高中數(shù)學(xué)必修2--第二章《直線與平面的位置關(guān)系》知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與練習(xí)

第三節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系知識(shí)能否憶起一、平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號(hào)表示公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)Al，Bl，且A，Bl公理2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P，且Pl，且Pl二、空間直線的位置關(guān)系1位置關(guān)系的分類2平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行3等角定理空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4異面直線所成的角(或夾角)(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(2)范圍：.三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)直線l在平面內(nèi)l無(wú)數(shù)個(gè)直線l與平面相交lA一個(gè)直線l與平面平行l(wèi)0個(gè)四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號(hào)表示公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)平面平行0個(gè)兩個(gè)平面相交l無(wú)數(shù)個(gè)(這些公共點(diǎn)均在交線l上)1.三個(gè)公理的作用(1)公理1的作用：檢驗(yàn)平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)(2)公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的條件(3)公理3的作用：判定兩平面相交；作兩相交平面的交線；證明多點(diǎn)共線2異面直線的有關(guān)問(wèn)題(1)判定方法：反證法；利用結(jié)論即過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線，如圖(2)所成的角的求法：平移法平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用典題導(dǎo)入例1(2012湘潭模擬)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為A1A的中點(diǎn)，求證：CE，D1F，DA三線共點(diǎn)自主解答EF綊CD1，直線D1F和CE必相交設(shè)D1FCEP，PD1F且D1F平面AA1D1D，P平面AA1D1D.又PEC且CE平面ABCD，P平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn)而平面ABCD平面AA1D1DAD.PAD.CE、D1F、DA三線共點(diǎn)本例條件不變?cè)囎C明E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面證明：E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.四邊形A1D1CB為平行四邊形A1BCD1，從而EFCD1.EF與CD1確定一個(gè)平面E，C1，F(xiàn)，D四點(diǎn)共面由題悟法1證明線共點(diǎn)問(wèn)題常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上2證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題一般有以下兩種途徑：首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余線(或點(diǎn))均在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合以題試法1(1)(2012江西模擬)在空間中，下列命題正確的是()A對(duì)邊相等的四邊形一定是平面圖形B四邊相等的四邊形一定是平面圖形C有一組對(duì)邊平行的四邊形一定是平面圖形D有一組對(duì)角相等的四邊形一定是平面圖形(2)對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號(hào))相對(duì)棱AB與CD所在直線異面；由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是BCD三條高線的交點(diǎn)；若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)解析：(1)由“兩平行直線確定一個(gè)平面”知C正確(2)由四面體的概念可知，AB與CD所在的直線為異面直線，故正確；由頂點(diǎn)A作四面體的高，只有當(dāng)四面體ABCD的對(duì)棱互相垂直時(shí)，其垂足是BCD的三條高線的交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；當(dāng)DADB，CACB時(shí)，這兩條高線共面，故錯(cuò)誤；設(shè)AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)依次為E，F(xiàn)，M，N，易證四邊形EFMN為平行四邊形，所以EM與FN相交于一點(diǎn)，易證另一組對(duì)棱中點(diǎn)的連線也過(guò)它們的交點(diǎn)，故正確答案：(1)C(2)異面直線的判定典題導(dǎo)入例2(2012金華模擬)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號(hào))自主解答圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH與MN異面所以圖中GH與MN異面答案由題悟法1異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到2客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線以題試法2已知m，n，l為不同的直線，為不同的平面，有下面四個(gè)命題：m，n為異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)P，一定能作一條直線l與m，n都相交m，n為異面直線，過(guò)空間任一點(diǎn)P，一定存在一個(gè)與直線m，n都平行的平面，l，m，n，m，n與l都斜交，則m與n一定不垂直；m，n是內(nèi)兩相交直線，則與相交的充要條件是m，n至少有一條與相交則四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選B錯(cuò)誤，因?yàn)檫^(guò)直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)且不在直線m上時(shí)，就不滿足結(jié)論；錯(cuò)誤，因?yàn)檫^(guò)直線m存在一個(gè)與直線n平行的平面，當(dāng)點(diǎn)P在這個(gè)平面內(nèi)時(shí)， 就不滿足結(jié)論；正確，否則，若mn，在直線m上取一點(diǎn)作直線al，由，得an.