大學物理復(fù)習提綱(趙近芳-數(shù)學學院)

第一章“運動學”題型一、分類：1.一般的運動方程、速度、加速度之間的關(guān)系2.圓周運動二、計算內(nèi)容1. 一般的運動方程、速度、加速度之間的關(guān)系知識地圖如下：2.圓周運動知識地圖如右：三、解題步驟聲明：解題其實就是清清楚楚地把題目做出來。只要滿足這個條件就行，并非只能按照一種方式來做。下面給出的只是比較有條理和清晰的一種路子，如果你嚴格照著做了，結(jié)果應(yīng)該不會錯得離譜（老師們還是見過步驟正確，但是簡單如四則運算依然要算錯的神人，扼腕之余只能表示嘆服），而且閱卷老師要給你們分也有比較充足的理由（至少卷子上的文字表明你很清楚正確的步驟）。當然，如果你覺得自己很清楚，而且也能夠在卷子上很清楚地表明“你自己很清楚”這件事情，那么只管走自己的路就是。但是切記：如果你心里很清楚，但是卷子上只寫寥寥幾個字，閱卷老師是斷然不能從這幾個字中看出來“你很清楚”這件事情的（那個需要超能力，貌似老師都木有）。特別是如果你寫的那幾個字還出了點錯，那就是你自己要跟自己過不去了。閱卷是“以卷面為依據(jù)”，和“以卷面為準繩”的。所以：能多寫些就多寫些，盡量寫清楚。1. 一般的運動方程、速度、加速度之間的關(guān)系理解已知條件，知道自己在地圖上起點在哪兒；理解求解目標，知道地圖上哪里是終點；然后在地圖中找路，從起點走到終點即可。如果按照地圖上從左至右的方向解題，那是灰常滴簡單你再犯錯，那就只能是“自作孽”了。如果方向是從右至左，則會涉及幾個問題：（1）利用積分鏈式法則的技巧（參見例題1）；（2）分離變量積分的技巧（這是你們這個學期常微里面最簡單的內(nèi)容，必須會的）；（3）定積分和不定積分的選擇問題（參見例題1）。2.圓周運動理解已知條件，知道自己在地圖上起點在哪兒；理解求解目標，知道地圖上哪里是終點；然后在地圖中找路，從起點走到終點即可。四、典型例題和習題1. 一般的運動方程、速度、加速度之間的關(guān)系【例題1】（教材習題1-5）解：從地圖上看，從位置到速度顯然行不通（因為不知道位置的函數(shù)表達式），那么就要考慮從加速度返回速度的路子。但是由于也不能直接對時間積分（速度表達式也未知），所以只有再尋他途?，F(xiàn)在起點是和，終點是。所以我們的路徑必須能夠從這兩點出發(fā)，連接到。從圖上看，很明顯，既要用到微分，又要用到積分。這個技巧就是第一步用鏈式法則（引入中間變量）引入微分：，第二步再使用“分離變量積分”來引入積分（這一招請參見本學期你們的常微教材相關(guān)部分）。先分離變量得然后積分。教材上使用不定積分的招數(shù)，最后通過初始條件來確定積分常數(shù)，是可行方法之一。另一種方法是根據(jù)定積分的定義，上面的積分可以做成定積分，積分一下得到一個隱函數(shù)的形式，這就是結(jié)果。另外，如果有人想直接求解這個方程，那也很好這應(yīng)該是認真學了常微課程之后看到問題的本能反應(yīng)，我表示很贊賞?！镜湫土曨}】地圖左右例題1-4、習題1-3【典型習題】地圖右左例題1-7、習題1-5、習題1-6。2.圓周運動【例題2】（教材習題1-8）解：這里不給出詳細求解過程。你只要順著地圖，從弧長出發(fā)，一路走下去，走到加速度的兩個分量就可以完成第（1）題。至于第（2）題，畫個圖就能算出來，我就不細說了。【典型習題】起點有可能是從弧長開始，也有可能是從角度開始，本質(zhì)上沒差別，照圖走就是。例題1-5、例題1-6、習題1-7、習題1-8第二章“動力學”題型一、分類：運用受力分析和各種守恒定理的綜合題。二、計算內(nèi)容綜合。三、解題步驟聲明：請參見第一章“聲明”部分。1.受力分析2.系統(tǒng)特性分析適用哪些守恒定理列出方程3.有可能要用到運動學分析（運動學和動力學通過牛二連接在一起）4.解上面得到的聯(lián)立方程。另外注意：（1）涉及能量的問題，使用“動能定理”或者“功能原理”之中的任何一種都可以把問題求解出來，用哪種看你的心情而定。