數(shù)學(xué)模型課件VIP

動(dòng)態(tài)模型,描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程,分析對(duì)象特征的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài),研究控制對(duì)象特征的手段,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù),微分方程建模,根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè),按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程,微分方程模型,微分方程,微分方程作為數(shù)學(xué)科學(xué)的中心學(xué)科，已經(jīng)有三百多年的發(fā)展歷史，其解法和理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解（或數(shù)值解）提供足夠的方法，使得微分方程模型具有極大的普遍性、有效性和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。我們要掌握常微分方程的一些基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)一些可以求解的微分方程及其方程組，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。,微分方程模型分為：1.常微分方程(組)模型;2.偏微分方程(組)模型在常微分方程（組）中影響結(jié)果的變量只有一個(gè)；而偏微分方程研究的是有多個(gè)變量影響結(jié)果時(shí)的規(guī)律。,常數(shù)變易法：它是由線性齊次方程（一階或高階）或方程組的解經(jīng)常數(shù)變易后求相應(yīng)的非齊次方程或方程組的解的一種方法。初等積分法：掌握變量可分離方程、齊次方程的解法，掌握線性方程的解法，掌握全微分方程（含積分因子）的解法，會(huì)一些一階隱式微分方程的解法（參數(shù)法），會(huì)幾類可以降階的高階方程的解法（恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程）。,分離變量法：(1)可分離變量方程：(2)齊次方程：常數(shù)變易法：(1)線性方程，(2)伯努里方程，積分因子法：化為全微分方程，按全微分方程求解。,對(duì)于一階隱式微分方程有參數(shù)法：(1)不含x或y的方程:(2)可解出x或y的方程：對(duì)于高階方程，有降階法：恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程一階方程的應(yīng)用問題（即建模問題）。,2一階線性微分方程組;3.高階線性微分方程;n階線性常系數(shù)微分方程解法;4.常微分方程的基本定理;5.常微分方程的穩(wěn)定性理論;6.常微分方程的定性理論;7.差分方程;8.偏微分方程。,微分方程建模對(duì)于許多實(shí)際問題的解決是一種極有效的數(shù)學(xué)手段，對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的變化，人們關(guān)注的往往是其變化速度、加速度以及所處位置隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律，其規(guī)律一般可以用微分方程或方程組表示.,微分方程建模法總述,微分方程建模適用的領(lǐng)域:1.純數(shù)學(xué)（特別是幾何）,2.物理學(xué)（如動(dòng)力學(xué)、電學(xué)、核物理學(xué)等）3.航空航天（火箭、宇宙飛船技術(shù)），4.考古（鑒定文物年代），5.交通（如電路信號(hào)，特別是紅綠燈亮的時(shí)間），6.生態(tài)（人口、種群數(shù)量），7.環(huán)境（污染），8.資源利用（人力資源、水資源、礦藏資源、運(yùn)輸調(diào)度、工業(yè)生產(chǎn)管理），,9.生物（遺傳問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題、動(dòng)植物循環(huán)系統(tǒng)），10.醫(yī)學(xué)（流行病、傳染病問題），11.經(jīng)濟(jì)（商業(yè)銷售、財(cái)富分布、資本主義經(jīng)濟(jì)周期性危機(jī)），12.戰(zhàn)爭（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)）等。,微分方程模型是連續(xù)性模型中最主要的部分，模型的建立主要是基于機(jī)理分析的方法，利用所研究問題內(nèi)部的聯(lián)系，利用微元法，通過建立微分方程或微分方程組描述問題的本質(zhì)。所謂微元法就是考察變量的一個(gè)微小變動(dòng)對(duì)結(jié)果的影響，進(jìn)而得到反映變化規(guī)律的微分方程。,求解微分方程的方法大致有兩類：1.得到顯式表示的完全解，進(jìn)而通過解的表達(dá)式分析模型結(jié)果；2.數(shù)值解法，這種解法通常需要計(jì)算軟件的協(xié)助，解的結(jié)果通常使用圖形的方式表示，或者可以求出某些關(guān)鍵點(diǎn)的函數(shù)值。,大多數(shù)微分方程模型的建立是基于平衡原理的分析。平衡原理:指自然界的任何物質(zhì)在其變化的過程中一定受到某種平衡關(guān)系的支配。