專升本高等數(shù)學課件《內部資料》

高校專升本高等數(shù)學輔導主講:教授,高等數(shù)學主要內容,A三大概念一.函數(shù),極限,連續(xù);二.導數(shù),微分,偏導數(shù),全微分三.積分,專升本,B四大運算一.求Lim1.2.洛必達法則二.求三.求,四.解微分方程,C.三大應用,一.導數(shù)的應用1.函數(shù)單調性、極值，曲線凹凸性、拐點，作圖.2.應用題.求Max,Min.3.利用中值定理證明等式或不等式.二.定積分的應用.1.幾何應用2.物理應用三.微分方程的簡單應用,D.向量代數(shù)與空間解幾簡介,1.空間直角坐標系2.向量代數(shù)初步3.平面4.空間直線5.曲面與空間曲線6.二次曲面,多做練習方可熟能生巧善于歸納才能靈活應變,第一章函數(shù),極限,連續(xù),一.函數(shù)(一)函數(shù)概念1.函數(shù)定義2.函數(shù)關系兩要素:(1)對應關系f;(2)定義域D(f)例,求,（08）下列函數(shù)中，定義域為,的函數(shù)是（）,（B）,（C）,（D）,（A）,（模C）,(二)函數(shù)特性,1.單調性2.奇偶性3.周期性4.有界性,例,偶函數(shù),奇函數(shù),周期函數(shù),（10）,（08）是（D）,（A）,（B）,（C）單調增函數(shù),（D）,奇函數(shù),偶函數(shù),非單調函數(shù),（07）均為奇函數(shù)，則下列為偶函數(shù)的是（）,（A）,（B）,（C）,（D）,（07）,eg,(三)反函數(shù),1.反函數(shù)定義.特點2.舉例,（05）,(四）復合函數(shù),1.定義2.分解標準-分解到每一步都是基本初等函數(shù)的和,差,積,商為止.3.復合函數(shù)定義域求法,注意：并非任何兩個函數(shù)都可以復合,（03）,（07）,（08）,(五)基本初等函數(shù)常用的有六類14個,(六）初等函數(shù)由基本初等函數(shù)（）經(jīng)過有限次的和,差,積,商運算，（）有限次的復合運算，（）且可用一個公式表示的函數(shù).非初等函數(shù)舉例:,二.極限,(一)極限定義,(二)性質,單調有界數(shù)列必有極限.夾逼定理3.,4.四則運算(有極限;有限個),(三)求極限,1.兩個重要極限,(06),(03),(09),(10),2.其他,舉例,3.羅必塔法則,三.無窮小.無窮大,1.定義2.性質,例題(性質),3.無窮小階的比較(教材P27),設,例題(階比較),(05),（07）當,時，下列函數(shù)中能成為,的等價無窮小的是（D）,（B）,（C）,（D）,（A）,（09）,當時，下列四組函數(shù)中為等價無窮小的是（B）,（A）,（B）,（C）,（D）,4.等價無窮小代換定理(教材P27）,定理,結論,例題(等價無窮小代換),四.連續(xù)與間斷,(一)連續(xù)1.2.連續(xù)三要素,3.左右連續(xù),(二)間斷點分類,第一類（都存在的間斷點）(1)可去間斷點(2)可去間斷點(3)跳躍間斷點第二類（至少一個不存在的間斷點）(4)無窮間斷點(5)振蕩間斷點,（07）,（模A）,eg,(三)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,定理1定理2定理3(介值定理）（教材P3132)定理4（根值定理）,（模B）,eg,（模C）,第二章導數(shù)與微分,一.導數(shù)的概念1.定義2.幾何意義3.左右導數(shù)4.可導與連續(xù)的關系,（10）,二.求導數(shù)歸納,2.四則運算3.反函數(shù)求導例,1.基本導數(shù)公式,（04）,(06),4.