福建省泉州第十六中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理（含解析）

泉州第十六中學(xué)2020年春季期中考試卷高二數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題(每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確答案填入答題卷中。)1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第() 象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】【分析】先得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案【詳解】由題意得，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限故選B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是熟悉復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，屬于簡單題2.曲線在點(diǎn)（1，3）處的切線的傾斜角為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】因?yàn)?，故有，所以?.9件產(chǎn)品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，現(xiàn)在要從中抽出4件產(chǎn)品來檢查，至少有兩件一等品的種數(shù)是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：有兩件一等品的種數(shù)，有三件一等品的種數(shù)，有四件一等品的種數(shù), 所以至少有兩件一等品的種數(shù)是，故選D考點(diǎn)：組合的應(yīng)用4.猜想數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于數(shù)列的前幾項(xiàng)可以變形為，被開方數(shù)構(gòu)成了以2為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，故可知其通項(xiàng)公式是，選B.考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是對于已知中各個(gè)項(xiàng)的變換規(guī)律，由于否是偶次根號下的數(shù)，那么可知數(shù)字構(gòu)成了等差數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題。5.已知復(fù)數(shù)，為其共軛復(fù)數(shù)，則等于()A. 5B. 6C. D. 4【答案】C【解析】【分析】由題意得，然后再求出，最后求出即可【詳解】，故選C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，屬于基礎(chǔ)題6.定積分 表示 ()A. 半徑為3的圓面積B. 半徑為3的半圓面積C. 半徑為3的圓面積的四分之一D. 半徑為3的半圓面積的四分之一【答案】C【解析】顯然為原點(diǎn)圓心，以3為半徑的圓的四分之一，所以定積分為半徑為3的圓面積的四分之一，故選擇C7.函數(shù) 在 處取到極值，則 的值為( )A. B. -1C. 0D. 【答案】B【解析】解：由題意得因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=alnx+x在x=1處取得極值，所以f（1）=0，即a+1=0，所以a=-1故答案為-1,選B。8.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由題意可得，求解不等式即可確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：,求解不等式可得：，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.9.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，第一步驗(yàn)證時(shí)，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是()A. 1B. C. D. 【答案】D【解析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知：當(dāng)時(shí)，等式的左邊是，應(yīng)選答案D。10.有一段“三段論”推理是這樣的：對于可導(dǎo)函數(shù)，如果，那么是函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，所以，是函數(shù)的極值點(diǎn).以上推理中()A. 大前提錯(cuò)誤B. 小前提錯(cuò)誤C. 推理形式錯(cuò)誤D. 結(jié)論正確【答案】A【解析】【分析】使用三段論推理證明，我們分析出“對于可導(dǎo)函數(shù)，若，且滿足當(dāng)和時(shí)導(dǎo)函數(shù)值異號時(shí)，此時(shí)才是函數(shù)的極值點(diǎn)”，得出答案.【詳解】對于可導(dǎo)函數(shù)，若，且滿足當(dāng)和時(shí)導(dǎo)函數(shù)值異號時(shí)，此時(shí)才是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以大前提錯(cuò)誤故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三段論以及命題的真假，屬于基礎(chǔ)題.11.若定義在上的函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：令，則，因此，所以選C考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式【方法點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等12.已知函數(shù)的圖象如圖所示(其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中的圖象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由圖象可知：在上小于等于零，故原函數(shù)在上為減函數(shù)，故選C評注：函數(shù)圖象提供了很多信息，但要抓住關(guān)鍵特點(diǎn)，如導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)為正值或負(fù)值的區(qū)間等二、填空題（請把正確答案填在答題卡相應(yīng)題中的橫線上）13.某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有 種.(用數(shù)字作答)【答案】240【解析】試題分析：由題設(shè)知，必有兩個(gè)班去同一工廠，所以把5個(gè)班分成四組，有種分法，每一種分法對應(yīng)去4個(gè)工廠的全排列因此，共有240（種）考點(diǎn)：排列組合14.若函數(shù)在是增函數(shù)，則的取值范圍是_【答案】a3【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在大于等于0恒成立解答案【詳解】由條件知f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立函數(shù)y2x在上為減函數(shù)，ymax，a3經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a3時(shí)，滿足題意【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了導(dǎo)函數(shù)在求解含有參數(shù)問題中的應(yīng)用，是中檔題15.