數(shù)學(xué)建模之灰色預(yù)測模型

精選文庫一、灰色預(yù)測模型簡介（P372） 特點(diǎn)：模型使用的不是原始數(shù)據(jù)列，而是生成的數(shù)據(jù)列。 優(yōu)點(diǎn)：不需要很多數(shù)據(jù)，一般只用4個(gè)數(shù)據(jù)就能解決歷史數(shù)據(jù)少，序列的完整性和可靠性低的問題。 缺點(diǎn)：只適用于中短期的預(yù)測和指數(shù)增長的預(yù)測。1、GM(1,1)預(yù)測模型 GM(1,1)表示模型為一階微分方程，且只含有一個(gè)變量的灰色模型。1.1模型的應(yīng)用 銷售額預(yù)測 交通事故次數(shù)的預(yù)測 某地區(qū)火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的預(yù)測 災(zāi)變與異常值預(yù)測，如對旱災(zāi)，洪災(zāi)，地震等自然災(zāi)害的時(shí)間與程度進(jìn)行預(yù)報(bào)。（百度文庫） 基于GM(1,1)模型的廣州市人口預(yù)測與分析（下載的文檔） 網(wǎng)絡(luò)輿情危機(jī)預(yù)警（下載的文檔）1.2步驟 級比檢驗(yàn)與判斷由原始數(shù)據(jù)列計(jì)算得序列的級比為 若序列的級比 ，則可用作令人滿意的GM(1,1)建模。 光滑比為 若序列滿足 則序列為準(zhǔn)光滑序列。 否則，選取常數(shù)c對序列做如下平移變換 序列的級比 對原始數(shù)據(jù)作一次累加得 建立模型: （1） 構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y 其中： 由 求得估計(jì)值= = 由微分方程（1）得生成序列預(yù)測值為 則模型還原值為 精度檢驗(yàn)和預(yù)測 殘差 相對誤差 相對誤差精度等級表 級比偏差 若0.2則可認(rèn)為達(dá)到一般要求；若0.1，則可認(rèn)為達(dá)到較高要求。 利用matlab求出模型的各種檢驗(yàn)指標(biāo)值的結(jié)果如表 經(jīng)過驗(yàn)證，給出相應(yīng)預(yù)測預(yù)報(bào)。2、新陳代謝模型灰色新陳代謝模型是一個(gè)不斷考慮新信息的預(yù)測模型，它考慮了隨著時(shí)間推移相繼進(jìn)入系統(tǒng)的擾動(dòng)因素帶來的影響，在不斷補(bǔ)充新信息的同時(shí)，及時(shí)去掉舊信息，使整個(gè)系統(tǒng)一直處于更新和發(fā)展的過程中，更符合現(xiàn)實(shí)世界的變化。與GM(1,1)模型相比，既能充分發(fā)揮傳統(tǒng)GM(1,1)模型僅利用少量數(shù)據(jù), 就能獲得較高預(yù)測精度的優(yōu)點(diǎn),又能反映出數(shù)據(jù)的變化趨勢, 從而使預(yù)測結(jié)果的精度獲得更進(jìn)一步的提高。局限性在于該模型適合預(yù)測具有較強(qiáng)指數(shù)規(guī)律的序列, 只能描述單調(diào)變化的過程。2.1模型的應(yīng)用 深圳貨運(yùn)量預(yù)測；（下載文檔） 天津市城市人均住宅建筑面積及非農(nóng)業(yè)戶籍人口總數(shù)預(yù)測（下載文檔）； 網(wǎng)絡(luò)輿情危機(jī)預(yù)警（下載文檔）。2.2步驟 建立新陳代謝數(shù)據(jù)序列 原始數(shù)據(jù)列，用最新信息替換最初數(shù)據(jù)，即得到新陳代謝數(shù)據(jù)序列。 后續(xù)步驟同GM(1,1)模型。 用計(jì)算出的最新結(jié)果再次替換最初信息得到新序列重復(fù)步驟，以此類推，將計(jì)算結(jié)果制表并分析。3、波形預(yù)測波形預(yù)測, 是對一段時(shí)間內(nèi)行為特征數(shù)據(jù)波形的預(yù)測。當(dāng)原始數(shù)據(jù)頻頻擺動(dòng)且擺動(dòng)幅度較大時(shí)，可以考慮根據(jù)原始數(shù)據(jù)的波形預(yù)測未來的行為數(shù)據(jù)發(fā)展變化, 以便進(jìn)行決策。從本質(zhì)上來看,波形預(yù)測是對一個(gè)變化不規(guī)則的行為數(shù)據(jù)列的整體發(fā)展進(jìn)的預(yù)測。3.1 模型的應(yīng)用 區(qū)域降水量預(yù)測（下載文檔） 運(yùn)量需求不平衡航線下客流量預(yù)測（下載文檔） 網(wǎng)絡(luò)輿情危機(jī)預(yù)警（下載文檔）3.2步驟 求出序列折線 由原始數(shù)據(jù)列得出序列X的k段折線圖形為 序列X的折線為 選取等高線 令則有 如果的i段折線上有等高點(diǎn)，則坐標(biāo)為。 等高點(diǎn)的計(jì)算 解方程=得到折線與的交點(diǎn)=，即等高點(diǎn)。 構(gòu)成等高時(shí)刻序列，求出各等高時(shí)刻序列的GM(1,1)預(yù)測。 得出波形預(yù)測 畫出波形圖，并分析。4、Verhulst模型 Verhulst模型主要用來描述具有飽和狀態(tài)的過程，即S型過程。常用于人口預(yù)測、生物生長、繁殖預(yù)測和產(chǎn)品經(jīng)濟(jì)壽命預(yù)測等。（例如B題艾滋病療法的評價(jià)及治療預(yù)測）4.1步驟 模型的建立 對原始數(shù)據(jù)作一次累加得 令得的均值生成序列為 則得到灰色Verhulst模型為 灰色Verhulst模型的白化方程為 （2） 參數(shù)求解 構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y 由 求得估計(jì)值= = 解微分方程（2）得灰色Verhulst模型的時(shí)間序列響應(yīng)為 通過累減還原得 精度檢驗(yàn)和預(yù)測 同GM(1,1)模型。 例題：某地區(qū)年平均降雨量數(shù)據(jù)如表1。規(guī)定= 320，并認(rèn)為為旱災(zāi)。預(yù)測下一次發(fā)生的時(shí)間。表1 某地區(qū)年平均降雨量數(shù)據(jù) 解：模型的建立：列出原始數(shù)據(jù)列，確定在的條件下的下限災(zāi)變數(shù)列與其相對應(yīng)的時(shí)刻數(shù)列。計(jì)算光滑比判斷序列是否滿足滿足對數(shù)列做1次累加，得。建立GM(1，1)模型。 （1）構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y 其中： 由 求得估計(jì)值，。 由微分方程（1）得生成序列預(yù)測值為 則模型還原值為預(yù)測到第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)據(jù)。模型的求解 （1）根據(jù)題得：原始數(shù)據(jù)列(390.6,412,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5)因?yàn)楫?dāng)時(shí)的為異常值，可得下限災(zāi)變數(shù)列為(320,310,300,313.8,318.5) 與其相對應(yīng)的時(shí)刻數(shù)列為： = (3,8,10,14,17) 利用matlab計(jì)算得出序列光滑。 （2）對數(shù)列做1次累加，得(3,