注意發(fā)掘?qū)嶋H問題中的平衡原理是從物質(zhì)運(yùn)動(dòng)機(jī)理的角度組建數(shù)學(xué)模型的一個(gè)關(guān)鍵問題。,因?yàn)樵S多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述將導(dǎo)致求解微分方程的定解問題。把形形色色的實(shí)際問題化成微分方程的定解問題，大體上可以按以下幾步：1.根據(jù)實(shí)際要求確定要研究的量(自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等)并確定坐標(biāo)系。2.找出這些量所滿足的基本規(guī)律(物理的、幾何的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等)。3.運(yùn)用這些規(guī)律列出方程和定解條件。,大體來說列常微分方程常見的方法有：（i）按規(guī)律直接列方程在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中許多自然現(xiàn)象所滿足的規(guī)律已為人們所熟悉，并直接由微分方程所描述。如牛頓第二定律、放射性物質(zhì)的放射性規(guī)律等。我們常利用這些規(guī)律對(duì)某些實(shí)際問題列出微分方程。,（ii）微元分析法與任意區(qū)域上取積分的方法自然界中也有許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律是通過變量的微元之間的關(guān)系式來表達(dá)的。例如上面提到的水池問題等。,（iii）模擬近似法在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚而且相當(dāng)復(fù)雜，因而需要根據(jù)實(shí)際資料或大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)。在一定的假設(shè)下，給出實(shí)際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法列出微分方程。,在實(shí)際的微分方程建模過程中，也往往是上述方法的綜合應(yīng)用。不論應(yīng)用哪種方法，通常要根據(jù)實(shí)際情況，作出一定的假設(shè)與簡化，并要把模型的理論或計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況進(jìn)行對(duì)照驗(yàn)證，以修改模型使之更準(zhǔn)確地描述實(shí)際問題并進(jìn)而達(dá)到預(yù)測預(yù)報(bào)的目的。,涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、“運(yùn)動(dòng)”、“追趕”、“逃跑”、等等詞語的確定性連續(xù)問題。,b、微分方程建模的基本手段微元法等,簡單來說：a、微分方程建模的對(duì)象,1、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字等式變化率（微商）=單位增加量單位減少量等式通常是利用已有的原則或定律。,c、微分方程建模的基本規(guī)則,2、對(duì)問題中的特征進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫,3、用微元法建立微分方程；4、確定微分方程的定解條件（初邊值條件）；5、求解或討論方程（數(shù)值解或定性理論）；6、模型和結(jié)果的討論與分析。,具體建立微分方程模型的方法如下：1利用題目本身給出的或隱含的等量關(guān)系建立微分方程模型。這就需要我們仔細(xì)分析題目，明確題意，找出其中的等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。,例如：在光學(xué)里面，旋轉(zhuǎn)拋物面能將放在焦點(diǎn)處的光源經(jīng)鏡面反射后成為平行光線，證明其具有這一性質(zhì)的曲線只有拋物線。,我們就是利用了題目中隱含的條件入射角等于反射角來建立微分方程模型的。,例如：在天文學(xué)、氣象學(xué)中常用到的等角軌線。已知曲線或曲線族(c)，求曲線（等角軌線或正交軌線），使與(c)中每條曲線相交成給定的角度（這是題目中明確給出的條件，）即曲線的切線相交成給定的角度。,我們可在它們的導(dǎo)數(shù)之間建立聯(lián)系，又題目中隱含的條件是：在與(c)中曲線相交點(diǎn)處，它們的函數(shù)值相等；這樣，我們只要求出已知曲線或曲線族的微分方程，根據(jù)它們之間的聯(lián)系，就可以建立等角軌線的微分方程模型，從而求出等角軌線的方程。,2從一些已知的基本定律或基本公式出發(fā)建立微分方程模型。我們要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。,例如：1.從幾何觀點(diǎn)看，曲線y=y(x)上某點(diǎn)的切線斜率即函數(shù)y=y(x)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；2.力學(xué)中的牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：f=ma,其中加速度a就是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，也是速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)；3.