從而有n，則nl；正確異面直線所成角典題導(dǎo)入例3(2012大綱全國(guó)卷)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為_自主解答連接DF，則AEDF，D1FD即為異面直線AE與D1F所成的角設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則D1Da，DFa，D1Fa，cosD1FD.答案由題悟法求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下：(1)一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角以題試法3(2012唐山模擬)四棱錐PABCD的所有側(cè)棱長(zhǎng)都為，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為()A.B.C. D.解析：選B如圖所示，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，故CDAB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角PAB，在PAB內(nèi)，PBPA，AB2，利用余弦定理可知：cos PAB.小題能否全取1(教材習(xí)題改編)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A異面B相交C不可能平行 D不可能相交解析：選C由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab.與a，b是異面直線相矛盾2(2012東北三校聯(lián)考)下列命題正確的個(gè)數(shù)為()經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；梯形可以確定一個(gè)平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合A0 B1C2 D3解析：選C錯(cuò)誤，正確3已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()AABCDBAB與CD異面CAB與CD相交DABCD或AB與CD異面或AB與CD相交解析：選D若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線4(教材習(xí)題改編)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為_解析：連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C為所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.答案：605(教材習(xí)題改編)平行六面體ABCDA1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為_解析：如圖，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合條件的棱共有5條答案：5第四節(jié)直線、平面平行的判定及性質(zhì)知識(shí)能否憶起一、直線與平面平行1判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則直線與此平面平行 a2性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行 ab二、平面與平面平行1判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行 2兩平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行 ab1. 平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化關(guān)系：判定性質(zhì)2在解決線面、面面平行的判定時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在性質(zhì)定理的應(yīng)用中，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，決不可過(guò)于“模式化”3輔助線(面)是求證平行問(wèn)題的關(guān)鍵，注意平面幾何中位線，平行四邊形及相似中有關(guān)平行性質(zhì)的應(yīng)用線面平行、面面平行的基本問(wèn)題典題導(dǎo)入例1(2011福建高考)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上若EF平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于_自主解答因?yàn)橹本€EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC.又因?yàn)辄c(diǎn)E是DA的中點(diǎn)，所以F是DC的中點(diǎn)，由中位線定理可得EFAC.又因?yàn)樵谡襟wABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2.所以EF.答案本例條件變?yōu)椤癊是AD中點(diǎn)，F(xiàn)，G，H，N分別是AA1，A1D1，DD1與D1C1的中點(diǎn)，若M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)”，則M滿足什么條件時(shí)，有MN平面A1C1CA.解：如圖，GN平面AA1C1C，EG平面AA1C1C，又GN EGG，平面EGN平面AA1C1C.當(dāng)M在線段EG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有MN平面AA1C1C.由題悟法解決有關(guān)線面平行、面面平行的基本問(wèn)題要注意：(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的判定定理中條件線在面外易忽視(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷(3)舉反例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確以題試法1(1)(2012浙江高三調(diào)研)已知直線l平面，P，那么過(guò)點(diǎn)P且平行于直線l的直線()A只有一條，不在平面內(nèi)B有無(wú)數(shù)條，不一定在平面內(nèi)C只有一條，且在平面內(nèi)D有無(wú)數(shù)條，一定在平面內(nèi)解析：選C由直線l與點(diǎn)P可確定一個(gè)平面，且平面，有公共點(diǎn)，因此它們有一條公共直線，設(shè)該公共直線為m，因?yàn)閘，所以lm，故過(guò)點(diǎn)P且平行于直線l的直線只有一條，且在平面內(nèi)(2)(2012濰坊模擬)已知m，n，l1，l2表示直線，表示平面若m，n，l1，l2，l1l2M，則的一個(gè)充分條件是()Am且l1Bm且nCm且nl2 Dml1且nl2解析：選D由定理“如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行”可得，由選項(xiàng)D可推知.