高考數(shù)學高考合情推理題賞析蘇教

高考合情推理題的五個途徑例析合情推理包括歸納推理和類比推理，它作為一種重要推理的思維方式早已納入新課標版的選修教材之中，并且廣泛地應(yīng)用于數(shù)學的各個學科領(lǐng)域，也亦成為近幾年高考數(shù)學命題的熱點與靚點，為更好的理解并掌握合情推理的有效途徑，探討研究高考數(shù)學命題的規(guī)律，本文擬以近幾年涉及合情推理的部分高考試題為例，將蘊涵在高考試題中的合情推理的有效途徑與方法歸類解析如下，僅供參考： 一、歸納例1、已知，分別計算和值，由此概括出涉及函數(shù)和的對所有不等于零的實數(shù)都成立的一個等式，并加以證明。分析：先計算和的值，再歸納出一般結(jié)論進行證明：解：計算出；同理可以算得：，由這兩個特殊情形的結(jié)論，進一步觀察、猜想并類推，可以得出對所有不等于零的實數(shù)應(yīng)都有的結(jié)論：；其證明過程如下：因為，所以。點評：本題在解答的過程中運用了合情推理中的“由特殊到一般”的歸納推理，這種推理方式得到結(jié)論不一定是正確的，一般來說得到的結(jié)論一定要加以邏輯證明，解答好這類問題要有較高的抽象、概括能力。例2、將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，就得到一個如右圖所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形。從萊布尼茨三角形可以看出：，其中 ，令，則 。分析：先令中的求出的值，再歸納證明：解：令中的可得：，當時，則，即，故或2；當時，則，即，故，由此可歸納出：；由于，所以，由此可得：，令，則，并將以上個式兩邊相加得：，所以。點評：本題在解答時，先通過對取特殊值，探求出的值與的值的關(guān)系規(guī)律，進而歸納出，從而為下一步運用裂項相消求極限排除了障礙，解答過程中運用了合情推理中的“由一般到特殊，再由特殊到一般”的思維模式進行歸納推理，進而使本題獲解，解答好這類問題的關(guān)鍵是要有較高的抽象、概括能力。例3、在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個球，第2、3、4，一堆最底層（第一層）分別按圖2所示方式固定擺放，從第一層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用表示）。分析：先對等個別情形計算，再進行歸納證明：解：從所給的圖示可以看出：當時，；當時，；當時，這堆球就有三層，第3層有1個，第2層有3個，第1層應(yīng)有6個，因此共有個，即；當時，應(yīng)有，即；由此可歸納出第堆的乒乓球總數(shù)為：。點評：解答本題時，先通過計算得出時，乒乓球堆的總個數(shù)，然后以此特殊情形為基礎(chǔ)進行抽象、概括、類比、歸納，探求出一般情形乒乓球堆的總個數(shù)的規(guī)律關(guān)系式，解答過程中運用了合情推理中的“由特殊到一般”的思維模式進行歸納推理，從而使本題獲解，本題對抽象、概括、歸納、類比等推理能力的要求較高。二、升維例3、半徑為的圓的面積為周長，若將看作上的變量，則，式可用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)；對于半徑為的球，若將看作上的變量，請你寫出類似于的式子 ，式可用語言敘述為 。分析：可對函數(shù)中的次數(shù)進行升冪，再概括總結(jié)和歸納：解：由于球的體積公式為，將看作上的變量，則是關(guān)于的函數(shù)，因此對其求導(dǎo)數(shù)可得類似于的式子是，不難看出 恰好是球的面積函數(shù)，即，故可用語言敘述為：球體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的面積函數(shù)。點評：本題為類比推理題，解答時依據(jù)圓的面積函數(shù)與周長函數(shù)之間的關(guān)系，“升維”類比出球的體積函數(shù)與面積函數(shù)之間的關(guān)系，從而獲得問題的答案，解答好這類問題的關(guān)鍵要學會對同類問題進行聯(lián)想，從而有效推出結(jié)論。例4、在平面幾何里有勾股定理：“設(shè)的兩邊互相垂直，則?！蓖卣沟娇臻g類比平面幾何里的勾股定理研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐的三個側(cè)面兩兩互相垂直，則 ?！狈治觯嚎蓪⑵矫嫔系亩S空間上升到三維的立體空間進行推證：解：依據(jù)題設(shè)的提示應(yīng)有結(jié)論：。證明如下：如圖2，過作的垂線垂足為，連，則，因，而，則，所以，故應(yīng)填答案。點評：本題為類比推理題，解答時依據(jù)試題中的提示，將平面問題推廣到空間中，從而“升維”類比出關(guān)于三棱錐的一個結(jié)論，從而使問題獲解，解答好這類問題的關(guān)鍵要學會對同類問題進行聯(lián)想、類比，進而有效推理論證得出結(jié)論。三、橫向例5、在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立。分析：可將等差數(shù)列的情形推廣到等比數(shù)列的情形進行求解：解：等差數(shù)列與等比數(shù)列在橫向上有很多可比的性質(zhì)，類比上述等差數(shù)列，可得結(jié)論是：。推證過程是：在等差數(shù)列中，由得：，注意到，所以，即，又因，故 有=；若，同理可得：，由于等比數(shù)列與等差數(shù)列的差別在“積”與“和”，因此對等差數(shù)列的“和”橫向類比到等比數(shù)列的“積”可以得到：在等比數(shù)列中，若，應(yīng)有：，故填答案。點評：本題屬類比推理題，由于等差數(shù)列與等比數(shù)列在橫向上有很多可比的性質(zhì)，如等差數(shù)列的項之間（或結(jié)果）的加減運算與等比數(shù)列相應(yīng)的項之間（或結(jié)果）的乘除運算，等差數(shù)列中的“0”與等比數(shù)列中的“1”也具有可類比的對應(yīng)關(guān)系。例6、設(shè)分別是橢圓的左、右兩個焦點，(1)、若橢圓上點到兩點的距離之和等于，寫出橢圓的方程和焦點坐標；(2)、若是上述橢圓上一動點，求線段的中點的軌跡方程；(3)、已知橢圓具有性質(zhì)：若是上述橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，點是橢圓上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點的位置無關(guān)的定值，試寫出雙曲線具有類似特性的性質(zhì)并加以證明。