談?wù)剶?shù)列中的放縮法

談?wù)剶?shù)列中的放縮法高考中利用放縮方法證明不等式，文科涉及較少，但理科卻常常出現(xiàn)（雖然數(shù)列在高考中已有所降溫）放縮法證明不等式有法可依，但具體到題，又常常沒(méi)有定法，它綜合性強(qiáng)，形式復(fù)雜，運(yùn)算要求高，往往能考查考生思維的嚴(yán)密性，深刻性以及提取和處理信息的能力，較好地體現(xiàn)高考的甄別功能縮法是不等式證明中一種常用的方法，也是一種非常重要的方法在證明過(guò)程中，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行放縮，可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，達(dá)到事半功倍的效果但放縮的范圍較難把握，常常出現(xiàn)放縮之后得不出結(jié)論或得出相反結(jié)論的現(xiàn)象因此，使用放縮法時(shí)，如何確定放縮目標(biāo)尤為重要要想正確確定放縮目標(biāo)，就必須根據(jù)欲證結(jié)論，抓住題目的特點(diǎn)掌握放縮技巧，真正做到弄懂弄通，并且還要根據(jù)不同題目的類型，采用恰到好處的放縮方法，才能把題解活，從而培養(yǎng)和提高自己的思維和邏輯推理能力，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力放縮法的本質(zhì)是基于最初等的四則運(yùn)算，利用不等式的傳遞性，其優(yōu)點(diǎn)是能迅速地化繁為簡(jiǎn)，化難為易，達(dá)到事半功倍的效果；其難點(diǎn)是變形靈活，技巧性強(qiáng)，放縮尺度很難把握裂項(xiàng)放縮與裂項(xiàng)（1）基本放縮； ； ，（kN+）（2）對(duì)的放縮 （）； （）； （3）對(duì)的放縮（）；（4）對(duì)的放縮；（關(guān)系不明顯的需證明）（5）（*）（6）對(duì)的放縮典型例題例1 （型）若是自然數(shù)，求證：2、(節(jié)選2014廣東文) ，求證：對(duì)一切正整數(shù)，例2、（根式型）求證：，其中變式:（靈活放縮）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1) 求證：；(2) 求證：解：（1）在條件中，令n1，得，又由條件，有：，上述兩式相減，注意到，得，故而，所以，所以；（2）由nn1，得，即，所以，例4（構(gòu)造型放縮）（2014高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理17）已知數(shù)列滿足，（）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（）證明：解：（1）證明略，；（2）由（I）知，因?yàn)闀r(shí)，所以于是（其他方法這里不介紹）變式：設(shè)數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且依次成等比數(shù)列（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若，求證：解： .3分而所以.13分靈活拓展：1、（13成都一診）數(shù)列中，且當(dāng)時(shí)， （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和； （3）求證：解：（I）；3分（II）；7分（III）顯然時(shí)不等式成立，當(dāng)時(shí)，故時(shí)，2、已知函數(shù)滿足：若，設(shè)，為數(shù)列前n項(xiàng)和，證明：解析：，一、分式和準(zhǔn)確變形，裂項(xiàng)相消例 （06全國(guó)I理22）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（1）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（2）設(shè)，證明：解析：（I），；（II）證明：，二、指數(shù)和裂項(xiàng)無(wú)效，化歸等比例 （節(jié)選06福建理22） 已知，求證：證明：三、把握結(jié)構(gòu)，均分放縮對(duì)形如“（其中是常數(shù)）”的不等式，由于左邊是項(xiàng)之和，右邊可以變形為個(gè)之和，所以可考慮左邊的每一項(xiàng)能否放大到像這種每一項(xiàng)的放縮度是一樣的，稱為均分放縮，是化歸等比的特例如上例中：可以用此法來(lái)證明，只需證明每項(xiàng)均小于即可因?yàn)?，所以注：均分放縮，應(yīng)從欲證不等式的結(jié)構(gòu)形式上去考慮，由于每項(xiàng)放縮度是一樣的，放縮程度比較大，因此可以考慮前面一項(xiàng)或前面幾項(xiàng)不放縮，對(duì)后面幾項(xiàng)進(jìn)行放縮四、特殊探路，確定目標(biāo)合理變形，不斷調(diào)整如果不等關(guān)系不明確時(shí)，可以先選取幾個(gè)特殊值進(jìn)行嘗試，名曲目標(biāo)后再進(jìn)行論證例 設(shè)函數(shù)，已知不論，為何實(shí)數(shù)，恒有，對(duì)于正數(shù)列，其前項(xiàng)和（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和，比較與的大小，并說(shuō)明理由解析：（I）；（II），；到底是放大還是縮小？我們可以用特殊值探路，當(dāng)時(shí)，都有，由此可以大膽猜想證明目標(biāo)：“”，明確放縮方向后，進(jìn)行嘗試探索，并不斷調(diào)整，努力接近解題目標(biāo)，直到解決問(wèn)題在上例中，明確方向后，估計(jì)是通過(guò)裂項(xiàng)相消，能出現(xiàn)的形式，再判斷的符號(hào)因此關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行放縮變形，可以采用不同的試探方式經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，只有（5）能有效解決問(wèn)題注：在使用放縮證題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到放的太大或者縮得太小的情況，因此需要大膽嘗試、猜想、判斷，并不斷的調(diào)整，雖經(jīng)失敗，但從中獲得了教訓(xùn)和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)培養(yǎng)我們的探索精神大有裨益五、準(zhǔn)確判斷，確定起點(diǎn)例1 （2013廣東理）若是自然數(shù)，求證：證明：記，當(dāng)時(shí),原不等式成立. 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 原不等式亦成立.綜上,對(duì)一切正整數(shù),有.六、放縮一步到位在用“放縮法”證明不等式時(shí)，最易犯的錯(cuò)誤是放縮過(guò)頭.為了避免放縮過(guò)頭，人們往往反復(fù)嘗試，才可能找到最適當(dāng)?shù)姆趴s方式，這樣做費(fèi)時(shí)又費(fèi)力.如何恰到好處地放縮，自然為廣大師生所關(guān)注本文將用待定系數(shù)法來(lái)準(zhǔn)確把控放縮程度，從而證明相關(guān)不等式例1 求證：證明：因?yàn)樗浴啊笔侨绾蜗氲降模繛楹尾皇?、等其他?shù)？可能有人會(huì)說(shuō)是試出來(lái)的有沒(méi)有辦法一步到位找到這個(gè)呢？其實(shí)，我們學(xué)習(xí)過(guò)待定系數(shù)法，這里我們使用待定系數(shù)法來(lái)尋找這個(gè)設(shè)待定實(shí)數(shù)， 則，令，