而能不能用“機械能守恒定理”則要看是否滿足守恒的條件。一旦題目中設(shè)計摩擦力的，那么顯然機械能就不會守恒了。（1.1）動能定理解題菜單：1.明確研究對象，建立坐標系；2.根據(jù)最基本概念和定義，得到所有力的功并求和；3.動能增量；4.使用動能定理。*由于不考慮勢能，所以不用設(shè)定各種零勢能點。（1.2）功能原理解題菜單：1.明確系統(tǒng)組成（有重力勢能的，要包含地球、物體；有彈力勢能的，要包含彈簧、物體）；2.分清內(nèi)力和外力，分清保守力和非保守力；3.所有外力的功；4.所有非保守內(nèi)力（我們目前只可能是摩擦力）的功；5.使用功能原理。（2）使用勢能解題時注意：1.設(shè)定坐標系（包含坐標原點、軸向）2.設(shè)定勢能零點（注意：坐標原點和勢能零點是不同的，要分別設(shè)定。而且：有幾種勢能，就要設(shè)幾個勢能零點）。3.計算，使用我們的公式：四、典型例題和習題【例題1】質(zhì)量m = 100 g的小球被系在長度l = 50.0 cm繩子的一端，繩子的另一端固定在點o，如圖所示。若將小球拉到p處，繩子正好呈水平狀，然后將小球釋放。求小球運動到繩子與水平方向成q = 60的點q時，小球的速率v、繩子的張力t和小球從p到q的過程中重力所作的功W。解：（1）求小球的速率（2）求繩子的張力（3）太簡單，我就不講了?！玖曨}】動量和沖量：例題2-4、例題2-5、例題2-7、習題2-6功和能：例題2-7、例題2-8、例題2-9、習題2-8、習題2-9角動量：例題2-11第五章“靜電場”題型一、按照帶電體分類：二、計算內(nèi)容三、解題步驟聲明：請參見第一章“聲明”部分。（一）求帶電體電場分布的解題步驟1.基本帶電體電場分布解題步驟（1）場強方向分析（微元法or記憶）和等E面分析（微元法or記憶），記得要表達清楚（要設(shè)坐標系的話，也講一下怎么設(shè)定）；（2）充分使用等E面構(gòu)造一個閉合的高斯面（根據(jù)電荷分布情況，決定是否需要分區(qū)）（a）“點系”直接使用球面形高斯面；（b）“線系”、“面系”等E面不封閉的，用等E面加上和場強平行的簡單平面來“封口”；（3）計算高斯定理公式的右邊（根據(jù)電荷分布情況，如果需要分區(qū)就分區(qū)計算）；（4）計算高斯定理公式的左邊（即高斯面上的電場通量），切記計算會非常簡單（作為數(shù)學專業(yè)的學生，你有義務(wù)理解結(jié)果是怎么來的）；（5）從高斯定理得到場強大?。ǜ鶕?jù)電荷分布情況，如果需要分區(qū)就要分區(qū)給出結(jié)果）。2.復(fù)合帶電體電場分布解題步驟方法一（推薦）：（1）先得到每個基本帶電體（總共7種）單獨存在時候的空間電場強度分布。這個可以直接給出來，或者想從頭求一遍都行，看你的心情而定。（2）指出：根據(jù)電場的疊加原理，總電場等于“每個帶電體單獨存在時候的電場強度”的矢量和（這是必需的）。（3）最后實際計算出矢量和來（建議畫圖，看著分一分區(qū)域，然后認真算一下。雖然極為簡單，但是每次都有一批人做錯，讓廣大閱卷教師對這批神人敬佩不已）。方法二（這種路子算起來，容易失誤的地方相對多一點）：使用和1中所述一樣的方法來做即可。（二）求帶電體電勢分布的解題步驟（1）如果電場強度未知，則使用（一）中所述合適的方法算出任意P點的電場強度；如果已知，則直接使用；（2）選取合適的電勢零點：（a）如果帶電體只占據(jù)有限的空間，則選擇無窮遠點為電勢零點；（b）如果帶電體占據(jù)無限的空間，則選擇一有限遠點為電勢零點；（3）選取合適的路徑，計算下列積分得到P點的電勢： 注意：（a）“捷徑”就是最容易計算積分的路徑，你可自行選擇； （b）如果電場強度有分區(qū)，那么電勢也要分段計算。（4）如果要求的是兩點之間的電勢差，可選兩種方法之一：（a）用（3）的方法先求分別出兩點的電勢，再求兩電勢之差；（b）使用兩點電勢差的計算公式：直接計算。從成本上說，如果僅僅是計算電勢差的話，用方法（b）更劃算一些。四、典型例題和習題（一）基本帶電體1.