07-第七節(jié) 小數(shù)的概念與性質(zhì)

第四章 小數(shù)與百分?jǐn)?shù)主要內(nèi)容小數(shù)的概念（小數(shù)點(diǎn)、純小數(shù)、帶小數(shù)）；小數(shù)的四則運(yùn)算（小數(shù)加法減法、小數(shù)乘法除法）；近似數(shù)；小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化（循環(huán)小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)、循環(huán)節(jié)、循環(huán)周期）；百分?jǐn)?shù)的概念；近似計(jì)算。本章教學(xué)內(nèi)容，關(guān)于小數(shù)的定義，可能會(huì)帶給人們一些困惑，即用小數(shù)的定義來判斷，無限小數(shù)是不是小數(shù)的問題，似乎產(chǎn)生了（習(xí)慣上無限小數(shù)是小數(shù)，然而，按十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫成不分母形式的數(shù)叫小數(shù)）矛盾。關(guān)于小數(shù)與分?jǐn)?shù)互化的定理，人們可能會(huì)感到有些困難，因?yàn)?，定理的證明采用了具有難度的數(shù)學(xué)方法構(gòu)造法，這種方法充分反映了在數(shù)學(xué)研究過程中的主觀能動(dòng)作用。因此，我們的教學(xué)重點(diǎn)在這兩個(gè)內(nèi)容上下功夫，主要采用問題思考與分析講解，以及自我理解與輔導(dǎo)。第一節(jié) 小數(shù)的概念和性質(zhì)教學(xué)進(jìn)程一、小數(shù)的概念1定義十進(jìn)分?jǐn)?shù)分母是（為自然數(shù)）的分?jǐn)?shù)，叫做十進(jìn)分?jǐn)?shù)。十進(jìn)分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)的集的子集。十進(jìn)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位：。十進(jìn)制整數(shù)的計(jì)數(shù)單位與十進(jìn)分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位合一起，就構(gòu)成了一個(gè)完整的十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位：十進(jìn)分?jǐn)?shù)的科學(xué)計(jì)數(shù)法設(shè)：十進(jìn)分?jǐn)?shù)的分子為，十進(jìn)分?jǐn)?shù)的分母為，則十進(jìn)分?jǐn)?shù)： 十進(jìn)分?jǐn)?shù)刻畫方式的改進(jìn)將十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫成不帶分母形式的數(shù)，即：小數(shù)的定義根據(jù)十進(jìn)位制原則，把十進(jìn)分?jǐn)?shù)改寫成不帶分母的形式的數(shù)叫做小數(shù)。小數(shù)中的標(biāo)記點(diǎn)（小圓點(diǎn)）叫做小數(shù)點(diǎn)。小數(shù)點(diǎn)左邊部分是小數(shù)的整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊部分是小數(shù)的小數(shù)部分。整數(shù)部分是零的小數(shù)叫做純小數(shù)，整數(shù)部分不是零的小數(shù)叫做帶小數(shù)。整數(shù)可以看作小數(shù)部分是零的小數(shù)。小數(shù)的數(shù)位名稱與計(jì)數(shù)單位整數(shù)部分小數(shù)部分?jǐn)?shù)位名稱千位百位十位個(gè)位十分位百分位千分位計(jì)數(shù)單位千百十一十分之一百分之一千分之一小數(shù)的語言刻畫方式小數(shù)的語言刻畫方式有兩種：一是整數(shù)部分按整數(shù)刻畫方式，小數(shù)部分依次讀出每一數(shù)位上的數(shù)字；二是把小數(shù)看作分?jǐn)?shù)，按分?jǐn)?shù)的刻畫方式。小數(shù)的本質(zhì)特征數(shù)是刻畫事物數(shù)量的一種標(biāo)記，顯然，小數(shù)也應(yīng)該是刻畫事物數(shù)量的標(biāo)記，那么，小數(shù)是刻畫什么事物數(shù)量的標(biāo)記呢？自然數(shù)刻畫的是自然單位為計(jì)數(shù)單位的數(shù)量，整數(shù)刻畫的是經(jīng)過整合的計(jì)數(shù)單位的數(shù)量，因此，小數(shù)刻畫的是經(jīng)過切分的計(jì)數(shù)單位的數(shù)量，它含有小于自然單位“1”的計(jì)數(shù)單位。