復合函數(shù)求導,(10),(10)計算題,5.隱函數(shù)求導顯函數(shù)-隱函數(shù)-,（09）,對數(shù)求導法,(1),例,6.參數(shù)方程求導,(1)(2)(3)(4),(6)（09）,(5)（08）,7.高階導數(shù),例,例(高階導數(shù)),8.分斷函數(shù)求導,例題(分斷函數(shù)求導),討論在的連續(xù)性；討論在的可導性；求,9.從定義求導,定義,例題(從定義求導),(05),(10),則,2,（模B）,三.微分,(一)概念1.定義2.幾何意義3.微分兩個特性4.微分形式的不變性(二)計算1.公式2.四則運算,第三章中值定理.導數(shù)應用,一.中值定理(一)RolleTh若,則至少,使,注意:(1)條件是充分條件;(2)條件不成立,結論未必成立.,例不求的導數(shù),驗證必有根,驗證,對,的正確性,RolleTh,不求的導數(shù),說明有幾個實根,并指出根所在區(qū)間.,(10),(二)LagrangeTh,若,則至少,使,推論:若在則在,例題(LagrangeTh),證明:,例題(LagrangeTh),驗證在對LagrangeTh的正確性;驗證在對LagrangeTh的正確性;證明:對,恒有,證明:當恒有,(三)CauchyTh,若,則至少,使,二.洛必達法則,定理:若則,洛必達法則幾種形式,例題(洛必達法則),注意,(1)只有,才可考慮用Th(2)每次用Th后,必須化簡不能斷定不存在,.只能說明Th失效,（4）還原例子,例題(洛必達法則),（03）,三.單調性.極值.凹凸.拐點.作圖,(一)單調性Def1Th1,例題(單調性),(10),討論單調性,極值步驟,1.求2.求駐點與不可導點3.由兩種點分D(f)為若干區(qū)間,由Th判別單調性,極值.,例題(單調性證明不等式),(二)極值,Def2.定義在,在,例題(極值),求極值,求極值,求極值,極值判別法,在,可導,在連續(xù).,Th2,極值判別法,Th3,極值存在的必要條件（費馬定理）,Th4,極值點可從駐點與不可導點找1.可導函數(shù)的極值點駐點2.不可導點（臨界點）也可能取得極值,舉例,駐點取得極值,駐點不取得極值,不可導點不取得極值,不可導點取得極值,(三)最大值.最小值,1.一般情況只有一個極大(小)值而無極小(大)值則,例題(最大值.最小值),例題(最大值.最小值),無蓋圓柱形水池,體積定值V,底造價是側面造價的2倍.問:半徑r=?高度h=?用費最省?,(四)凹凸.拐點,1.凹凸定義2.凹凸判別3.拐點判別4.兩種特殊情況,討論曲線凹凸與拐點步驟,1.求2.求使與不存在的點3.由兩種點分D(f)為若干區(qū)間,由Th判別曲線凹凸與拐點.,（10）,eg,eg,(五)漸近線.作圖,1.水平漸近線2.垂直漸近線3.作圖步驟(1)求D(f),Z(f)(2)奇偶性、周期性(3)單調性、極值(4)凹凸性、拐點,例,3.作圖步驟(5)漸近線(6)特殊點(7)描圖,第四章不定積分,4.1概念.性質4.2換元積分法,4.3分部積分法,4.4幾種特殊類型函數(shù)的積分,4.1概念.性質一.原函數(shù)Def1若,說明:1.,2.,則稱,二.不定積分,不定積分的幾何意義,Def2,三.基本積分公式P88,四.不定積分的性質,1.2.3.4.,例題,4.2換元積分法,換元積分法,特點,Th,(一)湊微分舉例,1.形如,湊微分舉例,2.,湊微分舉例,3.,湊微分舉例,4.,湊微分舉例,5.,湊微分舉例,6.,(二)特殊三角函數(shù)積分舉例,換元積分法,Th,特點,類型,1.三角置換,類型,2.含,類型,3.,類型3(續(xù)),4.3分部積分法重點每年必考！,設,類型,一.,二.,三.,(分部2次,要移項),例題(分部積分法),例題(分部積分法),4.4幾種特殊類型函數(shù)的積分,一.