直線與平面平行的判定與性質(zhì)典題導(dǎo)入例2(2012遼寧高考)如圖，直三棱柱ABCABC，BAC90，ABAC，AA1，點(diǎn)M，N分別為AB和BC的中點(diǎn)(1)證明：MN平面AACC；(2)求三棱錐AMNC的體積(錐體體積公式VSh，其中S為底面面積，h為高)自主解答(1)證明：法一：連接AB、AC，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是AB和BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，因此MN平面AACC.法二：取AB的中點(diǎn)P.連接MP.而點(diǎn)M，N分別為AB與BC的中點(diǎn)，所以MPAA，PNAC.所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPPNP，因此平面MPN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.(2)法一：連接BN，由題意得ANBC，平面ABC平面BBCCBC，所以AN平面NBC.又ANBC1，故VAMNCVNAMCVNABCVANBC.法二：VAMNCVANBCVMNBCVANBC.由題悟法利用判定定理證明線面平行的關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線，可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒(méi)有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線以題試法2(2012淄博模擬)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BD，BB1的中點(diǎn)(1)求證：EF平面A1B1CD；(2)求證：EFAD1.解：(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中，連接B1D，在平面BB1D內(nèi)，E，F(xiàn)分別為BD，BB1的中點(diǎn)，EFB1D.又B1D平面A1B1CD.EF平面A1B1CD，EF平面A1B1CD.(2)ABCDA1B1C1D1是正方體，AD1A1D，AD1A1B1.又A1DA1B1A1，AD1平面A1B1D.AD1B1D.又由(1)知，EFB1D，EFAD1.平面與平面平行的判定與性質(zhì)典題導(dǎo)入例3如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，G在BB1上，且AEFC1B1G1，H是B1C1的中點(diǎn)(1)求證：E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面；(2)求證：平面A1GH平面BED1F.自主解答(1)在正方形AA1B1B中，AEB1G1，BGA1E2，BG綊A1E.四邊形A1GBE是平行四邊形A1GBE.又C1F綊B1G，四邊形C1FGB1是平行四邊形FG綊C1B1綊D1A1.四邊形A1GFD1是平行四邊形A1G綊D1F.D1F綊EB.故E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面(2)H是B1C1的中點(diǎn)，B1H.又B1G1，.又，且FCBGB1H90，B1HGCBF.B1GHCFBFBG.HGFB.GH面FBED1，F(xiàn)B面FBED1，GH面BED1F.由(1)知A1GBE，A1G面FBED1，BE面FBED1，A1G面BED1F.且HGA1GG，平面A1GH平面BED1F.由題悟法常用的判斷面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的傳遞性(，)；(3)利用線面垂直的性質(zhì)(l，l)以題試法3(2012北京東城二模)如圖，矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MBNC，MNMB.(1)求證：平面AMB平面DNC；(2)若MCCB，求證：BCAC.證明：(1)因?yàn)镸BNC，MB平面DNC，NC平面DNC，所以MB平面DNC.又因?yàn)樗倪呅蜛MND為矩形，所以MADN.又MA平面DNC，DN平面DNC.所以MA平面DNC.又MAMBM，且MA，MB平面AMB，所以平面AMB平面DNC.(2)因?yàn)樗倪呅蜛MND是矩形，所以AMMN.因?yàn)槠矫鍭MND平面MBCN，且平面AMND平面MBCNMN，所以AM平面MBCN.因?yàn)锽C平面MBCN，所以AMBC.因?yàn)镸CBC，MCAMM，所以BC平面AMC.因?yàn)锳C平面AMC，所以BCAC.小題能否全取1(教材習(xí)題改編)下列條件中，能作為兩平面平行的充分條件的是()A一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面B一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面C一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面D一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面解析：選D由面面平行的定義可知，一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個(gè)平面時(shí)，兩平面才能平行，故D正確2已知直線a，b，平面，則以下三個(gè)命題：若ab，b，則a；若ab，a，則b；若a，b，則ab.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A0B1C2 D3解析：選A對(duì)于命題，若ab，b，則應(yīng)有a或a，所以不正確；對(duì)于命題，若ab，a，則應(yīng)有b或b，因此也不正確；對(duì)于命題，若a，b，則應(yīng)有ab或a與b相交或a與b異面，因此也不正確3(教材習(xí)題改編)若一直線上有相異三個(gè)點(diǎn)A，B，C到平面的距離相等，那么直線l與平面的位置關(guān)系是()Al BlCl與相交且不垂直 Dl或l解析：選D由于l上有三個(gè)相異點(diǎn)到平面的距離相等，則l與可以平行，l時(shí)也成立4平面平面，a，b，則直線a，b的位置關(guān)系是_解析：由可知，a，b的位置關(guān)系是平行或異面答案：平行或異面5(2012衡陽(yáng)質(zhì)檢)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_解析：如圖連接AC，BD交于O點(diǎn)，連接OE，因?yàn)镺EBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.答案：平行第五節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)知識(shí)能否憶起一、直線與平面垂直1直線和平面垂直的定義直線l與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面互相垂直2直線與平面垂直的判定定理及推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 l推論如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面b3直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行ab二、平面與平面垂直1平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直2平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面 l1.