由此可見，小數(shù)的本質(zhì)特征是含有小于自然單位的計(jì)數(shù)單位的數(shù)。二、小數(shù)的性質(zhì)與大小1小數(shù)的性質(zhì)小數(shù)末尾的零在小數(shù)的末尾添上零或去掉零，小數(shù)的大小不變。小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)把小數(shù)點(diǎn)往左移動(dòng)位，小數(shù)就縮小倍；把小數(shù)點(diǎn)往右移動(dòng)位，小數(shù)就擴(kuò)大倍。2小數(shù)的大小比較兩個(gè)小數(shù)的大小，先看整數(shù)部分，整數(shù)部分大的小數(shù)就大；如果整數(shù)部分相同，那么依次看小數(shù)的十分位、百分位、千分位、上的數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)第一個(gè)數(shù)的大小不相同的數(shù)位時(shí)，數(shù)大的小數(shù)就大，數(shù)小的小數(shù)就小。第二節(jié) 小數(shù)的四則運(yùn)算一、小數(shù)的加法與減法小數(shù)加法與減法的意義與整數(shù)加法與減法的意義一樣；小數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則與整數(shù)加法與減法法則也基本相同，即相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加減。也就是說，利用位值原則，先把小數(shù)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)的和的形式，然后，利用若干個(gè)數(shù)的和與若干個(gè)數(shù)的和的性質(zhì)，分別把不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加（當(dāng)計(jì)數(shù)單位滿十時(shí)做好數(shù)的進(jìn)位轉(zhuǎn)化工作），最后，再利用位值原則寫出加減運(yùn)算的結(jié)果。在小數(shù)的豎式計(jì)算中，相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)相加減就是數(shù)位對(duì)齊，也就是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊！問題思考：小學(xué)生在計(jì)算小數(shù)加法時(shí)，出現(xiàn)末尾對(duì)齊的錯(cuò)誤，其原因是什么？二、小數(shù)的乘法與除法1小數(shù)乘法的原理與法則小數(shù)乘法的原理設(shè)兩個(gè)小數(shù)，且小數(shù)位數(shù)分別為位與位。則兩個(gè)小數(shù)分別可以寫成十進(jìn)分?jǐn)?shù)，即：，。因此，兩個(gè)小數(shù)相乘，=小數(shù)乘法的法則兩個(gè)小數(shù)相乘，先把小數(shù)看作整數(shù)相乘，再把兩個(gè)因數(shù)的小數(shù)位數(shù)的和，作為積的小數(shù)位數(shù)。問題思考：基于小數(shù)乘法的原理與法則，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何教學(xué)：？小數(shù)乘法教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)是什么？它的教學(xué)基礎(chǔ)是什么？或者說：學(xué)生會(huì)算小數(shù)乘法的前提條件是什么？教學(xué)過程設(shè)計(jì)可以有兩種：一種是生活化教學(xué)過程（利用生活常識(shí)獲得計(jì)算結(jié)果），一種是數(shù)學(xué)化教學(xué)過程（利用數(shù)學(xué)知識(shí)獲得計(jì)算結(jié)果）。2小數(shù)除法的原理與法則小數(shù)除以整數(shù)的原理設(shè)小數(shù)為，整數(shù)為，且小數(shù)的小數(shù)位數(shù)位。則小數(shù)可以寫成十進(jìn)分?jǐn)?shù)，即：。因此，小數(shù)除以整數(shù)，=問題思考：學(xué)生能夠計(jì)算小數(shù)除以整數(shù)的運(yùn)算式題，至少要掌握哪些知識(shí)？小數(shù)除以整數(shù)的法則一個(gè)小數(shù)除以整數(shù)，可以把小數(shù)看作整數(shù)除以整數(shù)求出“商”，然后，把“商”的小數(shù)點(diǎn)往左移動(dòng)位。小數(shù)除以小數(shù)的原理設(shè)兩個(gè)小數(shù)，且小數(shù)位數(shù)分別為位與位。