2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第十二章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 12.3 隨機事件的概率練習 理 北師大版

12.3 隨機事件的概率核心考點精準研析考點一互斥事件、對立事件的判斷1.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數(shù),則下列各對事件是互斥而不是對立事件的是()a.恰有1個是奇數(shù)和全是奇數(shù)b.恰有1個是偶數(shù)和至少有1個是偶數(shù)c.至少有1個是奇數(shù)和全是奇數(shù)d.至少有1個是偶數(shù)和全是奇數(shù)2.已知100件產(chǎn)品中有5件次品,從這100件產(chǎn)品中任意取出3件,設(shè)e表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品”,f表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”,g表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件是次品”,則下列結(jié)論正確的是()a.f與g互斥b.e與g互斥但不對立c.e,f,g任意兩個事件均互斥d.e與g對立3.在下列六個事件中,隨機事件的個數(shù)為()如果a,b都是實數(shù),那么a+b=b+a;從分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡?得到4號簽;沒有水分,種子發(fā)芽;某電話總機在60秒內(nèi)接到至少10次呼叫;在標準大氣壓下,水的溫度達到50 時沸騰;同性電荷,相互排斥.a.2b.3c.4d.54.在5張電話卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動卡”的概率是310,那么概率是710的事件是()a.至多有一張移動卡b.恰有一張移動卡c.都不是移動卡d.至少有一張移動卡【解析】1.選a.從1,2,3,4,5中有放回地依次取出兩個數(shù),共有三種情況:a=兩個奇數(shù),b=一個奇數(shù)一個偶數(shù),c=兩個偶數(shù),且a,b,c兩兩互斥,所以a:是互斥事件,但不是對立事件;b:不互斥;c:不互斥;d:是互斥事件,也是對立事件.2.選d.由題意得事件e與事件f不可能同時發(fā)生,是互斥事件;事件e與事件g不可能同時發(fā)生,是互斥事件;當事件f發(fā)生時,事件g一定發(fā)生,所以事件f與事件g不是互斥事件,故a、c錯.事件e與事件g中必有一個發(fā)生,所以事件e與事件g對立,所以b錯誤,d正確.3.選a.是必然事件;是不可能事件;是隨機事件.4.選a.至多有一張移動卡包含“一張移動卡,一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事件,它是“2張全是移動卡”的對立事件.定義法判斷互斥事件、對立事件一般用定義判斷,不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件;兩個事件,若有且僅有一個發(fā)生,則這兩事件為對立事件,對立事件一定是互斥事件集合法若a,b滿足ab=,則a,b是互斥事件若a,b滿足ab=ab=,則a,b是對立事件考點二隨機事件的頻率與概率【典例】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息,安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如表所示.已知這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)/人x3025y10結(jié)算時間/(分鐘/人)11.522.53(1)確定x,y的值,并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值.(2)求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.(將頻率視為概率)【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題(1)由“超過8件”占55%聯(lián)想到“不超過8件” 占45%.(2)拆分為三個事件的和事件【解析】(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量為100的簡單隨機樣本,顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計,其估計值為115+1.530+225+2.520+310100=1.9分鐘.(2)記a為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”,a1,a2,a3分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”,將頻率視為概率得p(a1)=15100=320,p(a2)=30100=310,p(a3)=25100=14.因為a=a1a2a3,且a1,a2,a3是互斥事件,所以p(a)=p(a1a2a3)=p(a1)+p(a2)+p(a3)=320+310+14=710.故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為710.1.求復(fù)雜互斥事件概率的2種方法(1)直接法:將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和.(2)間接法:先求該事件的對立事件的概率,再由p(a)=1-p(a)求解.當題目涉及“至多”“至少”型問題時,多考慮間接法.2.求解以統(tǒng)計圖表為背景的隨機事件的頻率或概率問題的關(guān)鍵點求解該類問題的關(guān)鍵是由所給頻率分布表、頻率分布直方圖或莖葉圖等圖表,計算出所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù).某河流上的一座水力發(fā)電站,每年六月份的發(fā)電量y(單位:萬千瓦時)與該河上游在六月份的降雨量x(單位:毫米)有關(guān).據(jù)統(tǒng)計,當x=70時,y=460;x每增加10,y增加5.已知近20年x的值為140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的頻率分布表:近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率120420220(2)假定今年6月份的降雨量與近20年六月份降雨量的分布規(guī)律相同,并將頻率視為概率,求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490(萬千瓦時)或超過530(萬千瓦時)的概率.【解析】(1)在所給數(shù)據(jù)中,降雨量為110毫米的有3個,為160毫米的有7個,為200毫米的有3個,故近20年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220頻率120320420720320220(2)由已知可得y=x2+425,故p(“發(fā)電量低于490萬千瓦時或超過530萬千瓦時”)=p(y530)=p(x210)=p(x=70)+p(x=110)+p(x=220)=120+320+220=310.考點三互斥事件、對立事件的概率計算命題精解讀1.考什么:(1)考查隨機事件的頻率與概率的關(guān)系(2)考查互斥事件、對立事件的概念與概率計算問題2.怎么考:重點考查互斥事件、對立事件的概率計算,多數(shù)是以選擇題、填空題或解答題的一個小題的形式考查3.