江蘇省南京市六校聯(lián)合體學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題理 (1)

南京市六校聯(lián)合體高二期末試卷數(shù)學(xué)（理科） 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1. 設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的模_.【答案】【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的除法法則運算得到復(fù)數(shù)，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式進行求解即可詳解： 即答案為.點睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，以及復(fù)數(shù)模的計算，同時考查計算能力，屬基礎(chǔ)題2. 一根木棍長為5米，若將其任意鋸為兩段，則鋸成的兩段木棍的長度都大于2米的概率為_.【答案】【解析】分析：由題意可得，屬于與區(qū)間長度有關(guān)的幾何概率模型，試驗的全部區(qū)域長度為5，基本事件的區(qū)域長度為1，利用幾何概率公式可求詳解：“長為5的木棍”對應(yīng)區(qū)間 ，“兩段長都大于2”為事件 則滿足的區(qū)間為 ，根據(jù)幾何概率的計算公式可得， 故答案為：點睛：本題考查幾何概型，解答的關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題后應(yīng)用幾何概率的計算公式求解3. 命題“若，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的逆命題是_命題.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】分析：寫出命題“若，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的逆命題，判斷其真假.詳解：命題“若，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的逆命題為“若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則”，它是真命題.點睛：本題考查命題的真假的判斷，屬基礎(chǔ)題.4. 已知一組數(shù)據(jù)為2，3，4，5，6，則這組數(shù)據(jù)的方差為_.【答案】2【解析】分析：根據(jù)方差的計算公式，先算出數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后代入公式計算即可得到結(jié)果詳解：平均數(shù)為： 即答案為2.點睛：本題考查了方差的計算，解題的關(guān)鍵是方差的計算公式的識記它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立5. 將一顆骰子拋擲兩次，用表示向上點數(shù)之和，則的概率為_.【答案】【解析】分析：利用列舉法求出事件“”包含的基本事件個數(shù)，由此能出事件“”的概率詳解：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，用表示向上點數(shù)之和，則基本數(shù)值總數(shù)，事件“”包含的基本事件有：共6個，事件“”的概率即答案為.點睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用6. 用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取1個容量為45的樣本，其中高一年級抽20人，高三年級抽10人.已知該校高二年級共有學(xué)生300人，則該校學(xué)生總數(shù)為_.【答案】900【解析】試題分析：因為，抽取一個容量為45的樣本，其中高一年級抽取20人，高三年級抽取10人，所以，高二抽取了15人，又高二年級共有學(xué)生300人，所以，抽樣比為，因此，該校的高中學(xué)生的總?cè)藬?shù)為45=900.考點：本題主要考查分層抽樣。點評：簡單題，關(guān)鍵是弄清抽樣比=樣本數(shù)樣本總數(shù)。7. 函數(shù)在點處切線方程為，則=_.【答案】4【解析】分析：因為在點處的切線方程，所以 ，由此能求出詳解：因為在點處切線方程為，所以 從而即答案為4.點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化8. 若的展開式中所有二項式系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項是_.【答案】240【解析】分析：利用二項式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值，再利用二項展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項詳解：的展開式中所有二項式系數(shù)和為，則 ；則展開式的通項公式為 令，求得，可得展開式中的常數(shù)項是故答案為：240點睛：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題9. 根據(jù)如圖所示的偽代碼可知,輸出的結(jié)果為_.