電學(xué)中的基爾霍夫定律等。從這些知識(shí)出發(fā)我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。,例:在動(dòng)力學(xué)中，如何保證高空跳傘者的安全問題。,解:對(duì)于高空下落的物體，我們可以利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律建立其微分方程模型。設(shè)物體質(zhì)量為m，空氣阻力系數(shù)為k，在速度v不太大的情況下，空氣阻力近似與速度的平方成正比；設(shè)時(shí)刻t時(shí)物體的下落速度為，初始條件：,由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律建立其微分方程模型：,求解模型可得：,由上式可知，當(dāng)時(shí)，物體具有極限速度：,其中，阻力系數(shù),為與物體形狀有關(guān)的常數(shù)，為介質(zhì)密度，s為物體在地面上的投影面積。根據(jù)極限速度求解式子，在一定時(shí)，要求落地速度不是很大時(shí)，我們可以確定出s來，從而設(shè)計(jì)出保證跳傘者安全的降落傘的直徑大小來。,3利用導(dǎo)數(shù)的定義建立微分方程模型。,導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)重要概念，其定義為：,商式單位自變量的改變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)改變量，即函數(shù)的瞬時(shí)平均變化率。其極限值函數(shù)的變化率。函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。,例如：在考古學(xué)中，為了測定某種文物的絕對(duì)年齡，我們可以考察其中的放射性物質(zhì)（如鐳、鈾等），已經(jīng)證明其裂變速度（單位時(shí)間裂變的質(zhì)量，即其變化率）與其存余量成正比。,由于一切事物都在不停地發(fā)展變化，變化就必然有變化率，也就是變化率是普遍存在的，因而導(dǎo)數(shù)也是普遍存在的。這就很容易將導(dǎo)數(shù)與實(shí)際聯(lián)系起來，建立描述研究對(duì)象變化規(guī)律的微分方程模型。,我們假設(shè)時(shí)刻t時(shí)該放射性物質(zhì)的存余量R是t的函數(shù)，由裂變規(guī)律，我們可以建立微分方程模型:其中是k一正的比例常數(shù)，與放射性物質(zhì)本身有關(guān)。求解該模型，我們解得：其中c是由初始條件確定的常數(shù)。從這個(gè)關(guān)系式出發(fā)，我們就可以測定某文物的絕對(duì)年齡。（參考碳定年代法）,另外，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中，導(dǎo)數(shù)概念有著廣泛的應(yīng)用，將各種函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（即函數(shù)變化率）稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)，從而得到經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析理論。,對(duì)于這類問題，我們不能直接列出自變量和未知函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系式，而是通過微元分析法，利用已知的規(guī)律建立一些變量（自變量與未知函數(shù)）的微元之間的關(guān)系式，然后再通過取極限的方法得到微分方程，或等價(jià)地通過任意區(qū)域上取積分的方法來建立微分方程。,4利用微元法建立微分方程模型。,一般的，如果某一實(shí)際問題中所求的變量p符合下列條件：1)p是與一個(gè)變量t的變化區(qū)間a,b有關(guān)的量；2)p對(duì)于區(qū)間a,b具有可加性；3)部分量的近似值可表示為。,那么就可以考慮利用微元法來建立微分方程模型，其步驟是：首先根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量例如t為自變量，并確定其變化區(qū)間a,b；其次在區(qū)間a,b中隨便選取一個(gè)任意小的區(qū)間并記作，求出相應(yīng)于這個(gè)區(qū)間的部分量的近似值。,如果能近似的表示為a,b上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在t處的f(t)值與dt的乘積，我們就把f(t)dt稱為量p的微元且記作dp。這樣，我們就可以建立起該問題的微分方程模型：dp=f(t)dt。對(duì)于比較簡單的模型，兩邊積分就可以求解該模型。,例如:1.在幾何上求曲線的弧長、平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、旋轉(zhuǎn)體體積、空間立體體積；2.代數(shù)方面求近似值以及流體混合問題；3.物理上求變力做功、壓力、平均值、靜力矩與重心；這些問題都可以先建立他們的微分方程模型，然后求解其模型。,例高為1m的半球形容器，其底部有橫截面積為1cm2的小孔，水從小孔流出（見圖），開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水，求水面高度變化規(guī)律及水流完所需時(shí)間。既可用我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中學(xué)過的微元法來求解。