設(shè)函數(shù),其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由得到，設(shè)，從而由題意可得存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)兩函數(shù)的圖象的相對位置關(guān)系得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，進(jìn)而得到所求范圍【詳解】由，得, 其中，設(shè)，存在唯一的整數(shù)，使得，存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，又當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)，斜率為，所以要滿足題意，則需，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的應(yīng)用，具有綜合性和難度，考查理解能力和運(yùn)算能力，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的相對位置關(guān)系來處理，進(jìn)而借助數(shù)形結(jié)合的方法得到關(guān)于參數(shù)的不等式（組），進(jìn)而得到所求16.下列是關(guān)于復(fù)數(shù)的類比推理：復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則由實(shí)數(shù)絕對值的性質(zhì)類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)由“已知，若則”類比得“已知，若，則”由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義其中推理結(jié)論正確的是 _【答案】【解析】分析：復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則，由向量的加法的幾何意義可以類比到復(fù)數(shù)加法的幾何意義，但是向量的模長和復(fù)數(shù)的模長不是通過列舉法得到的，還有兩個(gè)復(fù)數(shù)是不能比較大小的，即可得到答案.詳解：復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則，所以是正確的；由實(shí)數(shù)絕對值的性質(zhì)類比得到復(fù)數(shù)的性質(zhì)，即這兩個(gè)長度的求法不是通過類比得到的，所以是錯(cuò)誤的；對于中，已知，若，則，因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)是不能比較大小的，所以是錯(cuò)誤的；由向量的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)的幾何意義，所以是正確的.點(diǎn)睛：本題主要考查了類比推理的判定及應(yīng)用，其中本題的解答中熟記實(shí)數(shù)的運(yùn)算，以及向量的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的運(yùn)算之間的區(qū)別和聯(lián)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類問題和解答問題的能力，以及推理與論證能力.三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有極大值；（1）求的值；（2）求函數(shù)極小值【答案】（1）（2）0【解析】試題分析：（1）由函數(shù)的定義得,導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，然后解出a,b.（2）由（1）知; ,然后找出極值點(diǎn)，求出極小值.（1）由經(jīng)檢驗(yàn)知，滿足題意。（2）令因?yàn)?當(dāng)考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義;利用導(dǎo)數(shù)求極值.18.已知，。求證:中至少有一個(gè)不小于0【答案】見證明【解析】【分析】利用反證法證明，找到矛盾即可。【詳解】證明：假設(shè)中沒有一個(gè)不少于0，即，所以又這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立所以中至少有一個(gè)不少于0【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用反證法證明問題，考查推理能力，屬于中檔題。19.已知曲線的切線與平行（1）求 的解析式（2）通過圖像,求由曲線與，所圍成的平面圖形的面積和【答案】（1）f(x)=x2+2（2）1【解析】試題分析：解：（1）由已知得：f(1)=2,求得a=1f(x)=x2+2（2）由題意知陰影部分的面積是：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；定積分。點(diǎn)評：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是函數(shù)在某處切線的斜率，而求定積分常要求出被積函數(shù)的原函數(shù)，這是一個(gè)難點(diǎn)。20.已知數(shù)列滿足（1）計(jì)算；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)，并利用數(shù)學(xué)歸納法證明【答案】(1) ， (2) ，證明略【解析】【分析】(1) 分別將代入即可得解。(2)假設(shè)時(shí)，等式成立，利用證明，問題得證?！驹斀狻浚?）由遞推公式，得， （2）猜想：證明：時(shí)，由已知得，等式成立設(shè)時(shí)，等式成立即所以，所以時(shí)，等式成立根據(jù)可知，對任意，等式成立即通項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法及數(shù)學(xué)歸納法證明證明等式，考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于中檔題。21.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1) 分段求，令，解不等式即可。(2)將問題轉(zhuǎn)化成的最大值滿足，再利用導(dǎo)數(shù)求得，問題得解?！驹斀狻拷猓海?）由于當(dāng)時(shí)， 令，可得.當(dāng)時(shí)，可知所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.（2）設(shè) 當(dāng)時(shí)，令，可得或，即；令，可得可得為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，可得為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.函數(shù)的最大值為，要使不等式對一切恒成立，即對一切恒成立， ，可得的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，還考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化能力及計(jì)算能力，屬于中檔題。22.設(shè)函數(shù)， （1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（2）證明詳見解析.【解析】試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問題等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.（）先對求導(dǎo)，令解出，將函數(shù)的定義域斷開，列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，所以由表格知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，同時(shí)也是最小值；（）利用第一問的表，知為函數(shù)的最小值，如果函數(shù)有零點(diǎn)，只需最小值，從而解出，下面