不等式教材分析與教學建議(推薦)

“不等式”教材分析與教學建議一、教材分析1.地位與作用 “相等”與“不等”是現(xiàn)實世界數(shù)量之間的兩種基本關系，就像等式表達的是相等關系一樣， 不等式是表達不等關系的一種數(shù)學表示形式。不等式作為本章的第一單元， 是在學習了等式性質、一元一次方程和二元一次方程組之后， 學生已初步建立用等式和方程刻畫相等關系的數(shù)學模型的基礎上，展開對不等式的學習。體會不等式是研究不等關系的有效數(shù)學模型， 可以更好地認識事物運動變化的規(guī)律。 在研究不等問題的過程中繞不開與相等關系的類比， 類比既是一種數(shù)學思想， 用它可以引導學生進行探究性學習， 也是數(shù)學學習中一種常用的研究問題的方法。本章第一單元“不等式”，從知識的角度看，是后兩節(jié)“實際問題與一元一次不等式”“一元一次不等式組” 的基礎，從方法的角度說， 這種類比研究問題的方法， 對以后的研究學習也起到了引領示范的作用。2.內容安排本單元的主要內容包括： 不等式及其解集的相關概念，不等式的性質、一元一次不等式、利用不等式的性質解不等式，共2節(jié)。全單元將實際問題貫穿始終，對不等式概念引入，及其解法的討論都在解決實際問題過程中進行，在體現(xiàn)不等式中蘊涵的數(shù)學建模思想和解不等式中蘊涵的化歸思想的同時，也使該單元的難度有所增加，對此應多加注意。章前圖是與第9.2節(jié)的選擇購物商店問題情景相對應，與本單元關系不大。但利用好章前圖下方的文字，則會使問題的引入自然、輕松。首先，從第一段“比較班上同學身高、體重、臂力”的文字中， 學生會發(fā)現(xiàn)在學習本章之前， 關于不等關系其實在生活中早已不自覺地應用過了； 而第二段則將有理數(shù)大小的比較， 三角形兩邊之和大于第三邊這些已學過的七年級數(shù)學的經(jīng)典內容拿出來， 除了讓學生感受不等式在數(shù)學中的應用外， 還為研究不等式的性質埋好了伏筆； 第三段則對本章內容的地位與作用進行了簡述；第四段則把本章要研究的問題說了個明白。理解好這些，對于如何引出本單元內容，會有幫助。第9.1.1節(jié)中，首先從一個具體行程問題情景引入，讓學生感受如何用數(shù)學的眼光去分析現(xiàn)實生活中隨處可見的不等關系，在經(jīng)歷將實際問題轉化成數(shù)學問題的過程中，發(fā)展了學生的符號表達能力，自然地引出了不等式的概念，以及幾種常見的不等式。在含有未知數(shù)的不等式中，由未知數(shù)的取值，進一步引出了不等式的解，不等式的解集的概念。整個過程的設計自然流暢，與方程的類比貫穿始終，既提高了學生用數(shù)學的意識、轉化問題的能力，也在學習的過程中，和等式的有關知識、方程解的定義相呼應。在教學的過程中，教師可以根據(jù)教學實際選擇合適的時機，引導學生將等式與不等式的相關概念進行對比，以便更深刻地理解概念的內涵。教材“思考” 欄目的設置， 讓學生更清楚地體會出不等式的解與方程的解的不同之處， 為接下來解集概念的得出做好了準備。對于解集的表示， 教材從“ 數(shù)” 和“ 形” 兩方面入手：一種是用式子形式（即用最簡形式的不等式xa 或xa）；另一種是用數(shù)軸， 標出數(shù)軸上的某一區(qū)間， 其中點對應的數(shù)值都是不等式的解。注意，教材中對于用數(shù)軸表示解集的表述可以再清晰一點，比如：“不等式x75的解集可以用數(shù)軸上表示75的點的右邊部分來表示”。數(shù)軸表示解集， 進一步加深了對不等式解集的理解，使學生體會到解集的連續(xù)性，也為學習不等式組的解集做好了鋪墊。