,例求一個(gè)離地面很高的物體，受地球引力的作用由靜止開始落向地面，求它落到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間（空氣阻力忽略不計(jì)）。,解：取連接地球中心與該物體的直線為y軸，其方向鉛直向上，地球中心為原點(diǎn)。,5熟悉一些經(jīng)典的微分方程模型，對(duì)一些類似的問題，經(jīng)過稍加改進(jìn)或直接套用這些模型。,多年來，在各種領(lǐng)域里，人們已經(jīng)建立起了一些經(jīng)典的微分方程模型，熟悉這些模型對(duì)我們是大有裨益的。接下來，我們將重點(diǎn)了解一些著名的、經(jīng)典的微分方程模型，例如生物種群模型、人口問題模型、傳染病模型、經(jīng)濟(jì)增長模型：,應(yīng)用微分方程的各種模型1.純數(shù)學(xué)（特別是幾何）模型,2.物理學(xué)（如動(dòng)力學(xué)、電學(xué)、核物理學(xué)等）模型，3.航空航天（火箭、宇宙飛船技術(shù)）模型，4.考古（鑒定文物年代）模型，5.交通（如電路信號(hào)，特別是紅綠燈亮的時(shí)間）模型，6.生態(tài)（人口、種群數(shù)量）模型，7.環(huán)境（污染）模型，8.資源利用（人力資源、水資源、礦藏資源、運(yùn)輸調(diào)度、工業(yè)生產(chǎn)管理）模型，,9.生物（遺傳問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題、動(dòng)植物循環(huán)系統(tǒng)）模型，10.醫(yī)學(xué)（流行病、傳染病問題）模型，11.經(jīng)濟(jì)（商業(yè)銷售、財(cái)富分布、資本主義經(jīng)濟(jì)周期性危機(jī)）模型，12.戰(zhàn)爭（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)）模型等。(其中的連續(xù)模型適用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方程組建模。下面，我們給出如何利用方程知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型的幾種方法。),熟悉一些經(jīng)典的微分方程模型，對(duì)一些類似的問題，經(jīng)過稍加改進(jìn)或直接套用這些模型。,多年來，在各種領(lǐng)域里，人們已經(jīng)建立起了一些經(jīng)典的微分方程模型，熟悉這些模型對(duì)我們是十分有益的。我們將重點(diǎn)了解一些著名的、經(jīng)典的微分方程模型，例如：人口問題模型、傳染病模型、經(jīng)濟(jì)增長模型等。,問題的提出假設(shè)和定義模型的建立分析和求解結(jié)論和討論,人口預(yù)測和控制,1.問題的提出,人口問題是當(dāng)今世界上最令人關(guān)注的問題之一，一些發(fā)展中國家的人口出生率過高，越來越威脅著人類的正常生活，有些發(fā)達(dá)國家的自然增長率趨于零，甚至變?yōu)樨?fù)數(shù)，造成勞動(dòng)力緊缺，也是不容忽視的問題。另外，在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的推動(dòng)下，世界人口以空前的規(guī)模增長，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示：,可以看出，人口每增長十億的時(shí)間，由一百年縮短為十二三年。我們賴以生存的地球，已經(jīng)帶著它的60億子民踏入了21世紀(jì)。長期以來，人類的繁衍一直在自發(fā)地進(jìn)行著。只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關(guān)系，人口數(shù)量的變化規(guī)律，以及如何進(jìn)行人口控制等問題。,我國是世界第一人口大國，地球上每九個(gè)人中就有二個(gè)中國人，在20世紀(jì)的一段時(shí)間內(nèi)我國人口的增長速度過快，如下表：,有效地控制人口的增長，不僅是使我國全面進(jìn)入小康社會(huì)、到21世紀(jì)中葉建成富強(qiáng)民主文明的社會(huì)主義國家的需要，而且對(duì)于全人類社會(huì)的美好理想來說，也是我們義不容辭的責(zé)任。,認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長的前提，下面介紹兩個(gè)最基本的人口模型。,2.模型1(Malthus模型)18世紀(jì)末，英國人Malthus在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料后認(rèn)為，在人口自然增長的過程中，凈相對(duì)增長率（出生率減去死亡率為凈增長率）是常數(shù)。,返回,這個(gè)模型可以與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)很好地吻合，但是當(dāng)后來人們用它與19世紀(jì)的人口資料比較時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)了相當(dāng)大的差異。人們還發(fā)現(xiàn)，遷往加拿大的法國移民后代的人口比較符合指數(shù)增長模型。而同一血統(tǒng)的法國本土居民人口的增長卻與指數(shù)模型大相徑庭。,分析表明，以上這些現(xiàn)象的主要原因是隨著人口的增長，