高考數(shù)學(xué)高考合情推理題賞析蘇教

高考合情推理題的五個(gè)途徑例析合情推理包括歸納推理和類(lèi)比推理，它作為一種重要推理的思維方式早已納入新課標(biāo)版的選修教材之中，并且廣泛地應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，也亦成為近幾年高考數(shù)學(xué)命題的熱點(diǎn)與靚點(diǎn)，為更好的理解并掌握合情推理的有效途徑，探討研究高考數(shù)學(xué)命題的規(guī)律，本文擬以近幾年涉及合情推理的部分高考試題為例，將蘊(yùn)涵在高考試題中的合情推理的有效途徑與方法歸類(lèi)解析如下，僅供參考： 一、歸納例1、已知，分別計(jì)算和值，由此概括出涉及函數(shù)和的對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)都成立的一個(gè)等式，并加以證明。分析：先計(jì)算和的值，再歸納出一般結(jié)論進(jìn)行證明：解：計(jì)算出；同理可以算得：，由這兩個(gè)特殊情形的結(jié)論，進(jìn)一步觀察、猜想并類(lèi)推，可以得出對(duì)所有不等于零的實(shí)數(shù)應(yīng)都有的結(jié)論：；其證明過(guò)程如下：因?yàn)?，所以。點(diǎn)評(píng)：本題在解答的過(guò)程中運(yùn)用了合情推理中的“由特殊到一般”的歸納推理，這種推理方式得到結(jié)論不一定是正確的，一般來(lái)說(shuō)得到的結(jié)論一定要加以邏輯證明，解答好這類(lèi)問(wèn)題要有較高的抽象、概括能力。例2、將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如右圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形。從萊布尼茨三角形可以看出：，其中 ，令，則 。分析：先令中的求出的值，再歸納證明：解：令中的可得：，當(dāng)時(shí)，則，即，故或2；當(dāng)時(shí)，則，即，故，由此可歸納出：；由于，所以，由此可得：，令，則，并將以上個(gè)式兩邊相加得：，所以。點(diǎn)評(píng)：本題在解答時(shí)，先通過(guò)對(duì)取特殊值，探求出的值與的值的關(guān)系規(guī)律，進(jìn)而歸納出，從而為下一步運(yùn)用裂項(xiàng)相消求極限排除了障礙，解答過(guò)程中運(yùn)用了合情推理中的“由一般到特殊，再由特殊到一般”的思維模式進(jìn)行歸納推理，進(jìn)而使本題獲解，解答好這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是要有較高的抽象、概括能力。例3、在德國(guó)不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場(chǎng)櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第一堆只有一層，就一個(gè)球，第2、3、4，一堆最底層（第一層）分別按圖2所示方式固定擺放，從第一層開(kāi)始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則 ； （答案用表示）。分析：先對(duì)等個(gè)別情形計(jì)算，再進(jìn)行歸納證明：解：從所給的圖示可以看出：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，這堆球就有三層，第3層有1個(gè)，第2層有3個(gè)，第1層應(yīng)有6個(gè)，因此共有個(gè)，即；當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，即；由此可歸納出第堆的乒乓球總數(shù)為：。點(diǎn)評(píng)：解答本題時(shí)，先通過(guò)計(jì)算得出時(shí)，乒乓球堆的總個(gè)數(shù)，然后以此特殊情形為基礎(chǔ)進(jìn)行抽象、概括、類(lèi)比、歸納，探求出一般情形乒乓球堆的總個(gè)數(shù)的規(guī)律關(guān)系式，解答過(guò)程中運(yùn)用了合情推理中的“由特殊到一般”的思維模式進(jìn)行歸納推理，從而使本題獲解，本題對(duì)抽象、概括、歸納、類(lèi)比等推理能力的要求較高。二、升維例3、半徑為的圓的面積為周長(zhǎng)，若將看作上的變量，則，式可用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)；對(duì)于半徑為的球，若將看作上的變量，請(qǐng)你寫(xiě)出類(lèi)似于的式子 ，式可用語(yǔ)言敘述為 。分析：可對(duì)函數(shù)中的次數(shù)進(jìn)行升冪，再概括總結(jié)和歸納：解：由于球的體積公式為，將看作上的變量，則是關(guān)于的函數(shù)，因此對(duì)其求導(dǎo)數(shù)可得類(lèi)似于的式子是，不難看出 恰好是球的面積函數(shù)，即，故可用語(yǔ)言敘述為：球體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的面積函數(shù)。點(diǎn)評(píng)：本題為類(lèi)比推理題，解答時(shí)依據(jù)圓的面積函數(shù)與周長(zhǎng)函數(shù)之間的關(guān)系，“升維”類(lèi)比出球的體積函數(shù)與面積函數(shù)之間的關(guān)系，從而獲得問(wèn)題的答案，解答好這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵要學(xué)會(huì)對(duì)同類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)想，從而有效推出結(jié)論。例4、在平面幾何里有勾股定理：“設(shè)的兩邊互相垂直，則。”