在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：2在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線圖中不存在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決，如有平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理3幾個(gè)常用的結(jié)論：(1)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直(2)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直垂直關(guān)系的基本問(wèn)題典題導(dǎo)入例1(2012襄州模擬)若m，n為兩條不重合的直線，為兩個(gè)不重合的平面，給出下列命題：若m，n都平行于平面，則m，n一定不是相交直線；若m、n都垂直于平面，則m，n一定是平行直線；已知，互相垂直，m，n互相垂直，若m，則n；m，n在平面內(nèi)的射影互相垂直，則m，n互相垂直其中的假命題的序號(hào)是_自主解答顯然錯(cuò)誤，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面?nèi)的所有直線都平行，所以內(nèi)的兩條相交直線可同時(shí)平行于；正確；如圖1所示，若l，且nl，當(dāng)m時(shí)，mn，但n，所以錯(cuò)誤；如圖2顯然當(dāng)mn時(shí)，m不垂直于n，所以錯(cuò)誤答案由題悟法解決此類問(wèn)題常用的方法有：依據(jù)定理?xiàng)l件才能得出結(jié)論的，可結(jié)合符合題意的圖形作出判斷；否定命題時(shí)只需舉一個(gè)反例尋找恰當(dāng)?shù)奶厥饽Ｐ?如構(gòu)造長(zhǎng)方體)進(jìn)行篩選以題試法1(2012長(zhǎng)春模擬)設(shè)a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列四個(gè)命題：若ab，a，b，則b；若a，a，則；若a，則a或a；若ab，a，b，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選D對(duì)于，由b不在平面內(nèi)知，直線b或者平行于平面，或者與平面相交，若直線b與平面相交，則直線b與直線a不可能垂直，這與已知“ab”相矛盾，因此正確對(duì)于，由a知，在平面內(nèi)必存在直線a1a，又a，所以有a1，所以，正確對(duì)于，若直線a與平面相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作平面、的交線的垂線m，則m，又，則有am，這與“直線a、m有公共點(diǎn)A”相矛盾，因此正確對(duì)于，過(guò)空間一點(diǎn)O分別向平面、引垂線a1、b1，則有aa1，bb1，又ab，所以a1b1，所以，因此正確綜上所述，其中正確命題的個(gè)數(shù)為4.直線與平面垂直的判定與性質(zhì)典題導(dǎo)入例2(2012廣東高考)如圖所示，在四棱錐PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DFAB，PH為PAD中AD邊上的高(1)證明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，F(xiàn)C1，求三棱錐EBCF的體積；(3)證明：EF平面PAB.自主解答(1)證明：因?yàn)锳B平面PAD，PH平面PAD，所以PHAB.因?yàn)镻H為PAD中AD邊上的高，所以PHAD.因?yàn)镻H平面ABCD，ABADA，AB，AD平面ABCD，所以PH平面ABCD.(2)如圖，連接BH，取BH的中點(diǎn)G，連接EG.因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以EGPH，且EGPH.因?yàn)镻H平面ABCD，所以EG平面ABCD.因?yàn)锳B平面PAD，AD平面PAD，所以ABAD.所以底面ABCD為直角梯形所以VEBCFSBCFEGFCADEG.(3)證明：取PA中點(diǎn)M，連接MD，ME.因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以ME綊AB.又因?yàn)镈F綊AB，所以ME綊DF，所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EFMD.因?yàn)镻DAD，所以MDPA.因?yàn)锳B平面PAD，所以MDAB.因?yàn)镻AABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.由題悟法證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用判定定理的推論(ab，ab)(3)利用面面平行的性質(zhì)(a，a)(4)利用面面垂直的性質(zhì)當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面以題試法2(2012啟東模擬)如圖所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)(1)求證：MNCD；(2)若PDA45，求證：MN平面PCD.證明：(1)連接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N為PC中點(diǎn)，ANPC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAABA，BC平面PAB.BCPB.從而在RtPBC中，BN為斜邊PC上的中線，BNPC.ANBN.ABN為等腰三角形，又M為AB的中點(diǎn)，MNAB，又ABCD，MNCD.(2)連接PM，MC，PDA45，PAAD，APAD.四邊形ABCD為矩形，ADBC，APBC.又M為AB的中點(diǎn)，AMBM.而PAMCBM90，PAMCBM.PMCM.又N為PC的中點(diǎn)，MNPC.由(1)知，MNCD，PCCDC，MN平面PCD.面面垂直的判定與性質(zhì)典題導(dǎo)入例3(2012江蘇高考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且ADDE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)求證：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直線A1F平面ADE.自主解答(1)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC，又AD平面ABC，所以CC1AD.又因?yàn)锳DDE，CC1，DE平面BCC1B1，CC1DEE，所以AD平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE平面BCC1B1.