傅里葉變換__經(jīng)典ppt課件.ppt

1,積分變換,Fourier變換,Recall:周期函數(shù)在一定條件下可以展開(kāi)為Fourier級(jí)數(shù)；但全直線上的非周期函數(shù)不能用Fourier表示；引進(jìn)類似于Fourier級(jí)數(shù)的Fourier積分(周期趨于無(wú)窮時(shí)的極限形式),2,1Fourier積分公式,1.1Recall:,在工程計(jì)算中,無(wú)論是電學(xué)還是力學(xué),經(jīng)常要和隨時(shí)間變化的周期函數(shù)fT(t)打交道.例如:,具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時(shí)間振動(dòng)的次數(shù),單位時(shí)間通常取秒,即每秒重復(fù)多少次,單位是赫茲(Herz,或Hz).,3,最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn),所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的線性組合來(lái)逼近.Fourier級(jí)數(shù),方波,4個(gè)正弦波的逼近,100個(gè)正弦波的逼近,4,研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間-T/2,T/2內(nèi)函數(shù)變化的情況.,Dirichlet條件：,連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；,只有有限個(gè)極值點(diǎn)；,可展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)，且在連續(xù)點(diǎn)t處成立：,5,引進(jìn)復(fù)數(shù)形式：,6,級(jí)數(shù)化為：,7,合并為：,級(jí)數(shù)化為：,若以描述某種信號(hào)，,則可以刻畫(huà)的特征頻率。,8,對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來(lái)的.作周期為T(mén)的函數(shù)fT(t),使其在-T/2,T/2之內(nèi)等于f(t),在-T/2,T/2之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上,則T越大,fT(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說(shuō)明當(dāng)T時(shí),周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),即有,9,例矩形脈沖函數(shù)為,如圖所示:,1,-1,O,t,f(t),1,10,現(xiàn)以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T(mén)的周期函數(shù)fT(t),令T=4,則,11,則,12,sinc(x),x,sinc函數(shù)介紹,13,前面計(jì)算出,w,可將以豎線標(biāo)在頻率圖上,14,1,-1,7,T=8,f8(t),t,現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍,令T=8,以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t),15,則,16,則在T=8時(shí),w,再將以豎線標(biāo)在頻率圖上,17,如果再將周期增加一倍,令T=16,可計(jì)算出,w,再將以豎線標(biāo)在頻率圖上,18,一般地,對(duì)于周期T,19,當(dāng)周期T越來(lái)越大時(shí),各個(gè)頻率的正弦波的頻率間隔越來(lái)越小,而它們的強(qiáng)度在各個(gè)頻率的輪廓?jiǎng)t總是sinc函數(shù)的形狀,因此,如果將方波函數(shù)f(t)看作是周期無(wú)窮大的周期函數(shù),則它也可以看作是由無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的正弦波構(gòu)成,將那個(gè)頻率上的輪廓即sinc函數(shù)的形狀看作是方波函數(shù)f(t)的各個(gè)頻率成份上的分布,稱作方波函數(shù)f(t)的傅里葉變換.,20,1.2Fourier積分公式與Fourier積分存在定理,21,22,23,24,付氏積分公式也可以轉(zhuǎn)化為三角形式,25,又考慮到積分,26,2Fourier變換2.1Fourier變換的定義,27,Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的一種充分條件.,28,在頻譜分析中,傅氏變換F()又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F()|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡(jiǎn)稱為頻譜).由于是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)f(t)作傅氏變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)f(t)的頻譜.,29,例1求矩形脈沖函數(shù)的付氏變換及其積分表達(dá)式。,30,31,32,2.2單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,在物理和工程技術(shù)中,常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù).因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì),如在電學(xué)中,要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后產(chǎn)生的電流;在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究此類問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).,33,在原來(lái)電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則,當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由于q(t)是不連續(xù)的,從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.,34,如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),則得,這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為了確定這樣的電流強(qiáng)度,引進(jìn)一個(gè)稱為狄拉克(Dirac)函數(shù),簡(jiǎn)單記成d-函數(shù):,有了這種函數(shù),對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量,例如點(diǎn)電荷,點(diǎn)熱源,集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.,35,（在極限與積分可交換意義下）,工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。,36,可將d-函數(shù)用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段表示,這個(gè)線段的長(zhǎng)度表示d-函數(shù)的積分值,稱為d-函數(shù)的強(qiáng)度.,t,O,d(t),1,d-函數(shù)有性質(zhì)：,可見(jiàn)d-函數(shù)和任何連續(xù)函數(shù)的乘積在實(shí)軸上的積分都有明確意義。,37,d-函數(shù)的傅氏變換為:,于是d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).,證法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得,例1證明：1和2pd(w)構(gòu)成傅氏變換對(duì).,證法1：,38,由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得,39,例如常數(shù),符號(hào)函數(shù),單位階躍函數(shù)以及正,余弦函數(shù)等,然而它們的廣義傅氏變換也是存在的,利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.所謂廣義是相對(duì)于古典意義而言的,在廣義意義下,同樣可以說(shuō),象原函數(shù)f(t)和象函數(shù)F(w)構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì).,在物理學(xué)和工程技術(shù)中,有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件,即不滿足條件,40,例4求正弦函數(shù)f(t)=sinw0t的傅氏變換。,41,例5證明：,證：,42,43,3Fourier變換與逆變換的性質(zhì),這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì),為了敘述方便起見(jiàn),假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.,1.線性性質(zhì):,44,2.位移性質(zhì):,證明：,為實(shí)常數(shù)，則,45,3.相似性質(zhì)：,證明：,46,例1計(jì)算。,方法1：（先用相似性質(zhì)，再用平移性質(zhì)）,47,方法2：（先用平移性質(zhì)，再用相似性質(zhì)）,48,4.微分性質(zhì)：,像原函數(shù)的微分性質(zhì)：,則,49,5.積分性質(zhì)：,6.帕塞瓦爾(Parserval)等式,50,實(shí)際上,只要記住下面五個(gè)傅里葉變換,則所有的傅里葉變換都無(wú)須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.,51,例2利用傅氏變換的性質(zhì)求d(t-