數(shù)軸表示解集的另一個作用是告訴人們： 如此可以避免用式子形式表示不等式組的解集時還要去死記硬背口訣之類的做法（這是后話）。接下來繼續(xù)類比一元一次方程， 給出一元一次不等式的概念。第9.1.2 節(jié)從解不等式的需要出發(fā)，討論不等式的基本性質，它們是解不等式的依據(jù)。教材先通過數(shù)字運算的大小比較，類比等式的性質，歸納出不等式的三條基本性質。用符號語言表示不等式的性質，使書寫更加簡明。接著教材安排利用不等式的性質解不等式的例題1。通過例1加深了不等式性質的理解，了解解一元一次不等式的基本目標（使不等式逐步轉化為xa或xa的形式）， 體會解法中蘊涵的化歸思想。并能在數(shù)軸上表示出解集，體現(xiàn)數(shù)形結合思想。例2展示了一個生活中常見的帶“” 關系的例子， 讓學生弄清題中的基本數(shù)量關系， 注意問題的實際意義。通過例3，應用不等式的變形，得出“三角形中的任意兩邊之差小于第三邊”的結論。教材在本單元結束后還安排閱讀與思考“用求差法比較大小”。從多方面體現(xiàn)不等式在實際生活中的用途，拓寬了學生的視野，提高了學生的數(shù)學應用意識。3.學習重點和難點本單元的重點：（1）認識不等式解的概念和不等式解集的概念的聯(lián)系與區(qū)別。（2）理解不等式的性質，會利用不等式性質解簡單的一元一次不等式， 并能在數(shù)軸上表示出不等式的解集。本單元的難點：（1）不等式的性質3的認識和應用； （2）列不等式表示實際問題中的不等關系。突破難點的關鍵：（1） 引導學生經(jīng)歷觀察、類比和歸納不等式的性質的探索過程，加深對不等式的性質3的理解；讓學生比較不等式的性質2和3的區(qū)別，以及等式的性質和不等式的性質的異同，加深對不等式的性質3的認識；適當加強練習，及時糾正易錯點，強化不等式的性質3的應用。（2）引導學生分析實際問題情境， 弄清其中的不等關系，啟發(fā)學生從多種角度思考數(shù)量之間的大小關系，依據(jù)不等關系列出含未知數(shù)的不等式，解決實際問題。4.課時安排略二、教學建議1.承上啟下溫故知新本單元是在學習了等式性質、一元一次方程和二元一次方程組之后，展開不等式學習的。方程與不等式都是“ 數(shù)與代數(shù)” 部分的內容， 都是刻畫現(xiàn)實問題的模型， 一個刻畫的是現(xiàn)實世界中的相等關系， 一個刻畫的是現(xiàn)實世界中的不相等關系。在教學的過程中， 教師應當引導學生從相同之處找到研究問題的方法，從不同之處探求新知所在。教材在給出一元一次不等式及其相關概念時，注意與方程有關知識進行類比； 類比等式的性質學習不等式的性質； 解不等式的過程與解方程的過程進行比較，都運用化歸思想，變形為最簡形式（不等式化為xa或xa的形式，方程化為x=a的形式）。教材中注意了新舊知識聯(lián)系， 同時又強調它們的區(qū)別。如解不等式與解方程的不同之處， 解不等式要將未知數(shù)的系數(shù)化為1時，根據(jù)未知數(shù)系數(shù)的正負，決定不等號的方向。新舊知識的對照，加強了知識間的橫向聯(lián)系，突出新知識的特點，加深對新知識的理解。2.重在引導發(fā)展能力本單元教材在引出和歸納知識點時， 會設置“ 思考” 欄目， 以問題、填空等形式引導學生自主探索， 激發(fā)學生進行思考，促進合作交流。改進教與學的方式， 使學生樂意投入到現(xiàn)實的探索性數(shù)學活動中去。案例1 不等式性質的探索過程思考：用“”或“”填空，并總結其中的規(guī)律：（1）53，5+2_3+2，5-2_3-2；（2）- 1 3 ， - 1 + 2_3 + 2 ，- 1 - 3 _3-3；（3）6 2 ， 6 5_2 5 ，6 （ - 5 ） _2（-5）；（4）-23，（-2）6_36，（-2）（-6）_3（-6）。