高中數學 第一章 常用邏輯用語 1.2 充分條件與必要條件 充要條件的理解及判定方法素材 北師大版選修2-1（通用）

充要條件的理解及判定方法充分條件、必要條件和充要條件是重要的數學概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結論q之間的關系本文主要是通過不同的知識點來剖析充分必要條件的意義，讓我們能準確判定給定的兩個命題的充要關系高考中“充要條件”常見題型解題方法如下：一利用雙箭頭的傳遞性判定例1已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件那么p是q成立的（ ）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件解：用雙箭頭符號表示p、q、r、s的關系：pr，sr，qs，即pr，rs，sq，prsq，即pq，又rp，則qp，故p是q的充分非必要條件.故選A.點評：由于邏輯聯(lián)結符號“”、“”、“”具有傳遞性，因此可根據幾個條件的關系，經過若干次的傳遞，判斷所要判斷的兩個條件之間的依存關系.本題關鍵是將所有充分（必要）條件轉化為“=”和“”表示，畫出它們的關系網絡圖，再找要求的兩個條件之間的互推關系二利用集合之間的關系判定例2設集合，那么“”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析：，NM“”是“”的必要而不充分條件. 故應選B點評：通過集合的包含或相等關系來確定充分、必要條件，利用集合之間的關系判定主要依據：(1)若AB，就是xA則xB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；(2)若AB，就是xA則xB，且A中至少有一個元素不在B中，則A是B的充分非必要條件，B是A的必要非充分條件；(3)若A=B，就是AB且AB，則A是B的充分條件，同時A是B的必要條件，即A是B的充要條件；(4)若AB，AB，則A是B的既不充分也不必要條件三利用命題的四種形式進行判定例3設A、B是兩個命題，如果B是的必要條件，但不是的充分條件，那么A是的 條件解： A是的必要條件；又假如，則，這與B不是的充分條件矛盾，A不是的充分條件，故A是的必要不充分條件點評：利用命題的幾種相互關系判定的依據是：(1)如果原命題成立，逆命題不成立，則原命題的條件是充分非必要的；(2)如果原命題不成立，逆命題成立，則原命題的條件是必要非充分的；(3)如果原命題和它的逆命題都成立，則原命題的條件充要的；(4)如果原命題和它的逆命題都不成立，則原命題的條件是非充分非必要的.四直接用定義判定例4“若，R，則0”的一個充分不必要條件是：0；0或0；2；0且0解：由題意知“充分不必要條件”是指：選項=已知，但已知選項據此考察四個選項：0=，同號0；0或00；2=0，但02；0且00，但00且0故填點評：直接用定義判定的理論依據是：能夠保證一個事件一定發(fā)生的條件，叫做這個事件發(fā)生的充分條件；一個事件要發(fā)生必須具備的條件叫做這個事件發(fā)生的必要條件；一個條件既能保證某個事件發(fā)生，同時又是這個事件發(fā)生必須具備的條件，就叫做這個事件發(fā)生的充要條件.在實際應用中，體現充要條件的文字還有“當且僅當”、“有且僅有”、“必需且只需”等語句.用邏輯符號表示為：(1)若pq，且qp，則p是q的充分且不必要條件，q是p的必要且不充分條件；(2)若qp，且pq，則p是q的必要且不充分條件，q是p的充分且不必要條件；(3)若pq，且qp(或pq)，則p是q的充要條件(此時q也是p的充要條件)；(4)若pq，且qp，則p是q的非充分非必要條件.例5若是常數，則“”且“”是“對任意，有”的( )A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解：由“且”可推得“對任意，有”成立，而當時，仍有，即由“對任意，有”不能推出“且”故答案選A點評：此題考查了恒成立的條件，恒成立的條件是 或 可見，實際上解決有關“充要條件”的方法主要有：(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結為判斷命題的真假.(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價于”，“當且僅當”，“必須并且只需”，“，反之也真”等.(3)數學概念的定義具有相稱性，即數學概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據，又是概念所具有的性質.(4)從集合觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要