反證法（公開課）

2.2.2反證法,復習,1.直接證明的兩種基本證法：,綜合法和分析法,2.這兩種基本證法的推證過程和特點：,由因?qū)Ч?執(zhí)果索因,3、在實際解題時，兩種方法如何運用？,通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程,綜合法,已知條件,結(jié)論,分析法,結(jié)論,已知條件,路邊苦李,王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動,王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李.,王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運用了怎樣的推理方法?,小故事:,王戎的推理方法是:假設李子不苦,則因樹在“道”邊,李子早就被別人采摘,這與“多子”產(chǎn)生矛盾.所以假設不成立,李為苦李.,發(fā)生在身邊的例子:,媽媽:小華,聽說鄰居小芳全家這幾天在外地旅游.小華:不可能,我上午還在學校碰到了她和她媽媽呢!,上述對話中,小華要告訴媽媽的命題是什么?,他是如何推斷該命題的正確性的?,小芳全家沒外出旅游.,小芳全家沒外出旅游.,假設小芳全家外出旅游,那么今天不可能碰到小芳,與上午在學校碰到小芳和她媽媽矛盾,所以假設不成立,所以小芳全家沒有外出旅游.,把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明,注：反證法是最常見的間接證法，同一法也是一種間接證法.,一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），,經(jīng)過正確的推理，,最后得出矛盾。,因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，,這樣的證明方法叫做反證法。,理論,反證法的證明過程：,否定結(jié)論推出矛盾肯定結(jié)論，即分三個步驟：反設歸謬存真,反設假設命題的結(jié)論不成立；,存真由矛盾結(jié)果，斷定反設不成立，從而肯定原結(jié)論成立。,歸謬從假設出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理，得出矛盾；,用反證法證明命題的過程用框圖表示為：,肯定條件否定結(jié)論,導致邏輯矛盾,反設不成立,結(jié)論成立,常用的互為否定的表述方式：,至少有一個至少有三個至少有n個最多有一個,一個也沒有,至多有兩個,至多有(n-1)個,至少有兩個,1,1,3,3,n,n,1,1,準確地作出反設(即否定結(jié)論)是非常重要的，下面是一些常見的結(jié)論的否定形式.,不是,不都是,不大于,大于或等于,一個也沒有,至少有兩個,至多有（n-1)個,至少有（n+1)個,存在某x，不成立,存在某x,成立,不等于,某個,例1：已知：一個整數(shù)的平方能被2整除，求證：這個數(shù)是偶數(shù)。,證明：假設a不是偶數(shù)，則a是奇數(shù)，不妨設a=2n+1(n是整數(shù))a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1a2是奇數(shù)，與已知矛盾。假設不成立，所以a是偶數(shù)。,注：直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。,例題,例2：求證：不可能成等差數(shù)列,注：否定型命題(命題的結(jié)論是“不可能”，“不能表示為”，“不是”，“不存在”，“不等于”，“不具有某種性質(zhì)”等)常用反證法,解題反思：證明本題時，你是怎么想到反證法的？,反證法中歸謬是核心步驟，本題中得到的邏輯矛盾是什么？,例3已知a0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。,證：由于a0，因此方程至少有一個根x=b/a，,注:結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn),是唯一性問題,常用反證法,如果方程不只一個根，不妨設x1,x2（x1x2)是方程的兩個根.,歸納總結(jié)：,三個步驟：反設歸謬存真,歸繆矛盾：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾。,（1）直接證明有困難,正難則反!,歸納總結(jié)：,哪些命題適宜用反證法加以證明？,牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?（3）唯一性命題,（2）否定性命題,（4）至多，至少型命題,唐吉訶德悖論,小說唐吉訶德里描寫過一個國家它有一條奇怪的法律：每一個旅游者都要回答一個問題。問，你來這里做什么？如果旅游者回答對了。一切都好辦。如果回答錯了，他就要被絞死。一天，有個旅游者回答旅游者：我來這里是要被絞死。這時，衛(wèi)兵慌了神，如果他們不把這人絞死，他就說錯了，就得受絞刑。可是，如果他們絞死他，他就說對了，就不應該絞死他。為了做出決斷，旅游者被送到國王那里?？嗫嘞肓撕镁茫瑖醪耪f國王：不管我做出什么決定，都肯定要破壞這條法律。我們還是寬大為懷算了，讓這個人自由吧。,趣味數(shù)學,推理與證明,推理,證明,合情推理,演繹推理,直接證明,間接證明,類比