不等式教材分析與教學(xué)建議(推薦)

“不等式”教材分析與教學(xué)建議一、教材分析1.地位與作用 “相等”與“不等”是現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量之間的兩種基本關(guān)系，就像等式表達(dá)的是相等關(guān)系一樣， 不等式是表達(dá)不等關(guān)系的一種數(shù)學(xué)表示形式。不等式作為本章的第一單元， 是在學(xué)習(xí)了等式性質(zhì)、一元一次方程和二元一次方程組之后， 學(xué)生已初步建立用等式和方程刻畫相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，展開對不等式的學(xué)習(xí)。體會不等式是研究不等關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型， 可以更好地認(rèn)識事物運(yùn)動變化的規(guī)律。 在研究不等問題的過程中繞不開與相等關(guān)系的類比， 類比既是一種數(shù)學(xué)思想， 用它可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)， 也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常用的研究問題的方法。本章第一單元“不等式”，從知識的角度看，是后兩節(jié)“實(shí)際問題與一元一次不等式”“一元一次不等式組” 的基礎(chǔ)，從方法的角度說， 這種類比研究問題的方法， 對以后的研究學(xué)習(xí)也起到了引領(lǐng)示范的作用。2.內(nèi)容安排本單元的主要內(nèi)容包括： 不等式及其解集的相關(guān)概念，不等式的性質(zhì)、一元一次不等式、利用不等式的性質(zhì)解不等式，共2節(jié)。全單元將實(shí)際問題貫穿始終，對不等式概念引入，及其解法的討論都在解決實(shí)際問題過程中進(jìn)行，在體現(xiàn)不等式中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)建模思想和解不等式中蘊(yùn)涵的化歸思想的同時，也使該單元的難度有所增加，對此應(yīng)多加注意。章前圖是與第9.2節(jié)的選擇購物商店問題情景相對應(yīng)，與本單元關(guān)系不大。但利用好章前圖下方的文字，則會使問題的引入自然、輕松。首先，從第一段“比較班上同學(xué)身高、體重、臂力”的文字中， 學(xué)生會發(fā)現(xiàn)在學(xué)習(xí)本章之前， 關(guān)于不等關(guān)系其實(shí)在生活中早已不自覺地應(yīng)用過了； 而第二段則將有理數(shù)大小的比較， 三角形兩邊之和大于第三邊這些已學(xué)過的七年級數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容拿出來， 除了讓學(xué)生感受不等式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用外， 還為研究不等式的性質(zhì)埋好了伏筆； 第三段則對本章內(nèi)容的地位與作用進(jìn)行了簡述；第四段則把本章要研究的問題說了個明白。理解好這些，對于如何引出本單元內(nèi)容，會有幫助。第9.1.1節(jié)中，首先從一個具體行程問題情景引入，讓學(xué)生感受如何用數(shù)學(xué)的眼光去分析現(xiàn)實(shí)生活中隨處可見的不等關(guān)系，在經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的過程中，發(fā)展了學(xué)生的符號表達(dá)能力，自然地引出了不等式的概念，以及幾種常見的不等式。在含有未知數(shù)的不等式中，由未知數(shù)的取值，進(jìn)一步引出了不等式的解，不等式的解集的概念。整個過程的設(shè)計(jì)自然流暢，與方程的類比貫穿始終，既提高了學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識、轉(zhuǎn)化問題的能力，也在學(xué)習(xí)的過程中，和等式的有關(guān)知識、方程解的定義相呼應(yīng)。在教學(xué)的過程中，教師可以根據(jù)教學(xué)實(shí)際選擇合適的時機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生將等式與不等式的相關(guān)概念進(jìn)行對比，以便更深刻地理解概念的內(nèi)涵。教材“思考” 欄目的設(shè)置， 讓學(xué)生更清楚地體會出不等式的解與方程的解的不同之處， 為接下來解集概念的得出做好了準(zhǔn)備。對于解集的表示， 教材從“ 數(shù)” 和“ 形” 兩方面入手：一種是用式子形式（即用最簡形式的不等式xa 或xa）；另一種是用數(shù)軸， 標(biāo)出數(shù)軸上的某一區(qū)間， 其中點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)值都是不等式的解。注意，教材中對于用數(shù)軸表示解集的表述可以再清晰一點(diǎn)，比如：“不等式x75的解集可以用數(shù)軸上表示75的點(diǎn)的右邊部分來表示”。