有理函數(shù)積分（了解）1.有理真分式的分解,2.待定系數(shù)(1)比較法；（2）代入法,例,3,有理真分式的積分,例,二.三角函數(shù)有理式的積分,1.萬能置換,則,例題(萬能置換),2.湊微分,三.簡單無理函數(shù)的積分,第五章定積分,5.1定積分的概念5.2定積分的性質5.3微積分的基本公式,5.4定積分的換元積分法,5.5定積分的分部積分法,5.6廣義積分,5.1定積分的概念一.引例1.曲邊梯形面積2.變速直線運動的路程二.定積分的Def注(1)2個有關;(2)3個無關;(3),注(4)充分條件,三.幾何意義,5.2定積分的性質,5.2定積分的性質,例題(概念.性質)1.比較大小.2.估值.,5.3微積分的基本公式,一.變上限積分二.牛頓-萊布尼茲公式,5.4定積分的換元積分法,注意：,1換元法實質：換元同時換限（切記）2遇到被積函數(shù)含有偶次根式，注意取算術根,結論,5.5定積分的分部積分法,5.6廣義積分（也稱反常積分）,一.積分區(qū)間為無窮的廣義積分二.被積函數(shù)含無窮間斷點的廣義積分,第五章定積分,5.7定積分的元素法5.8平面圖形的面積5.9體積5.10平面曲線的弧長5.11定積分的物理應用,定積分的幾何應用5.75.85.95.10,(一)一個量Q可用定積分計算的條件(1)Q是a,b上的定量(2)Q對a,b具有可加性(3)x,x+dx上部分量可近似表為,簡記為,(二)元素法步驟,(1)建立坐標系,確定積分變量(2)求上部分量的近似值(3)定限積分求總量,定積分的幾何應用,一.平面圖形的面積二.體積三.平面曲線的弧長,(模A)29.求由曲線與直線所圍成的平面圖形的面積；且求上述平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積。,(eg).求由曲線與它的過原點的一條切線及軸所圍成的平面圖形的面積；且求上述平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積。,(03).(1)求曲線在點的切線方程；（2）由曲線、切線及軸所圍成的平面圖形的面積；（3）求上述平面圖形繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積。,(eg).求正劈錐的體積。,定積分的物理應用5.11,一.變力作功,二.液體靜壓力,第七章.向量代數(shù)與空間解幾（不考）,7.1空間直角坐標系.一.空間直角坐標系.1.Def,八個掛限,點的坐標符號1(+,+,+)2(-,+,+)3(-,-,+)4(+,-,+)5(+,+,-)6(-,+,-)7(-,-,-)8(+,-,-)2.空間中點的坐標,二.空間兩點間的距離,設點則,7.2向量代數(shù),一.向量概念與同方向的單位向量,二.向量加法,平行四邊形法則,三角形法則,三.數(shù)乘向量,7.2向量代數(shù),四.向量在坐標軸上的投影1.兩向量夾角2.向量在軸上的投影,7.2向量代數(shù),五.向量分解.向量坐標.向量的模.方向余弦點向徑坐標表達式分量表達式,7.2向量代數(shù),五.向量分解.向量坐標.向量的模.方向余弦,點向量坐標表達式分量表達式,向量的模,7.2向量代數(shù),五.向量分解.向量坐標.向量的模.方向余弦向量的方向余弦,7.2向量代數(shù),六.兩向量的數(shù)量積1.Def性質,7.2向量代數(shù),六.兩向量的數(shù)量積2.公式,7.2向量代數(shù),六.兩向量的數(shù)量積3.兩向量的夾角,例題(數(shù)量積),(1),例題(數(shù)量積),(05)單位向量滿足則,(3)(04),7.2向量代數(shù),六.兩向量的向量積1.Def,性質,六.