拓展到空間類(lèi)比平面幾何里的勾股定理研究三棱錐的側(cè)面積與底面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩互相垂直，則 ?！狈治觯嚎蓪⑵矫嫔系亩S空間上升到三維的立體空間進(jìn)行推證：解：依據(jù)題設(shè)的提示應(yīng)有結(jié)論：。證明如下：如圖2，過(guò)作的垂線垂足為，連，則，因，而，則，所以，故應(yīng)填答案。點(diǎn)評(píng)：本題為類(lèi)比推理題，解答時(shí)依據(jù)試題中的提示，將平面問(wèn)題推廣到空間中，從而“升維”類(lèi)比出關(guān)于三棱錐的一個(gè)結(jié)論，從而使問(wèn)題獲解，解答好這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵要學(xué)會(huì)對(duì)同類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行聯(lián)想、類(lèi)比，進(jìn)而有效推理論證得出結(jié)論。三、橫向例5、在等差數(shù)列中，若，則有等式成立，類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列中，若，則有等式 成立。分析：可將等差數(shù)列的情形推廣到等比數(shù)列的情形進(jìn)行求解：解：等差數(shù)列與等比數(shù)列在橫向上有很多可比的性質(zhì)，類(lèi)比上述等差數(shù)列，可得結(jié)論是：。推證過(guò)程是：在等差數(shù)列中，由得：，注意到，所以，即，又因，故 有=；若，同理可得：，由于等比數(shù)列與等差數(shù)列的差別在“積”與“和”，因此對(duì)等差數(shù)列的“和”橫向類(lèi)比到等比數(shù)列的“積”可以得到：在等比數(shù)列中，若，應(yīng)有：，故填答案。點(diǎn)評(píng)：本題屬類(lèi)比推理題，由于等差數(shù)列與等比數(shù)列在橫向上有很多可比的性質(zhì)，如等差數(shù)列的項(xiàng)之間（或結(jié)果）的加減運(yùn)算與等比數(shù)列相應(yīng)的項(xiàng)之間（或結(jié)果）的乘除運(yùn)算，等差數(shù)列中的“0”與等比數(shù)列中的“1”也具有可類(lèi)比的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例6、設(shè)分別是橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，(1)、若橢圓上點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于，寫(xiě)出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)、若是上述橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)、已知橢圓具有性質(zhì)：若是上述橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的定值，試寫(xiě)出雙曲線具有類(lèi)似特性的性質(zhì)并加以證明。分析：可將橢圓的問(wèn)題結(jié)論推廣到雙曲線的情形中去論證：解：（1）、由橢圓的定義可得：，即，將及代入橢圓方程得：，即，故，則所求橢圓的方程為；其左、右兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；（2）、設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，注意到點(diǎn)在已知橢圓上，所以。（3）、類(lèi)似特性的性質(zhì)是：若是上述雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率都存在，并記為時(shí)，那么與之積是與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的定值。證明過(guò)程如下：設(shè)點(diǎn)，則，其中，又設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，注意到，點(diǎn)在雙曲線上，故，代入可得：，這就是說(shuō)：與之積是與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)的定值。點(diǎn)評(píng)：本題屬類(lèi)比、探究、推理題，解答時(shí)借助橢圓、雙曲線在橫向上也具有許多相似的性質(zhì)可以類(lèi)比這一規(guī)律，大膽推測(cè)、探索，再用嚴(yán)格的邏輯證明驗(yàn)證了結(jié)論的正確，從而使問(wèn)題獲解，因此在解答與橢圓、雙曲線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，學(xué)會(huì)從橫向上進(jìn)行類(lèi)比、聯(lián)想、猜測(cè)、探究，可能會(huì)獲得非常絕妙的效果。四、縱向例7、設(shè)函數(shù)的圖像與直線及軸所圍成的面積稱為函數(shù)在區(qū)間上的面積。已知函數(shù)在區(qū)間上的面積為，則函數(shù)在區(qū)間上的面積為 。函數(shù)在區(qū)間上的面積為 。分析：將要求解的問(wèn)題從縱向角度進(jìn)行分析求解：解：、如圖，解答時(shí)依據(jù)題設(shè)可知：當(dāng)時(shí)，其面積為，故由函數(shù)圖像的對(duì)稱性可知函數(shù)在區(qū)間上的面積為，故應(yīng)填答案；、如圖2，作出函數(shù)的圖像，則所求圖形的面積應(yīng)為直線及所成的矩形的面積再加上，即，故應(yīng)填答案。