則兩個(gè)小數(shù)分別可以寫成十進(jìn)分?jǐn)?shù)，即：，。因此，小數(shù)除以小數(shù)，=小數(shù)除以小數(shù)的法則一個(gè)小數(shù)除以小數(shù)，首先，利用轉(zhuǎn)化思想，找到運(yùn)算的基本策略，即把除數(shù)的小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)；其次，利用除法運(yùn)算性質(zhì)（商的不變性），“被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)商的大小不變”，把小數(shù)除以小數(shù)的被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大倍，把除數(shù)的小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，即可按照小數(shù)除以整數(shù)的法則進(jìn)行運(yùn)算。問題思考：教學(xué)小數(shù)除以小數(shù)，教學(xué)重點(diǎn)是什么？三、有限小數(shù)與無限小數(shù)1有限小數(shù)與無限小數(shù)的概念有限小數(shù)小數(shù)部分的位數(shù)有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。無限小數(shù)小數(shù)部分的位數(shù)無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。2問題思考從定義出發(fā)來看，有限小數(shù)與無限小數(shù)的區(qū)別是什么？無限小數(shù)是不是小數(shù)？四、近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)1近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的概念什么叫準(zhǔn)確數(shù)？在計(jì)數(shù)與計(jì)算過程中，獲得的結(jié)果與實(shí)際情況完全符合的數(shù)，叫做準(zhǔn)確數(shù)；什么叫近似數(shù)？在計(jì)數(shù)與計(jì)算過程中，獲得的結(jié)果與實(shí)際情況不完全符合的數(shù)，叫做近似數(shù)。一個(gè)數(shù)的近似數(shù)，可以記作：2截取近似數(shù)的方法四舍五入法如果去掉部分的首位數(shù)字大于等于5，就給保留部分的最后一位數(shù)加上1（稱五入）；如果去掉部分的首位數(shù)字小于5，保留部分的最后一位數(shù)保持不變（稱四舍）。進(jìn)一法去掉多余部分的數(shù)字后，保留部分的最后一位數(shù)加上1。去尾法去掉多余部分的數(shù)字后，保留部分的最后一位數(shù)保持不變。第三節(jié) 小數(shù)與分?jǐn)?shù)一、化分?jǐn)?shù)為小數(shù)1化分?jǐn)?shù)為有限小數(shù)化分?jǐn)?shù)為有限小數(shù)的定理定理1 一個(gè)既約真分?jǐn)?shù)能化為有限小數(shù)的充要條件是，分母只含有質(zhì)因數(shù)2與5（只有2，或只有5，或既有2也有5），而且，有限小數(shù)的位數(shù)與分母中2或5的較大指數(shù)相同。定理的簡(jiǎn)化表征：（既約真分?jǐn)?shù)）能化成有限小數(shù)只含有質(zhì)因數(shù)2、5定理的證明：充分性：只含有質(zhì)因數(shù)2、5能化成有限小數(shù)證明：只含有質(zhì)因數(shù)2、5，=，顯然，這是一個(gè)十進(jìn)分?jǐn)?shù)，因此，能化成有限小數(shù)。必要性：能化成有限小數(shù)只含有質(zhì)因數(shù)2、5證明：能化成有限小數(shù)，是一個(gè)十進(jìn)分?jǐn)?shù)，即：=。根據(jù)分?jǐn)?shù)相等的定義有： 。又是既約真分?jǐn)?shù)， ，即只含有質(zhì)因數(shù)2、5。化分?jǐn)?shù)為有限小數(shù)的方法第一種方法：十進(jìn)分?jǐn)?shù)法。把分?jǐn)?shù)化成十進(jìn)分?jǐn)?shù)，再把十進(jìn)分?jǐn)?shù)寫成不帶分母形式的數(shù)。第二種方法：除法運(yùn)算法。根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，用分子除以分母，商就是小數(shù)。2化分?jǐn)?shù)為循環(huán)小數(shù)循環(huán)小數(shù)的概念一個(gè)無限小數(shù)，如果它的小數(shù)部分從某一位起，都是由一個(gè)或者幾個(gè)數(shù)字，依照一定的順序不斷地重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)小數(shù)部分依次重復(fù)出現(xiàn)的一個(gè)或幾個(gè)數(shù)字，叫做循環(huán)節(jié)。