工程力學(xué) 理論力學(xué) 約束、自由度與廣義坐標(biāo)PPT課件

問(wèn)題,觀察運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)所給的運(yùn)動(dòng)條件,觀察運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)所給條件運(yùn)動(dòng)條件,約束、自由度與廣義坐標(biāo),一、問(wèn)題的提出,物體系統(tǒng)根據(jù)其與外界環(huán)境之間的關(guān)系，可分成自由系統(tǒng)與非自由系統(tǒng)。,17世紀(jì)牛頓當(dāng)時(shí)的經(jīng)典力學(xué)所能解決的主要問(wèn)題是屬于自由質(zhì)點(diǎn)或自由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)。(兩體問(wèn)題),18世紀(jì)產(chǎn)生了剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，也就是說(shuō)提出了受約束質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。,今天大量工程實(shí)際問(wèn)題作初步分析時(shí)，一般都是受約束系統(tǒng)的建模問(wèn)題。首先要確定系統(tǒng)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)學(xué)變量。,研究約束質(zhì)點(diǎn)系的力學(xué)問(wèn)題，必須闡明約束，自由度與廣義坐標(biāo)的概念。,二、約束,1.約束概念,約束就是限制物體任意運(yùn)動(dòng)的條件。,不受約束可以任意運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系稱為自由質(zhì)點(diǎn)系,受有約束而不能任意運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)系則稱為非自由質(zhì)點(diǎn)系。,剛體靜力學(xué)研究約束,是探究約束的原因-約束力,運(yùn)動(dòng)學(xué)研究約束,是探究約束的結(jié)果-運(yùn)動(dòng)的限制,F,2.獨(dú)立坐標(biāo)、位形空間、約束方程的概念,(1)坐標(biāo),確定一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需要三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，這些參數(shù)或代表長(zhǎng)度或代表角度，統(tǒng)稱坐標(biāo)。,(2)位形,對(duì)于由n個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)組成的自由質(zhì)點(diǎn)系，則需要3n個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，這3n個(gè)的坐標(biāo)集合稱為自由質(zhì)點(diǎn)系的位形。,(3)約束方程,約束可以通過(guò)聯(lián)系坐標(biāo)、坐標(biāo)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)以及時(shí)間t之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)方程組加以描述，這些數(shù)學(xué)方程組稱之為約束方程。,3.約束的分類,如果限制運(yùn)動(dòng)的條件僅是幾何性質(zhì)的，則稱為幾何約束。,單擺:,曲面上的質(zhì)點(diǎn)：,（1）幾何約束與運(yùn)動(dòng)約束,幾何約束,約束方程的一般形式：,(r=1,2,s),運(yùn)動(dòng)約束,幾何約束,運(yùn)動(dòng)約束,純滾動(dòng)的圓輪：,如果運(yùn)動(dòng)時(shí)速度也受到一定條件的限制，則這個(gè)條件稱為運(yùn)動(dòng)約束。,約束方程的一般形式,(r=1,2,s),（2）定常約束與非定常約束,定常約束,當(dāng)約束方程中都不包含時(shí)間t時(shí)，這種約束稱為定常約束。,定常幾何約束,非定常幾何約束,若約束方程中明顯包含時(shí)間t，這種約束就稱為非定常幾何約束。,約束方程的一般形式：,（3）完整約束與非完整約束,約束方程中不包含坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（即質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)速度的投影）的約束，稱為完整約束。,約束方程總是以微分形式表示，不可能積分成有限的形式的約束稱為非完整約束。