點(diǎn)評(píng)：本題屬結(jié)論探索推理型試題，試題以三角函數(shù)為背景，規(guī)定了“面積”概念的內(nèi)涵，然后要求探求另外兩種圖形的面積，旨在考查學(xué)生的類(lèi)比、探究、分析、比較、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想與方法及合情推理的能力，從問(wèn)題的設(shè)置來(lái)看，對(duì)試題從縱向進(jìn)行拓展，加大了試題的梯度與思維的層次性、探究性，從而達(dá)到了考查學(xué)生類(lèi)比、分析、轉(zhuǎn)化及推理計(jì)算的能力之目的。例8、已知函數(shù)有如下性質(zhì)：如果常數(shù)，那么函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)（1）如果函數(shù)的值域是，求；（2）研究函（常數(shù)）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（3）對(duì)函數(shù)和（常數(shù)）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例，研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫(xiě)出結(jié)論不必證明），并求函數(shù)（是正整數(shù)）在區(qū)間上的最大值和最小值（可利用你研究得到的結(jié)論）。分析：可從函數(shù)的形式特征中縱向進(jìn)行分析求解解：（1）因，故，即，則。（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，即，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)；又因函數(shù)是偶函數(shù)，故同理可證：函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)。（3）因，故函數(shù)和推廣后的結(jié)論是：，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間及區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間及上是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間及區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間及上是單調(diào)遞增函數(shù)。又因函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），即函數(shù)在處取最小值；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取最大值，即函數(shù)在或處取最大值。點(diǎn)評(píng)：本題在解答時(shí)，借助題設(shè)給出的特殊情形，即對(duì)函數(shù)的指數(shù)從1，2的特殊數(shù)值，向一般情形（任意正整數(shù)）的縱深進(jìn)行推廣，從而達(dá)到了對(duì)觀察、類(lèi)比、歸納、探究等能力進(jìn)行了有效的考查。本題以函數(shù)的單調(diào)性、最值為載體，以考查能力為主線精心設(shè)置問(wèn)題情境，解答時(shí)拾階而上，逐步深入，體現(xiàn)了高考以考查能力為宗旨的命題原則，是一道難得的好題。五、逆向例9、求出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的正確結(jié)論后，將其作為條件之一，提出與原來(lái)問(wèn)題有關(guān)的新問(wèn)題，我們把它稱為原來(lái)問(wèn)題的一個(gè)“逆向”問(wèn)題。例如，原來(lái)問(wèn)題是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求該四棱錐的體積”。求出體積后，它的一個(gè)“逆向”問(wèn)題可以是“若正四棱錐底面邊長(zhǎng)為4，體積為，求該四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)”；也可以是“若正四棱錐的體積為，求該四棱錐的所有側(cè)面面積之和的最小值”。試給出問(wèn)題“在平面直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)到直線的距離”的一個(gè)有意義的“逆向”問(wèn)題，并解答你所給出的“逆向”問(wèn)題。分析：可從問(wèn)題的逆向進(jìn)行分析求解：解：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以有意義的“逆向”問(wèn)題可以是：（1）求到直線的距離為2的點(diǎn)的軌跡方程；解：設(shè)點(diǎn)是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式可得：，即，故所求點(diǎn)的軌跡方程為。（2）若點(diǎn)到直線的距離為2，求直線的方程。解：由題設(shè)及點(diǎn)到直線的距離公式可得：，化簡(jiǎn)整理得：，即或，又因，所以欲求直線的方程為或。意義不大的“逆向”問(wèn)題可以是：（3）點(diǎn)是不是到直線的距離為2的一個(gè)點(diǎn)？解：因?yàn)?，所以點(diǎn)是到直線的距離為2的一個(gè)點(diǎn)。（4）點(diǎn)是不是到直線的距離為2的一個(gè)點(diǎn)？解：因?yàn)?，所以點(diǎn)不是到直線的距離為2的一個(gè)點(diǎn)。（5）點(diǎn)是不是到直線的距離為2的一個(gè)點(diǎn)？解：因?yàn)椋渣c(diǎn)不是到直線的距離為2的一個(gè)點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：本題是一道