2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試高考數(shù)學(xué)信息卷（二）理

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試最新高考信息卷理 科 數(shù) 學(xué)（二） 注意事項：1、本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡上。2、回答第卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在試卷上無效。3、回答第卷時，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4、考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設(shè)集合，則=（ ）AB或CD【答案】A【解析】由得，解得，或，故故選A2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A3BC9D10【答案】A【解析】，故選A3已知實數(shù)，滿足：，則（ ）ABCD【答案】B【解析】函數(shù)為增函數(shù)，故而對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，故選B4已知命題對任意，總有；命題直線，若，則或；則下列命題中是真命題的是（ ）ABCD【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，也即，故為真命題由于兩直線平行，故，解得或，當(dāng)時，與重合，故為假命題故為真命題所以選D5在區(qū)域內(nèi)任意取一點，則的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】畫出圖象如圖陰影部分所示，故概率為，所以選B6將函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，則所得圖象的解析式為（ ）ABCD【答案】C【解析】向右平移個單位長度得帶，再把圖象上各點的橫坐標(biāo)擴大到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到，故選C7宋元時期數(shù)學(xué)名著算學(xué)啟蒙中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等下圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的，分別為5，2，則輸出的（ ）A5B4C3D2【答案】B【解析】模擬程序運行，可得：，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為故選B8已知在銳角中，角，的對邊分別為，且則的值為（ ）ABCD【答案】A【解析】由正弦定理和余弦定理得，化簡得9如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫的是某幾何體的三視圖，則該幾何體最長棱的長度為（ ）A4BCD【答案】D【解析】如圖所示，由三視圖可知該幾何體為：四棱錐其中，平面，則該幾何體最長棱的長度故選D10已知點是拋物線的準(zhǔn)線上一點，為拋物線的焦點，為拋物線上的點，且，若雙曲線中心在原點，是它的一個焦點，且過點，當(dāng)取最小值時，雙曲線的離心率為（ ）ABCD【答案】C【解析】由于在拋物線準(zhǔn)線上，故，故拋物線方程為，焦點坐標(biāo)為當(dāng)直線和拋物線相切時，取得最小值，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，判別式，解得，不妨設(shè)，由，解得，即設(shè)雙曲線方程為，將點坐標(biāo)代入得，即，而雙曲線，故，所以，解得，故離心率為，故選C11如圖：在正方體中，點是的中點，動點在其表面上運動，且與平面的距離保持不變，運行軌跡為，當(dāng)從點出發(fā)，繞其軌跡運行一周的過程中，運動的路程與之間滿足函數(shù)關(guān)系，則此函數(shù)圖象大致是（ ）ABCD【答案】D【解析】畫出圖象如圖所示，由于平面平面，故三角形即點的運行軌跡以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，故，當(dāng)在時，當(dāng)在時，由此排除A，C兩個選項根據(jù)圖象的對稱性可知，當(dāng)在和上運動時，圖象應(yīng)該對稱，故排除B選項所以選D12已知偶函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，關(guān)于的不等式在上有且只有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】由可知函數(shù)的對稱軸為，由于函數(shù)是偶函數(shù)，也是它的對稱軸，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，在上遞增，最大值，且由選項可知，所以，解得或根據(jù)單調(diào)性和周期性畫出圖象如圖所示，由圖可知沒有整數(shù)解根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上有個周期，且有個整數(shù)解，也即每個周期內(nèi)有個解，故，解得第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答。第(22)(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。13已知平面向量，的夾角為，且，則_【答案】2【解析】14已知，則的展開式中，常數(shù)項為_【答案】【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，則，則，據(jù)此可得：，其展開式的通項公式為：，展開式中的常數(shù)項滿足，即：15如圖所示，正四面體中，是棱的中點，是棱上一動點，的最小值為，則該正四面體的外接球面積是_【答案】【解析】把正四面體展開成如圖所示的菱形，在菱形中，連結(jié)，交于，則的長即為的最小值，即如圖，設(shè)，則，則，即正四面體的棱長為該正四面體的外接球的半徑為，該正四面體的外接球的面積為，故答案為16對于任一實數(shù)序列，定義為序列，它的第項是，假定序列的所有項都是，且，則_【答案】1000【解析】依題意知是公差為的等差數(shù)列，設(shè)其首項為，通項為，則，于是由于，即，解得，故三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17數(shù)列為正項數(shù)列，且對，都有；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項和，求證：【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1），數(shù)列為正項數(shù)列，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，（2），18年微信用戶數(shù)量統(tǒng)計顯示，微信注冊用戶數(shù)量已經(jīng)突破億微信用戶平均年齡只有歲，的用戶在歲以下，的用戶在歲之間，為調(diào)查大學(xué)生這個微信用戶群體中每人擁有微信的數(shù)量，現(xiàn)在從北京大學(xué)生中隨機抽取位同學(xué)進行了抽樣調(diào)查，結(jié)果如下：微信群數(shù)量頻數(shù)頻率至個至個至個至個個以上合計（1）求，的值；（2）若從位同學(xué)中隨機抽取人，求這人中恰有人微信群個數(shù)超過個的概率；（3）以這個人的樣本數(shù)據(jù)估計北京市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率，若從全市大學(xué)生中隨機抽取人，記表示抽到的是微信群個數(shù)超過個的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1），；（2）；（3）見解析【解析】（）由已知得，解得，（）記“人中恰有人微信群個數(shù)超過個”為事件，則所以，人中恰有人微信群個數(shù)超過個的概率為（）依題意可知，微信群個數(shù)超過個的概率為的所有可能取值，則，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望19如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，且，是邊長為2的正三角形，頂點在上的射影為點，且，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）證明：由頂點在上投影為點，可知，取的中點為，連結(jié)，在中，所以在中，所以所以，即，面又面，所以面面（2）由（1）知，且，所以面，且面以所在直線為軸，所在直線為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：，設(shè)平面，的法向量分別為，則，則，則，所以二面角的余弦值為20已知曲線，曲線，且與的焦點之間的距離為，且與在第一象限的交點為（1）求曲線的方程和點的坐標(biāo)；（2）若過點且斜率為的直線與的另一個交點為，過點與垂直的直線與的另一個交點為設(shè)，試求取值范圍【答案】（1），；（2）【解析】（1）曲線的焦點坐標(biāo)為，曲線的焦點坐標(biāo)為，由與的焦點之間的距離為2，得，解得，的方程為由，解得（2）設(shè)直線的方程為，即，由，得則，又直線的方程為，即，由，得，則，同理，即綜上所述：21已知（1）求函數(shù)的極值；（2）設(shè)，對于任意，總有成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）的極小值為，極大值為；（2）【解析】（1），所以的極小值為，極大值為（2）由（1）可知當(dāng)時，函數(shù)的最大值為，對于任意，總有成立，等價于恒成立，時，因為，所以，即在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意當(dāng)時，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增，且，則存在，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以不恒成立，不合題意綜合可知，所求實數(shù)的取值范圍是請考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分。22已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）；直線（，）與曲線相交于，兩點，以極點為原點，極軸為軸的負半軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）記線段的中點為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）曲線的參數(shù)方程