數(shù)軸表示解集， 進(jìn)一步加深了對不等式解集的理解，使學(xué)生體會到解集的連續(xù)性，也為學(xué)習(xí)不等式組的解集做好了鋪墊。數(shù)軸表示解集的另一個作用是告訴人們： 如此可以避免用式子形式表示不等式組的解集時還要去死記硬背口訣之類的做法（這是后話）。接下來繼續(xù)類比一元一次方程， 給出一元一次不等式的概念。第9.1.2 節(jié)從解不等式的需要出發(fā)，討論不等式的基本性質(zhì)，它們是解不等式的依據(jù)。教材先通過數(shù)字運(yùn)算的大小比較，類比等式的性質(zhì)，歸納出不等式的三條基本性質(zhì)。用符號語言表示不等式的性質(zhì)，使書寫更加簡明。接著教材安排利用不等式的性質(zhì)解不等式的例題1。通過例1加深了不等式性質(zhì)的理解，了解解一元一次不等式的基本目標(biāo)（使不等式逐步轉(zhuǎn)化為xa或xa的形式）， 體會解法中蘊(yùn)涵的化歸思想。并能在數(shù)軸上表示出解集，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。例2展示了一個生活中常見的帶“” 關(guān)系的例子， 讓學(xué)生弄清題中的基本數(shù)量關(guān)系， 注意問題的實(shí)際意義。通過例3，應(yīng)用不等式的變形，得出“三角形中的任意兩邊之差小于第三邊”的結(jié)論。教材在本單元結(jié)束后還安排閱讀與思考“用求差法比較大小”。從多方面體現(xiàn)不等式在實(shí)際生活中的用途，拓寬了學(xué)生的視野，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)本單元的重點(diǎn)：（1）認(rèn)識不等式解的概念和不等式解集的概念的聯(lián)系與區(qū)別。（2）理解不等式的性質(zhì)，會利用不等式性質(zhì)解簡單的一元一次不等式， 并能在數(shù)軸上表示出不等式的解集。本單元的難點(diǎn)：（1）不等式的性質(zhì)3的認(rèn)識和應(yīng)用； （2）列不等式表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系。突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：（1） 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、類比和歸納不等式的性質(zhì)的探索過程，加深對不等式的性質(zhì)3的理解；讓學(xué)生比較不等式的性質(zhì)2和3的區(qū)別，以及等式的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)的異同，加深對不等式的性質(zhì)3的認(rèn)識；適當(dāng)加強(qiáng)練習(xí)，及時糾正易錯點(diǎn)，強(qiáng)化不等式的性質(zhì)3的應(yīng)用。（2）引導(dǎo)學(xué)生分析實(shí)際問題情境， 弄清其中的不等關(guān)系，啟發(fā)學(xué)生從多種角度思考數(shù)量之間的大小關(guān)系，依據(jù)不等關(guān)系列出含未知數(shù)的不等式，解決實(shí)際問題。4.課時安排略二、教學(xué)建議1.承上啟下溫故知新本單元是在學(xué)習(xí)了等式性質(zhì)、一元一次方程和二元一次方程組之后，展開不等式學(xué)習(xí)的。方程與不等式都是“ 數(shù)與代數(shù)” 部分的內(nèi)容， 都是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的模型， 一個刻畫的是現(xiàn)實(shí)世界中的相等關(guān)系， 一個刻畫的是現(xiàn)實(shí)世界中的不相等關(guān)系。在教學(xué)的過程中， 教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從相同之處找到研究問題的方法，從不同之處探求新知所在。教材在給出一元一次不等式及其相關(guān)概念時，注意與方程有關(guān)知識進(jìn)行類比； 類比等式的性質(zhì)學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)； 解不等式的過程與解方程的過程進(jìn)行比較，都運(yùn)用化歸思想，變形為最簡形式（不等式化為xa或xa的形式，方程化為x=a的形式）。教材中注意了新舊知識聯(lián)系， 同時又強(qiáng)調(diào)它們的區(qū)別。如解不等式與解方程的不同之處， 解不等式要將未知數(shù)的系數(shù)化為1時，根據(jù)未知數(shù)系數(shù)的正負(fù)，決定不等號的方向。新舊知識的對照，加強(qiáng)了知識間的橫向聯(lián)系，突出新知識的特點(diǎn)，加深對新知識的理解。2.重在引導(dǎo)發(fā)展能力本單元教材在引出和歸納知識點(diǎn)時， 會設(shè)置“ 思考” 欄目， 以問題、填空等形式引導(dǎo)學(xué)生自主探索， 激發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，促進(jìn)合作交流。