因式分解法解一元二次方程典型例題

典型例題一例 用因式分解法解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2x1)(x1)1解：（1）方程可變形為(y1)(y6)0y10或y60y11，y26(2)方程可變形為t(2t1)3(2t1)0(2t1)(t3)0，2t10或t30t1，t23(3)方程可變形為2x23x0x(2x3)0，x0或2x30x10，x2說明：(1)在用因式分解法解一元二次方程時(shí)，一般地要把方程整理為一般式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個(gè)一次因式的乘積，而右邊為零時(shí)，則可令每一個(gè)一次因式為零，得到兩個(gè)一元一次方程，解出這兩個(gè)一元一次方程的解就是原方程的兩個(gè)解了(2)應(yīng)用因式分解法解形如(xa)(xb)c的方程，其左邊是兩個(gè)一次因式之積，但右邊不是零，所以應(yīng)轉(zhuǎn)化為形如(xe)(xf)0的形式，這時(shí)才有x1e，x2f，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，如(3)可能產(chǎn)生如下的錯(cuò)解：原方程變形為：2x11或x11x11，x22(3)在方程(2)中，為什么方程兩邊不能同除以(2t1)，請(qǐng)同學(xué)們思考典型例題二例 用因式分解法解下列方程解：把方程左邊因式分解為：或 說明: 對(duì)于無(wú)理數(shù)系數(shù)的一元二次方程，若左邊可分解為一次因式積的形式，均可用因式分解法求出方程的解。典型例題三例 用因式分解法解下列方程。解: 移項(xiàng)得：把方程左邊因式分解得：或說明: 在用因式分解法解一元二次方程時(shí)，一定要注意，把方程整理為一般式，如果左邊的代數(shù)式能夠分解為兩個(gè)一次因式的乘積，而右邊為零時(shí)，則可令每一個(gè)一次因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程，解出這兩個(gè)一元一次方程的解就是原方程的兩個(gè)解了。典型例題四例 用因式分解法解下列方程（1）；（2）；分析：一元二次方程化為一般形式后，在一般情況下，左邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，右邊是零.二次三項(xiàng)式，通常用因式分解的方法，可以分解成兩個(gè)一次因式的積，從而可求出方程的根.但有些問題，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征.解：（1）原方程可變形為或，.（2）原方程可化為，即 ，或，.說明：因式分解將二次方程化為一次方程求解，起到了降次的作用.這種化未知為已知的解題思想，是數(shù)學(xué)中的“化歸思想”.事實(shí)上，將多元方程組化為一元方程，也是此法.典型例題五例 用因式分解法解方程：（1）；（2）；（3）；（4）.分析：用因式分解法解一元二次方程時(shí)，應(yīng)將方程化為的形式，然后通過或，求出.解：（1），或.（2），即 .或，（3），即 或.（4），即 或，.說明：有些系數(shù)或常數(shù)是無(wú)理數(shù)的一元二次方程，只要熟悉無(wú)理數(shù)的分解方法，也可將之和因式分解法求解.典型例題六例用適當(dāng)方法解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）（5）（用配方法）解：（1）移項(xiàng)，得，方程兩邊都除以2，得，解這個(gè)方程，得，即，（2）展開，整理，得方程可變形為或，（3）展開，整理，得，方程可變形為或（4）， , （5）移項(xiàng)，得，方程各項(xiàng)都除以3，得配方，得，解這個(gè)方程，得,即 ， 說明:當(dāng)一元二次方程本身特征不明顯時(shí)，需先將方程化為一般形式()，若，a、c異號(hào)時(shí)，可用直接開平方法求解，如（l）題若，, 時(shí)，可用因式分解法求解，如（2）題若a、b、c均不為零，有的可用因式分解法求解，如（3）題；有的可用公式法求解，如（4）題配方法做為一種重要的數(shù)學(xué)方法也應(yīng)掌握，如（5）題 而有些一元二次方程有較明顯特征時(shí)，不一定都要化成一般形式，如方程可用直接開平方法或因式分解法求解又如方程也不必展開整理成一般形式，因?yàn)榉匠虄蛇叾加?，移?xiàng)后提取公因式，得，用因式分解法求解，得，對(duì)于這樣的方程，一定注意不能把方程兩邊都除以，這會(huì)丟掉一個(gè)根也就是方程兩邊不能除以含有未知數(shù)的整式典型例題七例 解關(guān)于的方程（） 解法一：原方程可變形為或 ， 解法二：，又 ， 說明 解字母系數(shù)方程時(shí)，除了要分清已知數(shù)和未知數(shù)，還要注意題目中給出的條件，要根據(jù)條件說明方程兩邊除以的代數(shù)式的值不等于零對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程同樣可以有幾種不同的解法，也要根據(jù)題目的特點(diǎn)選用較簡(jiǎn)單的解法，本題的解法一顯然比解法二要簡(jiǎn)單典型例題八例 已知，試解關(guān)于的方程分析 由，容易得到或整理關(guān)干x的方程，得題目中沒有指明這個(gè)方程是一元二次方程，因此對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)要進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，方程是一元一次方程；當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程。解：由，得, 整理，得當(dāng)時(shí)，原方程為，解得當(dāng)時(shí)，原方程為，解得 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，填空題1方程的根是 2方程的解是 3方程的解是 答案：1 2 3.解答題1 用因式分解法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）。（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.2. 用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）。3用因式分解法解下列關(guān)于的一元二次方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）4用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.5已知三角形的兩邊分別是1和2，第三邊的數(shù)值是方程的根，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng).答案：1（1）； （2）； （3）； （4）.（5），（