求基本帶電體的電場分布（具體參見表1）。2.在1的基礎(chǔ)上，求空間任意點的電勢（或者求空間任意兩點的電勢差）?！纠}1】求均勻帶電球體（半徑R，帶電）的空間電場分布，電勢分布。解：下面是嚴格按照前面解題步驟來計算的過程。（1）空間電場分布：建立球坐標系（原點在帶電球體球心處），則我們要求的是空間任意一點P處的電場強度，設(shè)P點距離原點為。場強方向沿球坐標系的徑向向外。根據(jù)電荷分布，空間分為和。構(gòu)造一個過P點（半徑為）的同心球面作為高斯面（關(guān)于高斯面的構(gòu)造是關(guān)鍵點之一）。高斯面上處處電場強度大小相等，且處處場強方向和球面面元垂直。先討論高斯面內(nèi)所圍的電荷為高斯面上電場通量為根據(jù)高斯定理易得：。如果要寫成矢量式也可以，為：下面討論，此地略去過程（諸位考場上可不能偷懶），僅寫出結(jié)果：。矢量式為：。（2）空間電勢分布：即我們要求空間任意一點P處的電勢。電場分布已經(jīng)由（1）求得。電勢零點：設(shè)為無窮遠點（最基本要點，不能少）。選擇球坐標系的徑向為路徑，計算積分的值，即可得P點電勢。電場分布存在分區(qū)問題，所以電勢也要分區(qū)計算。類似過程，略去細節(jié)（你們自己補上）【習題】其它基本帶電體的電場分布（參見表1）（二）復(fù)合帶電體1.求復(fù)合帶電體的電場分布。2.在1的基礎(chǔ)上，求空間任意點的電勢（或者求空間任意兩點的電勢差，一般復(fù)合帶電體大多求電勢差）。【例題2】求由一無限長均勻帶電薄圓筒（半徑，單位長度帶電）和一同軸無限長均勻帶電薄圓筒（半徑，單位長度帶電）形成的復(fù)合帶電體形成的空間電場分布和兩筒之間的電勢差。解：（1）求電場分布。使用方法一。建立柱坐標系，z軸就是沿著筒的軸線。查表得下列結(jié)果：小筒的空間電場分布為：大筒的空間電場分布為：根據(jù)電場的疊加原理，總電場等于“每個帶電體單獨存在時候的電場強度”的矢量和（這話一定要說）。那么復(fù)合帶電體的空間電場分布為（雖然很簡單，依然請各位畫個圖，看清楚再寫出來）：（2）求電勢差目標是求小筒和大筒之間的電勢差。這個時候我們直接使用電勢差的公式來計算是最劃算的（因為不用再去設(shè)電勢零點，也不用再去求線和筒子的電勢分別是多少，省很多力）。當然，你要明白的是：整個小筒上各處電勢是相同的，而整個大筒上的電勢也是相同的（不知道原因的人，回去面壁）。因此，要求電勢差的時候，可以在一個垂直于z軸的平面內(nèi)，沿徑向進行如下的計算：這就是電勢差。【習題】參見本章之“一、按帶電體分類”中復(fù)合帶電體部分所列情形。表1：基本帶電體的電場分析目標：求出任意給定點P處的電場強度E（矢量）。帶電體形狀 1任意點場強方向2等E面形狀3P點場強方向和該處等E面幾何關(guān)系高斯面4高斯面上電場通量5高斯面內(nèi)電荷代數(shù)和6（僅是大?。ㄊ噶勘磉_式，表示所選的單位矢量，請自行搞清楚其方向）點電荷（電量Q）（球坐標系中的）徑向同心球面垂直同心球面，半徑均勻帶電薄球殼（電量Q）（球坐標系中的）徑向同心球面垂直同心球面，半徑均勻帶電球體（電量Q）7（球坐標系中的）徑向同心球面垂直同心球面，半徑無限長均勻帶電細線（線電荷密度）（柱坐標系中的）徑向同軸柱面垂直同軸柱面（半徑，長度）+頂+底=“罐頭筒”無限長均勻帶電薄圓筒（單位長度帶電）7（柱坐標系中的）徑向同軸柱面垂直同軸柱面（半徑，長度）+頂+底=“罐頭筒”無限長均勻帶電圓柱（單位長度帶電）7（柱坐標系中的）徑向同軸柱面垂直同軸柱面（半徑，長度）+頂+底=“罐頭筒”無限大均勻帶電薄平面（面電荷密度）垂直于帶電平面平行平面垂直“任意頂面形狀（頂/底面積）的盒子（頂+底+側(cè)面）”注：1對于“點系”，建立球坐標系，原點就在那個“點”上；對于“線系”，建立柱坐標系，Z軸就沿著那條“線”；“面系”，建立平面直角坐標系，XY平面就在“面”上。2任意點處電場E的方向，在表中第二列描述之外，還要根據(jù)電荷的電性來決定最終的方向：如果是正電荷，則帶電體發(fā)出電場線，反之帶電體接收電場線。