暑假三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)蘇教

暑假專題 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)一. 本周教學(xué)內(nèi)容：暑假專題三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)二、本周教學(xué)目標(biāo)：（1）會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)y=sinx，正切函數(shù)y=tanx的圖象，并在此基礎(chǔ)上根據(jù)誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)y=cosx的圖象；理解周期函數(shù)的定義。并通過它們的圖象理解并掌握正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx的性質(zhì)。（2）會用“五點法”畫出正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx、函數(shù)y=Asin（x+）的簡圖，并理解A、的物理意義。（3）會根據(jù)y=sinx的基本性質(zhì)，討論y=Asin（x+）的性質(zhì)。三、本周知識要點：（一）知識系統(tǒng)及其結(jié)構(gòu)：（二）基本概念及相關(guān)知識點：1、三角函數(shù)線：設(shè)單位圓圓心在原點，和橫坐標(biāo)的正方向OX交于A點，與角的終邊交于P點，從P點作OX的垂線MP，垂足為M。sinMP（正弦線），cosOM（余弦線），tanAT（正切線）。有向線段MP，OM，AT，統(tǒng)稱三角函數(shù)線。2、三角函數(shù)圖象的作法：（1）幾何法：利用單位圓中的三角函數(shù)線，作出各三角函數(shù)的圖象，以正弦函數(shù)為例，具體作法如下：在直角坐標(biāo)系的x軸上任取一點O1，以O(shè)1為圓心作單位圓，從這個圓與x軸的交點A起把圓分成12等份。過圓上的各分點作x軸的垂線，可以得到對應(yīng)于角0，2的正弦線。相應(yīng)地，再把x軸上從到2這一段（26.28）分成12等份把角x的正弦線向右平移，使得正弦線的起點在x軸上，再用光滑曲線把這些正弦線的終點連結(jié)起來，就得到了正弦函數(shù)ysinx（x0，2）的圖象。（2）描點法及其特例五點作圖法三角函數(shù)的圖象亦可用通常作函數(shù)圖象的描點法作出。對于正弦函數(shù)及余弦函數(shù)可用五點法作出簡圖。（3）利用圖象變換作三角函數(shù)圖象。三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等。由ysinx的圖象上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A1）或縮短（當(dāng)0A1到原來的A（A0且A1）倍，得到y(tǒng)sinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換。由ysinx的圖象上的點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長（01或縮短（1）到原來的（0且1）倍，得到y(tǒng)sinx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換。由ysinx的圖象上所有的點向左（當(dāng)0）或向右（當(dāng)0平行移動個單位，得到y(tǒng)sin（x）的圖象，叫做相應(yīng)變換或叫做沿x軸方向的平移。由ysinx的圖象上所有的點向上（當(dāng)b0）或向下（當(dāng)b0平行移動b個單位，得到y(tǒng)sinxb的圖象叫做沿y軸方向的平移。由ysinx的圖象變換到y(tǒng)Asinx（x）的圖象，需要同時運用振幅變換、周期變換及相位變換，將由專門條目介紹。3、三角函數(shù)的圖象：三角函數(shù)的圖象從“形”的側(cè)面反映了三角函數(shù)隨自變量x變化而變化的規(guī)律，使抽象的三角函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖象。ysinxycosxytanx4、正弦函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）定義域是實數(shù)集R，記作ysinx，xR（2）值域是1，1，當(dāng)且僅當(dāng)x2k，kZ時取得最大值1，當(dāng)且僅當(dāng)x= 2k，kZ時取得最小值1；（3）周期性：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k（kZ，且k0）是它的周期，最小正周期是2；（4）奇偶性：正弦函數(shù)是奇函數(shù)；（5）單調(diào)性：正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間2k，2k（kZ）上都是增函數(shù)，其值從1增大到1；在每一個閉區(qū)間2k，2k（kZ）上都是減函數(shù)，其值從1減小到1。5、余弦函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）定義域是實數(shù)集R，記作ycosx，xR；（2）值域是1，1，當(dāng)且僅當(dāng)x2k，kZ時取得最大值，當(dāng)且僅當(dāng)x（2k+1），kZ時取得最小值1；（3）余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k（kZ，且k0）是它的周期，最小正周期是2；（4）奇偶性：余弦函數(shù)是偶函數(shù) （5）單調(diào)性：余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間（2k1），2k（kZ）上都是增函數(shù)，其值從1增加到1；在每一個閉區(qū)間2k，（2k1）（kZ）上都是減函數(shù)，其值從1減小到1。6、正切函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）定義域是x|x+k，kZ（2）值域是實數(shù)集R（3）周期性：正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是（4）奇偶性：正切函數(shù)是奇函數(shù)（5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間（k，k），kZ內(nèi)都是增函數(shù)。