)出現的概率是統(tǒng)計物理學的基本問題。,宏觀性質是大量微觀粒子運動的集體表現；宏觀物理量是相應微觀物理量的統(tǒng)計平均值。,51,對于孤立系統(tǒng),會出現大量的微觀狀態(tài)。這些微觀狀態(tài)都滿足具有確定的N、E、V的宏觀條件。從能量上講這些微觀狀態(tài)應是平權的。等概率原理是統(tǒng)計物理學中的一個基本假設，是平衡態(tài)統(tǒng)計物理學理論的基礎。不能直接從實驗上驗證。它的正確性在于從它推出的各種結論上的正確性。例靜止容器中平衡態(tài)氣體平動動能為零；重力場中平衡態(tài)氣體壓強按高度分布。,二.等概率原理：擲色子對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現的概率是相等的！,52,6.5分布和微觀狀態(tài),大量全同近獨立粒子組成的系統(tǒng)，有確定的N,E,V(孤立系)。,一、分布,若確定了各能級上的粒子數，則確定了系統(tǒng)的一個分布。,簡并度,粒子數,N粒子系統(tǒng)的能級,即：能級1上有a1個粒子，能級2上有a2個粒子，。這就給出一個分布，即數列al,滿足約束條件,53,分布只表示每一個能級上有多少個粒子。一種分布包含大量的微觀狀態(tài)。每一種不同的占據方式都是不同的微觀運動狀態(tài)。對一個確定的分布，它相應的微觀狀態(tài)數是確定的。,二、分布al包含的微觀狀態(tài)數（量子描述）,1玻耳茲曼系統(tǒng)(定域系統(tǒng))：,粒子可以分辨(可編號)，每個量子態(tài)上的粒子數不限。(1)al個粒子占據l上的l個量子態(tài)的占據方式數:(2)各個能級都考慮在內，系統(tǒng)總的占據方式數:(3)由于粒子可分辨，能級之間粒子的交換是新的占據方式），能級之間粒子的交換有種不同的交換方式。（未改變分布）,54,例：系統(tǒng)有6個可分辨粒子，共兩個能級，1=3，2=4給定分布：a1=4,a2=2,(4)系統(tǒng)分布al包含的總微觀狀態(tài)數為,能級之間粒子交換的方式數目為,55,2玻色系統(tǒng)分布al包含的微觀狀態(tài)數,粒子不可分辨，交換任意一對粒子不改變系統(tǒng)的微觀態(tài)。每個量子態(tài)上的粒子數不受限制。,例如：,規(guī)定：粒子占據左邊的量子態(tài)。,這樣就確定了每個量子態(tài)上的粒子數，即確定了一種占據方式（一個微觀態(tài)）。,改變排列，可得到新的占據方式。,56,粒子和量子態(tài)之間的交換會產生新的占據方式：,量子態(tài)和量子態(tài)之間的交換不產生新的占據方式：,顯然，粒子和粒子之間的交換不會產生新的占據方式。,其中粒子與粒子的交換、量子態(tài)與量子態(tài)的交換不產生新的微觀態(tài)。只有量子態(tài)與粒子交換導致不同微觀態(tài)。,量子態(tài)、粒子各種交換(排列)總數,57,量子態(tài)交換數,粒子交換數,各種交換共有種可能的方式。,（2）將各種能級的結果相乘，就得到玻色系統(tǒng)與分布al相應的微觀狀態(tài)數為：,例：三個量子態(tài)，2個玻色子,58,粒子不可分辨，每一個量子態(tài)最多能容納一個粒子。al個粒子占據能級l上的l個量子態(tài)，占據方式數為：從l個量子態(tài)中選取al個量子態(tài)讓al個粒子占據，即,3費米系統(tǒng)分布al包含的微觀狀態(tài)數：,將各能級的結果相乘，得到費米系統(tǒng)與分布al相應的微觀狀態(tài)數為：,59,三、經典極限條件下三種分布微觀狀態(tài)數的關系,若滿足,稱為經典極限條件(或非簡并性條件),此時有,即在經典極限條件下,反映粒子全同性原理,60,四經典系統(tǒng)中的分布和微觀狀態(tài)數,經典粒子狀態(tài)由q1qr，p1pr的值確定。N粒子系統(tǒng)對應空間中的N個點。,坐標和動量取值連續(xù)，微觀狀態(tài)不可數。處理如下,第一步：空間各軸上取間隔dq1dqr,dp1dpr圍成體積元d=dq1dq2dqrdp1dp2dprh0r若體積元很小,其內各點的狀態(tài)都看作相同相格.,即：處于同一相格內的各代表點狀態(tài)都相同。不同相格內代表點的狀態(tài)不同。每個相格就是一個狀態(tài)。在一定的相體積內包含多少相格，則此體積中就有多少個力學運動狀態(tài)（微觀態(tài)）。經典力學中h0可以任意?。涣孔恿W中h0最小為h。,61,第二步：,再把空間按能量大小劃分成許多能量層，每層體積分別為1、2、l、，每層內包含許多相格。同一能層內各狀態(tài)(代表點)的能量相同.（能層很?。?不同能層中各點的能量則不同。,某能量層的體積為l，則此層內包含的相格數為,這些相格的狀態(tài)不同，但具有相同的能量，故相當于量子描述中的簡并度。于是有分布,“簡并度”,粒子數,能級,給定了一種分布al,62,得到,63,6.6玻耳茲曼分布,一、玻爾茲曼分布的推導（M.B.系統(tǒng)）,1寫出分布及對應的微觀狀態(tài)數,微觀狀態(tài)數是分布al的函數，可能存在這樣一個分布，它使系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數最多。根據等概率原理，對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現的概率是相等的，那么微觀狀態(tài)數最多的分布，出現的概率最大，稱為最可幾分布（最概然分布）。玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布玻耳茲曼分布。,64,2取對數，用斯特令公式化簡,斯特林近似公式,要求,要求,65,3拉格朗日未定乘子法（拉氏乘子法）求極值,對上式做一次微分，對于極值，一次微分為零,高等數學（下冊）第六版，同濟大學編P113,66,由于系統(tǒng)確定，則還要滿足約束條件：,對上兩式子做一次微分得到：,上兩式子乘以未定乘子得到：,67,即,稱為麥克斯韋玻耳茲曼分布（玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布）。,任意，所以,這里的物理意義見P227頁（8.1.9）式，對應守恒量,68,拉氏乘子、由約束條件決定：,kB是玻爾茲曼常量,是化學勢,68,69,二、粒子按量子態(tài)的分布,某量子態(tài)s上的平均粒子數,1按量子態(tài)的分布函數,約束條件為,粒子處于第l能級上的概率為,粒子處于某量子態(tài)s上的概率為,70,三、對玻耳茲曼分布的幾點說明,要證明極大，二階導數須小于零。,故上