兩向量的向量積,性質(3)基本單位向量性質,(4),7.2向量代數(shù),六.兩向量的向量積2.公式,7.2向量代數(shù),六.兩向量的向量積3.結論,例題(向量積),(1)求與垂直的單位向量,(2),例題(向量積),(3)(07)滿足則,(答案.6),7.3曲面與方程,一.曲面與方程1.Def若(1)純粹性(2)完備性則稱為曲面S的方程,曲面S是方程的圖形.,7.3曲面與方程,2.建立軌跡方程步驟(1)設M(x,y,z)為軌跡上的任一點,依軌跡條件建立等式(2)以M點坐標代入等式得方程(3)化簡方程(4)證明(略),7.3曲面與方程,3.曲面研究兩個問題(1)已知曲面作為點的幾何軌跡，求其方程；(2)已知曲面方程，研究曲面性質。,7.3曲面與方程,二.柱面Def動直線平行軸動直線沿定曲線平行移動(母線)(準線)說明:三元方程少一個字母,則表示柱面,柱面準線母線母線/Z軸母線/X軸母線/Y軸,柱面(例題),(1)圓柱面(2)拋物柱面(3)橢圓柱面(4)雙曲柱面,7.3曲面與方程,三.旋轉曲面,旋轉曲面(例題),(1),(2),7.4平面與方程,一.點法式,7.4平面與方程,二.一般式討論,7.4平面與方程,三.截距式四.兩平面夾角,7.4平面與方程,五.點到平面的距離,平面與方程(例題),(1)說明平面特點(2)(3)(4),平面與方程(例題),(5)求兩平面,夾角,(6)求P到距離,平面與方程(例題),(7)求過的平面,(8)過三點,求,7.5空間曲線,一般方程,注:空間曲線方程不唯一,7.5空間曲線,例題(1)(2)(3),與,7.6空間直線,一.一般式方程,7.6空間直線,二.點向式(對稱式),7.6空間直線,三.參數(shù)式,7.6空間直線,四.兩直線夾角,7.6空間直線,兩直線的關系,7.6空間直線,五.直線與平面的夾角,7.6空間直線,五.直線與平面的夾角,7.6空間直線,直線與平面的關系,例題(空間直線),(1)求過且過點的平面方程(2)求過的直線(3)求過點且垂直所在平面的直線方程,例題(空間直線),(4)直線化為點向式(5)求兩直線夾角,例題(空間直線),(6)求過點與都平行的直線,7.7二次曲面,一.橢球面,截痕法,7.7二次曲面,二.雙曲面1.單葉雙曲面2.雙葉雙曲面,7.7二次曲面,三.拋物面1.橢圓拋物面2.雙曲拋物面,例題(二次曲面),(1)指出圖形名稱,例題(二次曲面),(2)指出截痕表示什么曲線,第六章.微分方程（重點！大題單獨考一題與綜合題）,6.1微分方程的概念引例:曲線上任一點的切線斜率為且曲線過點,求曲線方程.基本概念:常微分方程偏微分方程微分方程的通解微分方程的特解微分方程的初始條件微分方程的階,6.1微分方程的概念,舉例,例題(微分方程的概念),(1)驗證函數(shù)是否為微分方程的解,若是,則指出是通解或特解.,例題(微分方程的概念),(2)物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫差成正比,試以微分方程描述這物理現(xiàn)象.(設空氣溫度為),線性微分方程的含義,6.2可分離變量的微分方程,形式,方法-分離變量法,例題(分離變量法),6.3齊次微分方程,形式,方法,(1),例題(齊次微分方程),(1)(2),6.4一階線性微分方程,一.方法-分離變量法通解,6.4一階線性微分方程,二.方法-常數(shù)變易法通解,例題(一階線性微分方程),(1),(2),(3),例題(一階線性微分方程),(4),(5),(6),(7)（07）下列方程為一階線性非齊次微分方程的是（）,6.5特殊高階微分方程（不考）,一.,例,方法-降階法,6.5特殊高階微分方程,二.,6.5特殊高階微分方程,三.,例題(特殊高階微分方程),(1),(2),(3),(4),6.6二階線性常系