補(bǔ)充：正弦函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，每一條直線都是正弦曲線的一條對稱軸；每一個點（k，0）都是正弦曲線的一個對稱中心。余弦函數(shù)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，每一條直線都是余弦曲線的一條對稱軸；每一個點都是余弦曲線的一個對稱中心。7、周期函數(shù)：對于函數(shù)yf（x），如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一值時，f（xT）f（x）都成立，那么就把函數(shù)yf（x）叫做周期函數(shù)。非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期周期函數(shù)的周期不只一個，若T是周期，則2T，3T，T，都是周期，如果所有周期中存在一個最小正數(shù)，這個最小正數(shù)，叫做函數(shù)f（x）的最小正周期。8、函數(shù)yAsin（x）的圖象：當(dāng)函數(shù)yAsin（x）（A0，0），x0，表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做振動的振幅；往往振動一次所需要的時間T，叫做振動的周期；單位時間內(nèi)往復(fù)振動的次數(shù)f，叫做振動的頻率；x叫做相位，叫做初相（即當(dāng)x0時的相位）。一般地，函數(shù)yAsin（x）（A0，0）（xR）的圖象可以看作用下面的方法得到：先把ysinx的圖象上的所有的點向左（0）或向右（0）平移個單位，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短（1）或伸長（01）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點的縱坐標(biāo)伸長（A1）或縮短（0A1到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）。若是先壓縮后平移，此時平移的量為個單位。說明：三角函數(shù)的圖象的掌握體現(xiàn)在：把握圖象的主要特征（頂點、零點、中心、對稱軸、單調(diào)性、漸近線等）；應(yīng)當(dāng)熟練掌握用“五點法”作圖的基本原理以及快速、準(zhǔn)確地作圖。【典型例題】例1. 利用單位圓中的三角函數(shù)線證明：當(dāng)時，。證明：任取，分別作出角x的正弦線CD及正切線AT。（見圖01）根據(jù)SOADS扇形OADSOAT，即：，化簡整理即得：。圖01圖02引伸：時，的幾何意義是：函數(shù)y = sin x的圖象位于直線y = x的下方。（見圖02）。依據(jù)圖形的對稱性，我們不難得到：當(dāng)時，y = sin x的圖象位于直線：y = x的下方。例2. 求函數(shù) xR的單調(diào)遞增區(qū)間。解：令，函數(shù)y =2 sin t的單調(diào)遞增區(qū)間是函數(shù)y = sin t的單調(diào)遞減區(qū)間。由，即，解得：所求的單調(diào)遞增區(qū)間是 。例3. 選擇題要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)y = 3 sin2 x的圖象（ ）A. 沿x軸向左平移單位 B. 沿x軸向右平移單位C. 沿x軸向左平移單位 D. 沿x軸向右平移單位分析：我們知道，當(dāng)a0時，把函數(shù)y = f （x）的圖象沿x軸向右移a個單位，便得到函數(shù)y = f （xa）的圖象，把函數(shù)f （x）的圖象沿x軸向左平移a個單位，便得到函數(shù)y = f （xa）的圖象。本題中與y = 3 sin 2x的對應(yīng)法則不同，應(yīng)當(dāng)把它們變?yōu)椤皔 = f （x）與y = f （xa）”的形式后，再討論平移關(guān)系。因為我們關(guān)心的是對函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象平移，所以要把變形，變到y(tǒng) = 3 sin （2x）的形式。由正弦曲線和余弦曲線的關(guān)系，不難看出，把余弦曲線沿x軸向右平移，就得到正弦曲線，即是（這與誘導(dǎo)公式的結(jié)論是一致的）。利用這個關(guān)系，可以得到： 問題成為：把函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象沿x軸進(jìn)行怎樣的平移，可以得到函數(shù) 的圖象？如果y = 3 sin 2x = f （x），那么?？梢?，把函數(shù)y = 3 sin 2x的圖象向左移個單位后，可得到函數(shù)的圖象，即得到函數(shù)的圖象，因此選A?！灸M試題】一、選擇題：1. 四個函數(shù) y = sin x， y =cos x， y = tan x， y = cot x中，在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)的有（ ） A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個2. 將函數(shù)y = sin x的圖象向左平移個單位，再把（平移后的）的圖象上每個點的橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象的函數(shù)解析式為（ ）A. B. C. D. 3. 函數(shù)的一個增區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 二、填空題：4. 函數(shù)是最小正周期為 的函數(shù)。5. 在ABC中，如果tan A tan B1，則ABC的形狀是 。三、解答題：6. 設(shè)函數(shù)f （x） = 3m cos x的值域為2，8，如果tan m0，求實數(shù)m的值。7. 求函數(shù)的定義域。8. 設(shè)函數(shù)f （x） = sin （x） （），給出以下四個論斷： 它的圖象關(guān)于直線對稱； 它的圖象關(guān)于點對稱； 它的周期是； 它在區(qū)間上是增函數(shù)。以其中的兩個論斷作為條件，余下的兩個論斷作為結(jié)論，寫出正確的兩個命題，并對其中的一個命題加以證明。參考答案http:/www.DearEDU.com一、選擇題1.