分析：可將橢圓的問題結(jié)論推廣到雙曲線的情形中去論證：解：（1）、由橢圓的定義可得：，即，將及代入橢圓方程得：，即，故，則所求橢圓的方程為；其左、右兩個焦點的坐標分別為；（2）、設(shè)動點，則的中點坐標為，則，注意到點在已知橢圓上，所以。（3）、類似特性的性質(zhì)是：若是上述雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，點是雙曲線上任意一點，當直線的斜率都存在，并記為時，那么與之積是與點的位置無關(guān)的定值。證明過程如下：設(shè)點，則，其中，又設(shè)點的坐標為，則，注意到，點在雙曲線上，故，代入可得：，這就是說：與之積是與點的位置無關(guān)的定值。點評：本題屬類比、探究、推理題，解答時借助橢圓、雙曲線在橫向上也具有許多相似的性質(zhì)可以類比這一規(guī)律，大膽推測、探索，再用嚴格的邏輯證明驗證了結(jié)論的正確，從而使問題獲解，因此在解答與橢圓、雙曲線有關(guān)的問題時，學會從橫向上進行類比、聯(lián)想、猜測、探究，可能會獲得非常絕妙的效果。四、縱向例7、設(shè)函數(shù)的圖像與直線及軸所圍成的面積稱為函數(shù)在區(qū)間上的面積。已知函數(shù)在區(qū)間上的面積為，則函數(shù)在區(qū)間上的面積為 。函數(shù)在區(qū)間上的面積為 。分析：將要求解的問題從縱向角度進行分析求解：解：、如圖，解答時依據(jù)題設(shè)可知：當時，其面積為，故由函數(shù)圖像的對稱性可知函數(shù)在區(qū)間上的面積為，故應(yīng)填答案；、如圖2，作出函數(shù)的圖像，則所求圖形的面積應(yīng)為直線及所成的矩形的面積再加上，即，故應(yīng)填答案。點評：本題屬結(jié)論探索推理型試題，試題以三角函數(shù)為背景，規(guī)定了“面積”概念的內(nèi)涵，然后要求探求另外兩種圖形的面積，旨在考查學生的類比、探究、分析、比較、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想與方法及合情推理的能力，從問題的設(shè)置來看，對試題從縱向進行拓展，加大了試題的梯度與思維的層次性、探究性，從而達到了考查學生類比、分析、轉(zhuǎn)化及推理計算的能力之目的。例8、已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（1）如果函數(shù)的值域是，求；（2）研究函（常數(shù)）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3）對函數(shù)和（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論不必證明），并求函數(shù)（是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你研究得到的結(jié)論）。分析：可從函數(shù)的形式特征中縱向進行分析求解解：（1）因，故，即，則。（2）設(shè)，則，當時，即，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)；當時，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)；又因函數(shù)是偶函數(shù)，故同理可證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)。（3）因，故函數(shù)和推廣后的結(jié)論是：，當是奇數(shù)時，函數(shù)在區(qū)間及區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間及上是單調(diào)遞增函數(shù)；當是偶數(shù)時，函數(shù)在區(qū)間及區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間及上是單調(diào)遞增函數(shù)。又因函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當時，函數(shù)（當且僅當取等號），即函數(shù)在處取最小值；當或時，函數(shù)取最大值，即函數(shù)在或處取最大值。點評：本題在解答時，借助題設(shè)給出的特殊情形，即對函數(shù)的指數(shù)從1，2的特殊數(shù)值，向一般情形（任意正整數(shù)）的縱深進行推廣，從而達到了對觀察、類比、歸納、探究等能力進行了有效的考查。本題以函數(shù)的單調(diào)性、最值為載體，以考查能力為主線精心設(shè)置問題情境，解答時拾階而上，逐步深入，體現(xiàn)了高考以考查能力為宗旨的命題原則，是一道難得的好題。五、逆向例9、求出一個數(shù)學問題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關(guān)的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題。例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側(cè)棱長為3，求該四棱錐的體積”。求出體積后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為，求該四棱錐的側(cè)棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求該四棱錐的所有側(cè)面面積之和的最小值”。試給出問題“在平面直角坐標系中，求點到直線的距離”的一個有意義的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題。分析：可從問題的逆向進行分析求解：解：因為點到直線的距離為，所以有意義的“逆向”問題可以是：（1）求到直線的距離為2的點的軌跡方程；解：設(shè)點是所求軌跡上的任意一點，則依據(jù)點到直線距離公式可得：，即，故所求點的軌跡方程為。（2）若點到直線的距離為2，求直線的方程。解：由題設(shè)及點到直線的距離公式可得：，化簡整理得：，即或，又因，所以欲求直線的方程為或。意義不大的“逆向”問題可以是：（3）點是不是到直線的距離為2的一個點？解：因為，所以點是到直線的距離為2的一個點。（4）點是不是到直線的距離為2的一個點？解：因為，所以點不是到直線的距離為2的一個點。（5）點是不是到直線的距離為2的一個點？解：因為，所以點不是到直線的距離為2的一個點。點評：本題是一道