小數(shù)點(diǎn)后第一位開始循環(huán)的小數(shù)，叫做純循環(huán)小數(shù)。小點(diǎn)后面有一位或幾位不循環(huán)的循環(huán)小數(shù)，叫做混循環(huán)小數(shù)。循環(huán)小數(shù)的性質(zhì)循環(huán)節(jié)的位數(shù)增加到原循環(huán)節(jié)的2倍、3倍循環(huán)小數(shù)的值不變。純循環(huán)小數(shù)可以寫成混循環(huán)小數(shù)的形式，值不變。有限小數(shù)也可以寫作以0為循環(huán)節(jié)的循環(huán)小數(shù)。化分?jǐn)?shù)為循環(huán)小數(shù)的定理定理2 如果一個(gè)既約真分?jǐn)?shù)的分母只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么，這個(gè)分?jǐn)?shù)所化成的小數(shù)是純循環(huán)小數(shù)，而且，這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)，與分母能整除時(shí)9的最少個(gè)數(shù)相同。定理的證明：第一部分。因?yàn)?，既約真分?jǐn)?shù)的分母只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，所以，。，且取最小值 ，即顯然，設(shè)，即。則有：與的小數(shù)部分相同。令則且有：，；，（是循環(huán)節(jié)的位數(shù)）。因此。分母只含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)的既約真分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)是純循環(huán)小數(shù)。定理的證明：第二部分。由第一部分可知，是的最少的“9”個(gè)數(shù)，也是既約真分?jǐn)?shù)能化成純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)位數(shù)。假設(shè)不是循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)，則，是整數(shù)，是既約真分?jǐn)?shù)能整除的個(gè)數(shù)比小，與能整除的最少個(gè)數(shù)矛循。由此可見，是既約真分?jǐn)?shù)化成純循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)是，也就是分母能整除中9的最少個(gè)數(shù)?；?jǐn)?shù)為混循環(huán)小數(shù)的定理定理3 如果一個(gè)既約真分?jǐn)?shù)的分母里，既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，那么，這個(gè)分?jǐn)?shù)所化成的小數(shù)是混循環(huán)小數(shù)；小數(shù)部分不循環(huán)的位數(shù)等于分母里因數(shù)2和5的指數(shù)中較大的一個(gè)數(shù)；這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)，與分母里2和5以外的質(zhì)因數(shù)的積能整除時(shí)9的最少個(gè)數(shù)相同。定理證明：第一部分。因?yàn)?，既約真分?jǐn)?shù)的分母里，既含有質(zhì)因數(shù)2或5，又含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，所以有：設(shè)，為分母里2、5以外的質(zhì)因數(shù)的積。，且（）=1，且（，為整數(shù)），顯然，是一個(gè)既約真分?jǐn)?shù)，且只有2、5以外的質(zhì)因數(shù)，因此，可以化成純循環(huán)小數(shù)。也是一個(gè)純循環(huán)小數(shù)。是一個(gè)混循環(huán)小數(shù)。設(shè)，則，因此，不循環(huán)部分的倍數(shù)與分母2、5中較大的一個(gè)指數(shù)相同。而且，當(dāng)小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)位后，小數(shù)的循環(huán)節(jié)沒有發(fā)生變化，的循環(huán)節(jié)與的循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)相同。