,1位移約束-全部幾何約束,2運(yùn)動(dòng)約束可積分-如純滾動(dòng)的圓輪;,運(yùn)動(dòng)約束不可積分-碰撞系統(tǒng),摩擦系統(tǒng)等。,約束方程的一般形式為：,（4）單面約束與雙面約束,雙面約束：在約束方程中用嚴(yán)格的等號(hào)表示的約束。,OA為剛性桿：,單面約束：在約束方程含有不等號(hào)表示的約束。,OA為柔繩：,約束方程的一般形式：,約束方程的一般形式：,或0,n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，約束方程的一般形式為：,(r=1,s),約束方程的個(gè)數(shù)為：s,4.約束方程,靜力學(xué)問(wèn)題中涉及的約束都是定常幾何約束。,本教材研究：定常、雙面、完整約束。,例:平面剛體位形的描述方法和約束方程,1.剛體基于兩點(diǎn)的描述和約束方程,位形描述:,約束方程:,2.剛體基于點(diǎn)線的描述和約束方程,位形描述:,約束方程:,三、廣義坐標(biāo)、自由度,自由度：唯一確定質(zhì)點(diǎn)系空間位置的獨(dú)立坐標(biāo)個(gè)數(shù),平面質(zhì)點(diǎn):,空間質(zhì)點(diǎn):,i=1,2,n,1.基本概念,自由度定義為質(zhì)點(diǎn)系解除約束時(shí)的坐標(biāo)數(shù)減去約束方程數(shù)。,與自由度相對(duì)應(yīng)的獨(dú)立坐標(biāo)就是廣義坐標(biāo)。,2.自由剛體的自由度,最簡(jiǎn)單的剛體由4個(gè)質(zhì)點(diǎn)用6根剛桿組成幾何不變體(形如四面體)，則自由剛體的自由度為：,此后每增加一個(gè)質(zhì)點(diǎn)就增加3根剛桿。,每一根剛桿相當(dāng)于一個(gè)約束，所以約束數(shù)為：,設(shè)節(jié)點(diǎn)數(shù)為n,約束數(shù)為s。則寫成,n=4,則一般地：,n4,n4,剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法1歐拉坐標(biāo),繞z0軸轉(zhuǎn)過(guò)y角進(jìn)動(dòng)角,繞x1軸轉(zhuǎn)過(guò)q角章動(dòng)角,繞z2軸轉(zhuǎn)過(guò)j角自轉(zhuǎn)角,3.自由剛體的廣義坐標(biāo),剛體的定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述方法2卡爾丹坐標(biāo),繞x0軸轉(zhuǎn)過(guò)a角,繞y1軸轉(zhuǎn)過(guò)b角,繞z2軸轉(zhuǎn)過(guò)g角,組成的6個(gè)獨(dú)立參變量就是自由剛體的廣義坐標(biāo)。,它們被用于描述剛體的位形。,4.受約束剛體的自由度,設(shè)剛體數(shù)為n，則受約束的空間剛體系的自由度數(shù)k=6n-s,受約束的平面剛體系的自由度數(shù)：k=？,若歐拉坐標(biāo)或卡爾丹坐標(biāo)的原點(diǎn)（基點(diǎn)）建立平動(dòng)坐標(biāo),5.約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo),約束剛體的自由度與廣義坐標(biāo)根據(jù)其運(yùn)動(dòng)形式不同有所減小，下表給出剛體在不同的運(yùn)動(dòng)形式時(shí)的廣義坐標(biāo)數(shù)。,四實(shí)例:機(jī)構(gòu)如圖,輪C作純滾動(dòng),試寫出約束方程和確定自由度。,3.約束方程(在點(diǎn)O建立直角坐標(biāo)),1.剛體數(shù)目3;,2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體OA;平面運(yùn)動(dòng)剛體AB及輪C;,總計(jì)8個(gè)約束方程,yC=yD-r,式中：,局部法,4.廣義坐標(biāo),5.自由度計(jì)算,廣義坐標(biāo)數(shù)為:3n-s=1,即:,自由度,約束方程數(shù)：s=8,或,剛體數(shù):n=3,選廣義坐標(biāo)為:,自由度恒等于廣義坐標(biāo)數(shù),或,整體法:,位形描述,約束方程:,整體法:,位形描述,約束方程:,點(diǎn)D的位置,點(diǎn)D的位置,總計(jì)8個(gè)約束方程,約束方程：,局部法:,廣義坐標(biāo),自由度,本例為質(zhì)點(diǎn)與剛體,具有同一點(diǎn),問(wèn)題,本運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的自由度,本運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的自由度,五、總結(jié),(1)檢查剛體(質(zhì)點(diǎn))數(shù)目n。,(2)檢查各剛體的運(yùn)動(dòng)形式。,(3)列寫出約束方程。,