改進(jìn)教與學(xué)的方式， 使學(xué)生樂意投入到現(xiàn)實(shí)的探索性數(shù)學(xué)活動中去。案例1 不等式性質(zhì)的探索過程思考：用“”或“”填空，并總結(jié)其中的規(guī)律：（1）53，5+2_3+2，5-2_3-2；（2）- 1 3 ， - 1 + 2_3 + 2 ，- 1 - 3 _3-3；（3）6 2 ， 6 5_2 5 ，6 （ - 5 ） _2（-5）；（4）-23，（-2）6_36，（-2）（-6）_3（-6）。根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空： 當(dāng)不等式兩邊加上或減去同一個數(shù)（正數(shù)或負(fù)數(shù)）時，不等號的方向_。當(dāng)不等式兩邊乘同一個正數(shù)時， 不等號的方向_； 而乘同一個負(fù)數(shù)時， 不等號的方向_。通過“ 思考” 欄目， 讓學(xué)生觀察具體數(shù)字運(yùn)算的大小比較， 總結(jié)其中的規(guī)律。接著對比等式的性質(zhì)填空，從而歸納出不等式的三條基本性質(zhì)。讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、對比和歸納，探索不等式性質(zhì)的過程。教材設(shè)置的“思考”欄目和填空， 給學(xué)生起到一個引導(dǎo)和歸納的作用， 有利于提高學(xué)生的探究能力和歸納能力，發(fā)展學(xué)生思維，讓學(xué)生學(xué)會用多種策略分析解決問題， 體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。3.互為依存偏重方法教學(xué)的過程，是知識產(chǎn)生的過程，也是思想方法滲透的過程。知識的落實(shí)是課堂的明線， 思想方法的指引是數(shù)學(xué)課堂的靈魂。不等式的概念產(chǎn)生的過程， 既是基本知識落實(shí)的過程， 也是數(shù)學(xué)建模思想滲透的過程。解不等式的過程，也是化歸思想滲透的過程。案例2 不等式概念的建立通過一個具體的行程問題，“一輛勻速行駛的汽車在1120距離A地50千米，要在1200之前駛過A地，車速應(yīng)滿足什么條件？ ”對于不等關(guān)系還認(rèn)識較淺的學(xué)生而言，這是一個比較開放、有一定難度的實(shí)際問題，在教學(xué)過程中，老師可以充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性， 將問題拋給學(xué)生，鼓勵學(xué)生多角度思考，多種方法解決。從學(xué)情分析來看，學(xué)生解答此類問題不外乎從列等式和不等式兩個角度入手， 再就是考慮路程會有怎樣的關(guān)系式？ 考慮速度或時間又會怎樣？ 如果學(xué)生列出的是等式，無非下面三種情況： 23x=50， 50x= 23，x=50 23，此時教師應(yīng)該首先肯定學(xué)生的做法有一定道理， 然后引導(dǎo)學(xué)生分析題目中的關(guān)鍵詞語， 體現(xiàn)的是一種相等關(guān)系還是不等關(guān)系，比如“之前”“駛過”，從如何體現(xiàn)這些關(guān)鍵詞語入手， 將方程過渡到不等式，這個學(xué)習(xí)過程，表面看耗時費(fèi)力， 實(shí)質(zhì)上卻更好地體現(xiàn)了等式和不等式都是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的有效模型，對比出了等式和不等式的異同，更好地體現(xiàn)了教材的設(shè)計(jì)意圖， 并且為接下來的等式和不等式的進(jìn)一步類比做好鋪墊， 這個引例的選取可謂獨(dú)具匠心，執(zhí)教者需反復(fù)揣摩，才能領(lǐng)會其中的深意， 在這個問題的教學(xué)中舍得花費(fèi)點(diǎn)時間是值得的。4. 雙基落實(shí)重在及時一元一次不等式是最基本的代數(shù)不等式，對它的理解和掌握對于后續(xù)學(xué)習(xí)具有重要的基礎(chǔ)作用。但由于本單元是以實(shí)際問題為線索展開的， 教材并沒有安排一節(jié)內(nèi)容來專門介紹解一元一次不等式， 而是把不等式的解法（含有括號和分母的不等式）放在了9.2解決實(shí)際問題的過程中學(xué)習(xí)， 把利用移項(xiàng)解不等式這一知識點(diǎn)通過9.1.2中的例3，馬馬虎虎地過去了，把例3前需要用到不等式組才能解決的例2 按了進(jìn)來， 這需要老師們對教材進(jìn)行適當(dāng)整合。利用不等式解決實(shí)際問題對于學(xué)生來說，本來就是一個難點(diǎn)，如這時缺乏對不等式解法的分析歸納， 忽視它們， 不利于學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識和基本技能。所以教學(xué)中要及時對解不等式進(jìn)行歸納整理，安排必要的、適量的練習(xí)，為后面學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。案例3 一元一次不等式的解法利用不等式的性質(zhì)解下列不等式：（1）x-726；（2）3x2x+1；（3） 23x50；（4）-4x3。這是第9.1.2中的例1。建議在例1前增加一個正向應(yīng)用不等式性質(zhì)的問題，例如習(xí)