比如，帶正電的“點系”，則電場方向沿球坐標系的徑向向外（反之，帶負電的則電場方向沿徑向向內(nèi)）。而最后兩列的公式中電量或者電荷密度是代數(shù)值，已經(jīng)包含了正負電性的信息。3這一欄的“同心”或者“同軸”指的是和設(shè)定的坐標系同心或者同軸（Z軸）。4（1）充分利用等E面建立高斯面：如果等E面是封閉的，則直接用過P點的等E面作為高斯面即可；如果等E面不封閉，則使用過P點的等E面加上垂直于電場的平面形成封閉的高斯面。（2）切記：我們的目標是求一個任意P點的電場強度矢量，方向可以用疊加原理搞清楚，大小就用高斯定理來對付了。設(shè)P點的坐標是（請勿將這個和帶電體半徑參數(shù)混起來這是作業(yè)和考試中常見的錯誤動作），我們設(shè)定的高斯面就是一個通過P點的封閉曲面。5由于所設(shè)定高斯面的特殊幾何性質(zhì)，在高斯面上的通量非常容易計算。表中僅給出最后結(jié)果，但請自行弄清楚來龍去脈。6這一步需要考慮是否該分區(qū)關(guān)鍵是根據(jù)電荷分布來決定。7這些情況，如果已知條件換成電荷密度（比如體密度或者面密度），也要會做。第六章“穩(wěn)恒磁場”題型一、按照載流導(dǎo)體分類：二、計算內(nèi)容三、解題步驟聲明：請參見第一章“聲明”部分。1.磁感應(yīng)強度方向分析（微元法or記憶）和等B線分析（微元法or記憶）。2.充分使用等B線構(gòu)造一個閉合的安培環(huán)路（必須指明繞行方向）：（1）“線系”-直接使用圓形安培環(huán)路；（2）長直螺線管，螺繞環(huán)：參見教材（P166）；（3）無限大載流平面：參見后面例題2。3.計算安培環(huán)路定理公式的右邊（注意環(huán)路繞行方向和電流方向滿足“右手關(guān)系”的電流值是正的，反之的則是負的）。4.計算安培環(huán)路定理的左邊，切記計算會非常簡單。5.從安培環(huán)路定理得到最后結(jié)果。四、典型例題和習題求導(dǎo)體中電流在空間激發(fā)的磁場的磁感應(yīng)強度分布（具體參見表2）?！纠}1】求無限長載流直導(dǎo)體圓筒在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的空間分布（電流為I，半徑為R）。解：下面是嚴格按照求解步驟來計算的過程。磁感線在垂直于圓筒的平面上是與圓筒的截面同心的圓周，方向與電流成右手螺旋的關(guān)系，這些圓周也是等B線。空間任意一點P處的磁感應(yīng)強度方向，就是過這一點的磁感線的切線方向（與電流成右手螺旋關(guān)系的那一邊）。直接以過P點的等B線（封閉圓周）為安培環(huán)路，繞行方向和電流I的方向成右手螺旋關(guān)系。根據(jù)電流分布可知，需要分區(qū)討論安培環(huán)路定理的兩邊：先討論安培環(huán)路內(nèi)所圍電流為零，所以安培環(huán)路定理公式右邊。沿著環(huán)路的積分為：根據(jù)安培環(huán)路定理易得。再討論安培環(huán)路內(nèi)所圍電流為I，所以安培環(huán)路定理公式右邊。沿著環(huán)路的積分為：根據(jù)安培環(huán)路定理易得。【例題2】求無限大均勻?qū)w平面在空間產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的分布（平面上垂直于電流方向單位寬度中流過電流為）。解：類上。無限大平面磁感線平行于導(dǎo)電平面，方向和電流成右手螺旋關(guān)系，如右圖所示（注意在左半邊和右半邊空間中的磁感應(yīng)強度方向是相反的）?？臻g任意一點處的磁感強度的方向就是磁感線的方向。在和電流垂直的平面內(nèi)作如圖通過點的矩形，其中水平邊長為，鉛直邊長為。設(shè)定環(huán)路繞行方向為逆時針向（此方向和電流方向成右手螺旋關(guān)系）?？臻g無需分區(qū)。P安培環(huán)路圈入的總電流為，安培環(huán)路定理右邊，安