根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空： 當不等式兩邊加上或減去同一個數(shù)（正數(shù)或負數(shù)）時，不等號的方向_。當不等式兩邊乘同一個正數(shù)時， 不等號的方向_； 而乘同一個負數(shù)時， 不等號的方向_。通過“ 思考” 欄目， 讓學生觀察具體數(shù)字運算的大小比較， 總結其中的規(guī)律。接著對比等式的性質填空，從而歸納出不等式的三條基本性質。讓學生經(jīng)歷觀察、對比和歸納，探索不等式性質的過程。教材設置的“思考”欄目和填空， 給學生起到一個引導和歸納的作用， 有利于提高學生的探究能力和歸納能力，發(fā)展學生思維，讓學生學會用多種策略分析解決問題， 體驗數(shù)學活動充滿著探索性和創(chuàng)造性。3.互為依存偏重方法教學的過程，是知識產生的過程，也是思想方法滲透的過程。知識的落實是課堂的明線， 思想方法的指引是數(shù)學課堂的靈魂。不等式的概念產生的過程， 既是基本知識落實的過程， 也是數(shù)學建模思想滲透的過程。解不等式的過程，也是化歸思想滲透的過程。案例2 不等式概念的建立通過一個具體的行程問題，“一輛勻速行駛的汽車在1120距離A地50千米，要在1200之前駛過A地，車速應滿足什么條件？ ”對于不等關系還認識較淺的學生而言，這是一個比較開放、有一定難度的實際問題，在教學過程中，老師可以充分發(fā)揮學生的主觀能動性， 將問題拋給學生，鼓勵學生多角度思考，多種方法解決。從學情分析來看，學生解答此類問題不外乎從列等式和不等式兩個角度入手， 再就是考慮路程會有怎樣的關系式？ 考慮速度或時間又會怎樣？ 如果學生列出的是等式，無非下面三種情況： 23x=50， 50x= 23，x=50 23，此時教師應該首先肯定學生的做法有一定道理， 然后引導學生分析題目中的關鍵詞語， 體現(xiàn)的是一種相等關系還是不等關系，比如“之前”“駛過”，從如何體現(xiàn)這些關鍵詞語入手， 將方程過渡到不等式，這個學習過程，表面看耗時費力， 實質上卻更好地體現(xiàn)了等式和不等式都是刻畫現(xiàn)實問題的有效模型，對比出了等式和不等式的異同，更好地體現(xiàn)了教材的設計意圖， 并且為接下來的等式和不等式的進一步類比做好鋪墊， 這個引例的選取可謂獨具匠心，執(zhí)教者需反復揣摩，才能領會其中的深意， 在這個問題的教學中舍得花費點時間是值得的。4. 雙基落實重在及時一元一次不等式是最基本的代數(shù)不等式，對它的理解和掌握對于后續(xù)學習具有重要的基礎作用。但由于本單元是以實際問題為線索展開的， 教材并沒有安排一節(jié)內容來專門介紹解一元一次不等式， 而是把不等式的解法（含有括號和分母的不等式）放在了9.2解決實際問題的過程中學習， 把利用移項解不等式這一知識點通過9.1.2中的例3，馬馬虎虎地過去了，把例3前需要用到不等式組才能解決的例2 按了進來， 這需要老師們對教材進行適當整合。利用不等式解決實際問題對于學生來說，本來就是一個難點，如這時缺乏對不等式解法的分析歸納， 忽視它們， 不利于學生鞏固基礎知識和基本技能。所以教學中要及時對解不等式進行歸納整理，安排必要的、適量的練習，為后面學習打好基礎。案例3 一元一次不等式的解法利用不等式的性質解下列不等式：（1）x-726；（2）3x2x+1；（3） 23x50；（4）-4x3。這是第9.1.2中的例1。建議在例1前增加一個正向應用不等式性質的問題，例如習