3化分?jǐn)?shù)為小數(shù)的小結(jié)既約真分?jǐn)?shù)有限小數(shù)無限小數(shù)循環(huán)小數(shù)純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)圖4-1 小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化關(guān)系二、化小數(shù)為分?jǐn)?shù)1化有限小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法：將有限小數(shù)改寫成十進(jìn)分?jǐn)?shù)，然后，將十進(jìn)分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)。2化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)化純循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)定理4 一個(gè)純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，如果純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是，那么，純循環(huán)小數(shù)化成的分?jǐn)?shù)的分母是，分子是由一個(gè)循環(huán)節(jié)組成的整數(shù)?；煅h(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)定理5 一個(gè)混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，如果混循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是，不循環(huán)部分的位數(shù)是，那么，混循環(huán)小數(shù)化成的分?jǐn)?shù)的分母是，分子是由不循環(huán)數(shù)字與一個(gè)循環(huán)節(jié)組成的整數(shù)與循環(huán)節(jié)組成的整數(shù)的差。三、百分?jǐn)?shù)1百分?jǐn)?shù)的概念表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分?jǐn)?shù)。也叫百分比或百分率第四節(jié) 近似計(jì)算一、誤差、精確度與有效數(shù)字1誤差設(shè)準(zhǔn)確數(shù)為，近似數(shù)為，則叫做近似數(shù)誤差。0，叫做不足誤差；0，叫做過剩誤差。2絕對(duì)誤差一個(gè)量的準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的差的絕對(duì)值，叫做這個(gè)近似數(shù)的絕對(duì)誤差。記作：。3精確度近似數(shù)接近準(zhǔn)確數(shù)的程度，通常稱為精確度。4相對(duì)誤差近似數(shù)的絕對(duì)誤差除以準(zhǔn)確數(shù)的商，叫做相對(duì)誤差。記作：5有效數(shù)字一個(gè)近似數(shù)，如果絕對(duì)誤差不超過它的最末一位的半個(gè)單位，那么從左面第一個(gè)非零數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。二、近似數(shù)的四則計(jì)算1近似數(shù)的加減法近似數(shù)相加或相減時(shí)，先把小數(shù)位數(shù)較多的近似數(shù)四舍五入，使其比小數(shù)位數(shù)最少的近似數(shù)多一位小數(shù)；然后，按照通常的加減法法則進(jìn)行計(jì)算；最后，把計(jì)算結(jié)果中多保留的那一位數(shù)四舍五入。2近似數(shù)的乘除法近似數(shù)相乘或相除時(shí)，先把有效數(shù)字較多的近似數(shù)四舍五入，使其比有效數(shù)字較少的近似數(shù)多保留一個(gè)有效數(shù)字；然后按照通常的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算；最后使計(jì)算結(jié)果中有效數(shù)字的個(gè)數(shù)和原來較少的那個(gè)近似數(shù)中的有效數(shù)字的個(gè)數(shù)相同。3近似數(shù)的混合運(yùn)算計(jì)算前必須分清哪些是近似數(shù)，哪些是準(zhǔn)確數(shù)，準(zhǔn)確數(shù)的小數(shù)位數(shù)和有效數(shù)字個(gè)數(shù)可根據(jù)需要取定；計(jì)算時(shí)，中間步驟的計(jì)算結(jié)果所保留的數(shù)字要比按照前面的計(jì)算法則規(guī)定保留的數(shù)字多一個(gè)；計(jì)算時(shí)，可能的話，應(yīng)從有效數(shù)字較多的近似