新趨勢:結(jié)合新背景,考查互斥事件、對立事件的概率計算,或者與統(tǒng)計知識交匯考查隨機事件的概率計算學(xué)霸好方法1.互斥事件、對立事件的概率問題的解決步驟:(1)明確區(qū)分互斥事件、對立事件.(2)應(yīng)用概率加法公式,或概率的一般加法公式求概率.2.交匯問題:解決與統(tǒng)計知識交匯考查隨機事件的概率計算問題時,先用統(tǒng)計知識求頻數(shù),頻率,再求概率.互斥事件的概率【典例】(2019天津模擬)經(jīng)統(tǒng)計,在銀行一個營業(yè)窗口每天上午9點鐘排隊等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如表:排隊人數(shù)012345概率0.10.160.30.30.10.04則該營業(yè)窗口上午9點鐘時,至少有1人排隊的概率是.【解析】由表格可得至少有1人排隊的概率p=0.16+0.3+0.3+0.1+0.04=0.9.答案:0.9對立事件的概率【典例】某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù):日銷售量(件)0123頻數(shù)1685試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件,當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件,則當天進貨補充至3件,否則不進貨,將頻率視為概率.(1)設(shè)每銷售一件該商品獲利1 000元,某天銷售該商品獲利情況如表,完成下表,并求試銷期間日平均獲利錢數(shù);日獲利(元)01 0002 0003 000頻率(2)求第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)為3件的概率.【解析】(1)日獲利分別為0元,1 000元,2 000元,3 000元的頻率分別為120,310,25,14;試銷期間日平均獲利數(shù)為0120+1 000310+2 00025+3 00014=1 850元.(2)由題意事件“第一天的銷售量為1件”是對立事件,所以p(“第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)為3件”)=1-p(“第一天的銷售量為1件”)=1-620=710.互斥事件、對立事件的概率計算問題與統(tǒng)計等交匯【典例】a地到火車站共有兩條路徑l1和l2,現(xiàn)隨機抽取100位從a地到火車站的人進行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:所用時間(分鐘)10202030304040505060選擇l1的人數(shù)612181212選擇l2的人數(shù)0416164(1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;(2)分別求通過路徑l1和l2所用時間落在上表中各時間段內(nèi)的頻率;(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站,為了盡可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站,試通過計算說明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.【解析】(1)由已知共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44人,所以用頻率估計相應(yīng)的概率為0.44.(2)選擇l1的有60人,選擇l2的有40人,故由調(diào)查結(jié)果得頻率為:所用時間(分鐘)10202030304040505060l1的頻率0.10.20.30.20.2l2的頻率00.10.40.40.1(3)a1,a2分別表示甲選擇l1和l2時,在40分鐘內(nèi)趕到火車站;b1,b2分別表示乙選擇l1和l2時,在50分鐘內(nèi)趕到火車站.由(2)知p(a1) =0.1+0.2+0.3=0.6,p(a2)=0.1+0.4=0.5, p(a1)p(a2),所以甲應(yīng)選擇l1,p(b1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,p(b2)=0.1+0.4+0.4=0.9,p(b2)p(b1),所以乙應(yīng)選擇l2.1.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果.周髀算經(jīng)九章算術(shù)海島算經(jīng)孫子算經(jīng)緝古算經(jīng)等10部專著,有著十分豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻.這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時期.某中學(xué)擬從這10部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著的概率為()a.1415b.115c.29d.79【解析】選a.設(shè)所選2部專著中至少有一部是魏晉南北朝時期專著為事件a,則所選2部專著中沒有一部是魏晉南北朝時期專著為事件a,所以p(a)=c32c102=115,因此p(a)=1-p(a)=1-115=1415.2.(2019景德鎮(zhèn)模擬)空氣質(zhì)量指數(shù)(aqi)是衡量空氣質(zhì)量好壞的標準,下表是我國南方某市氣象環(huán)保部門從去年的每天空氣質(zhì)量檢測數(shù)據(jù)中,隨機抽取的40天的統(tǒng)計結(jié)果:空氣質(zhì)量指數(shù)(aqi)國家環(huán)保標準頻數(shù)(天)頻率0,50一級(優(yōu))4(50,100二級(良)20(100,150三級(輕度污染)8(150,200四級(中度污染)4(200,300五級(重度污染)3(300,+)六級(嚴重污染)1(1)若以這40天的統(tǒng)計數(shù)據(jù)來估計,一年中(365天)該市有多少天的空氣質(zhì)量達到優(yōu)良?(2)若將頻率視為概率,某中學(xué)擬在今年五月份某連續(xù)的三天召開運動會,以上表的數(shù)據(jù)為依據(jù),問:這三天空氣質(zhì)量都達標(空氣質(zhì)量屬一、二、三級內(nèi))的概率;這三天恰好有一天空氣質(zhì)量不達標(指四、五、六級)的概率. 【解析】設(shè)pi(i=1、2、3、4、5、6)表示空氣質(zhì)量達到第i級的概率,則p1=0.1,p2=0.5,p3=0.2,p4=0.1,p5=340,p6=140.(1)依題意得365(p1+p2)=3650.6=219(天).(2)p1+p2+p3=0.8,p=(p1+p2+p3)3=0.83=0.512.p4+p5+p6=440+340+140=0.2,p=0.20.80.8+0.80.20.8+0.80.80.2=30.20.82=0.384.1.根據(jù)以往30年的統(tǒng)計數(shù)據(jù),中秋節(jié)晚上甲地陰天的頻率為0.4,乙地陰天的頻率為0.3,甲乙兩地都陰天的頻率為0.18,則用頻率估計概率,今年中秋節(jié)晚上甲乙兩地都能賞月(即都不陰天)的概率為()a.0.88b.0.52c.0.42d.0.48【解析】選d.設(shè)事件a=“甲地陰天”,事件b=“乙地陰天”,所以pa=0.4,pb=0.3,pab=0.18,則甲乙兩地至少有一地陰天的概率為pab=pa+pb-pab=0.52,所以兩地都能賞月的概率為1-pab=0.48.2.事件a,b互斥,它們都不發(fā)生的概率為25,且p(a)=2p(b),則p(a-)=.【解析】因為事件a,b都