(2)因?yàn)锳1B1A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)，所以A1FB1C1.因?yàn)镃C1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1A1F.又因?yàn)镃C1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1，所以A1F平面BCC1B1.由(1)知AD平面BCC1B1，所以A1FAD.又AD平面ADE，A1F平面ADE，所以A1F平面ADE.由題悟法1判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定義(2)面面垂直的判定定理(a，a)2在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直轉(zhuǎn)化方法：在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直以題試法3(2012瀘州一模)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，Q為AD的中點(diǎn)(1)若PAPD，求證：平面PQB平面PAD；(2)若點(diǎn)M在線段PC上，且PMtPC(t0)，試確定實(shí)數(shù)t的值，使得PA平面MQB.解：(1)因?yàn)镻APD，Q為AD的中點(diǎn)，所以PQAD.連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，BAD60，所以ABBD.所以BQAD.因?yàn)锽Q平面PQB，PQ平面PQB，BQPQQ，所以AD平面PQB.因?yàn)锳D平面PAD，所以平面PQB平面PAD.(2)當(dāng)t時(shí)，PA平面MQB.證明如下：連接AC，設(shè)ACBQO，連接OM.在AOQ與COB中，因?yàn)锳DBC，所以O(shè)QAOBC，OAQOCB.所以AOQCOB.所以.所以，即.由PMPC，知，所以，所以APOM.因?yàn)镺M平面MQB，PA平面MQB，所以PA平面MQB.小題能否全取1(教材習(xí)題改編)已知平面，直線l，若，l，則()A垂直于平面的平面一定平行于平面B垂直于直線l的直線一定垂直于平面C垂直于平面的平面一定平行于直線lD垂直于直線l的平面一定與平面、都垂直解析：選DA中平面可與平行或相交，不正確B中直線可與垂直或斜交，不正確C中平面可與直線l平行或相交，不正確2.(2012廈門模擬)如圖，O為正方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是()AA1DBAA1CA1D1 DA1C1解析：選D易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，A1C1B1O.3已知，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是()A若m，n，則mnB若m，mn，則nC若m，n，則mnD若，n，mn，則m解析：選C對(duì)于選項(xiàng)A，若m，n，則mn，或m，n是異面直線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，n可能在平面內(nèi)，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，m與的位置關(guān)系還可以是m，m，或m與斜交，所以D錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)可知C正確4.如圖，已知PA平面ABC，BCAC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_解析：由線面垂直知，圖中直角三角形為4個(gè)答案：45(教材習(xí)題改編)如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB.則下列命題正確的有_PAAD；平面ABC平面PBC；直線BC平面PAE；直線PD與平面ABC所成角為30.解析：由PA平面ABC，PAAD，故正確；中兩平面不垂直，中AD與平面PAE相交，BCAD，故不正確；中PD與平面ABC所成角為45.答案：高考真題（19）（2012安徽）如圖，長(zhǎng)方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn)。（）證明： ；（）如果=2,=,=, 求 的長(zhǎng).19.（）本題考察空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系判定，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力.（）證明：連接AC，A1B1. 由底面是正方形知，BDAC. 因?yàn)锳A1平面ABCD，BD平面ABCD,所以AA1BD. 又由AA1AC=A,所以BD平面AA1C1C. 再由EC1平面AA1C1C知，BDEC1. 第 （19）題圖（）解：設(shè)AA1的長(zhǎng)是h，連接OC1 . 在RtOAE中，AE=，AO= 故. 在RtEA1C1中，故. 在RtOCC1中,，.因?yàn)?，所以，即，解得，所以的長(zhǎng)為.（18）（2013安徽）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，.已知 .（）證明：（）若為的中點(diǎn)，求三菱錐的體積.【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn) 又是菱形 而 面 (2) 由（1）面 = 【考點(diǎn)定位】考查空間直線與直線，直線與平面的位置，.三棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，考查空間觀念，推理論證能力和運(yùn)算能力.（19）（2011安徽）如圖，為多面體，平面與平面垂直，點(diǎn)在線段上，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形。（）證明直線；（）求棱錐的體積.（19）（本小題滿分13分）本題考查空間直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，空間直線平行的證明，多面體體積的計(jì)算，考查空間想象能力，推理論證能力和運(yùn)算求解能力. （I）證明：設(shè)G是線段DA與EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn). 由于OAB與ODE都是正三角形，所以=，OG=OD=2，同理，設(shè)是線段DA與FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有又由于G和都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與重合.=在GED和GFD中，由=和OC，可知B和C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是GEF的中位線，故BCEF. （II）解：由OB=1，OE=2，而OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故所以過(guò)點(diǎn)F作FQDG，交DG于點(diǎn)Q，由平面ABED平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高，且FQ=，所以