【答案】72【解析】分析：模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，可得當 時不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為72詳解：模擬程序的運行，可得 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， 滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， ；滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體， ；滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，；不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為72故答案為：72點睛：本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，當循環(huán)的次數(shù)不多或有規(guī)律時，常采用模擬執(zhí)行程序的方法解決，屬于基礎(chǔ)題10. 若，則=_.【答案】365【解析】分析：令 代入可知 的值，令 代入可求得的值，然后將兩式相加可求得的值詳解：中，令 代入可知 令代入可得，除以相加除以2可得.即答案為365.點睛：本題主要考查的是二項展開式各項系數(shù)和，充分利用賦值法是解題的關(guān)鍵11. 已知R，設(shè)命題P：；命題Q：函數(shù)只有一個零點.則使“PQ”為假命題的實數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】分析：通過討論，分別求出為真時的的范圍，根據(jù) 為假命題，則命題均為假命題，從而求出的范圍即可詳解：命題中，當時，符合題意當時， ，則 ，所以命題為真，則，命題中， 由 ，得 或，此時函數(shù)單調(diào)遞增，由，得，此時函數(shù)單調(diào)遞減即當時，函數(shù) 取得極大值，當時，函數(shù)取得極小值，要使函數(shù)只有一個零點，則滿足極大值小于0或極小值大于0，即極大值 ，解得 極小值 ，解得 綜上實數(shù)的取值范圍：或為假命題，則命題均為假命題 即或 ， 即答案為點睛：本題考查了復(fù)合命題的判斷及其運算，屬中檔題.12. 有編號分別為1，2，3，4，5的5個黑色小球和編號分別為1，2，3，4，5的5個白色小球，若選取的4個小球中既有1號球又有白色小球，則有_種不同的選法.【答案】136【解析】分析：分兩種情況：取出的4個小球中有1個是1 號白色小球；取出的4個小球中沒有1 號白色小球.詳解：由題，黑色小球和白色小球共10個，分兩種情況：取出的4個小球中有1個是1 號白色小球的選法有種；取出的4個小球中沒有1 號白色小球，則必有1號黑色小球，則滿足題意的選法有種，則滿足題意的選法共有種.即答案為136.點睛：本題考查分步計數(shù)原理、分類計數(shù)原理的應(yīng)用，注意要求取出的“4個小球中既有1號球又有白色小球”13. 觀察下列等式：請你歸納出一般性結(jié)論_.【答案】 【解析】分析：根據(jù)題意，觀察各式可得其規(guī)律，用將規(guī)律表示出來即可（，且為正整數(shù)）詳解：根據(jù)題意，觀察各式可得：第式中，；式中，第式中，；規(guī)律可表示為： 即答案為 .點睛：本題要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題14. 乒乓球比賽,三局二勝制.任一局甲勝的概率是,甲贏得比賽的概率是,則的最大值為_.【答案】【解析】分析：采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：甲凈勝二局，前二局甲一勝一負，第三局甲勝，由此能求出甲勝概率；進而求得的最大值.因為 與 互斥，所以甲勝概率為 則 設(shè) 即答案為.點睛：本題考查概率的求法和應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的合理運用二、解答題：本大題共6小題，共計90分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15. 在平面直角坐標系中，以為極點，為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是(為參數(shù))求直線被曲線截得的弦長.【答案】【解析】分析：首先求得直角坐標方程，然后求得圓心到直線的距離，最后利用弦長公式整理計算即可求得最終結(jié)果；詳解：利用加減消元法消去參數(shù)得曲線的直角坐標方程是，同時得到直線的普通方程是 ，圓心到直線的距離，則弦長為 直線被曲線截得的弦長為 點睛：本題考查了圓的弦長公式，極坐標方程、參數(shù)方程與直角坐標方程互化等，重點考查學(xué)生對基礎(chǔ)概念的理解和計算能力，屬于中等題16. 在棱長為的正方體中，O是AC的中點，E是線段D1O上一點，且D1EEO. （1）若=1，求異面直線DE與CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE平面CD1O，求的值.【答案】（1）（2）2【解析】分析：以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點的坐標，（1）求出異面直線 與1的方向向量用數(shù)量積公式兩線夾角的余弦值（或補角的余弦值）（2）求出兩個平面的法向量，由于兩個平面垂直，故它們的法向量的內(nèi)積為0，由此方程求參數(shù)的值即可詳解： (1)以為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系則A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E， 于是，.由cos.所以異面直線AE與CD1所成角的余弦值為. （2）設(shè)平面CD1O的向量為m=(x1，y1，z1)，由m0，m0得 取x11，得y1z11，即m=(1，1，1) . 8分由D1EEO，則E，=.10分又設(shè)平面CDE的法向量為n(x2，y2，z2)，由n0，n0.得 取x2=2，得z2，即n(2，0，) .12分因為平面CDE平面CD1F，所以mn0，得 點睛：本題查了異面直線所成的角以及兩個平面垂直的問題，本題采用向量法來研究線線，面面的問題，這是空間向量的一個重要運用，大大降低了求解立體幾何問題的難度17. 已知，（1）求的值;（2）若且，求的值;（3）求證：.【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】分析：（1）令，根據(jù)可求的值；（2）由，解得可求的值;（3）利用二項展開式及放縮法即可證明.：詳解：（1）令，則=0，又 所以（2）由，解得，所以 （3）點睛：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題18. 某拋擲骰子游戲中，規(guī)定游戲者可以有三次機會拋擲一顆骰子，若游戲者在前兩次拋擲中至少成功一次才可以進行第三次拋擲，其中拋擲骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戲規(guī)則如下：拋擲1枚骰子，第1次拋擲骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)則記為成功，第2次拋擲骰子向上的點數(shù)為3的倍數(shù)則記為成功，第3次拋擲骰子向上的點數(shù)為6則記為成功.用隨機變量表示該游戲者所得分數(shù).（1）求該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率;（2）求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（1）（2）見解析【解析】分析：該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、，該游戲者有機會拋擲第3次骰子為事件則；(2)由題意可知，的可能取值為、，分別求出，得到的分布列及數(shù)學(xué)期望詳解：該游戲者拋擲骰子成功的概率分別為、，該游戲者有機會拋擲第3次骰子為事件則；答：該游戲者有機會拋擲第3次骰子的概率為(2)由題意可知，的可能取值為、， ， ，所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望點睛：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式的合理運用19. 已知函數(shù)（1）若在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍;（2）若在處有極值10，求的值;（3）若對任意的，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）m（2）（3）m1 ，1【解析】分析：(1) 由在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)得，當 時， 恒成立，由此可求實數(shù)的取值范圍;（2），由題或，判斷當時，無極值，舍去，則可求；（3）對任意的，有恒成立，即在上最大值與最小值差的絕對值小于等于2求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類求出函數(shù)在的最值，則答案可求；詳解： (1) 由在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)得，當 時， 恒成立，即 恒成立，解得 （2），由題或 當時，無極值，舍去. 所以（3）由對任意的x1，x21，1，有| f(x1)f(x2)|2恒成立，得fmax(x)fmin(x)2且| f(1)f(0)|2，| f(1)f(0)|2，解得m1，1， 當m=0時，f(x)0，f(x)在1，1上單調(diào)遞增，fmax(x)fmin(x)= | f(1)f(1)|2成立 當m(0，1時，令f(x)0，得x(m，0)，則f(x)在(m，0)上單調(diào)遞減；同理f(x)在(1， m)，(0，1)上單調(diào)遞增，f(m)= m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比較這兩者的大小，令h(m)=f(m)f(1)= m3m1，m0，1，h(m)= m210，則h(m)在(0，1 上為減函數(shù)，h(m)h(0)=10，故f(m)f(1)，又f(1)= m1+m2m2=f(0)，僅當m=1時取等號.所以fmax(x)fmin(x)= f(1)f(1)=2成立 同理當m1 ，0)時，fmax(x)fmin(x)= f(1)f(1)=2成立 綜上得m1 ，1點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是難題20. 把圓分成個扇形，設(shè)用4種顏色給這些扇形染色，每個扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設(shè)共有種方法.(1)寫出，的值；(2)猜想 ，并用數(shù)學(xué)歸納法證明