高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法-四-等效法

四、等效法方法簡(jiǎn)介在一些物理問(wèn)題中，一個(gè)過(guò)程的發(fā)展、一個(gè)狀態(tài)的確定，往往是由多個(gè)因素決定的，在這一決定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，而對(duì)過(guò)程的發(fā)展或狀態(tài)的確定，最后結(jié)果并不影響，這種以等效為前提而使某些因素互相代替來(lái)研究問(wèn)題的方法就是等效法.等效思維的實(shí)質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題變換為簡(jiǎn)單的熟悉問(wèn)題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律.因此應(yīng)用等效法時(shí)往往是用較簡(jiǎn)單的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化而便于求解.賽題精講例1：如圖41所示，水平面上，有兩個(gè)豎直的光滑墻壁A和B，相距為d，一個(gè)小球以初速度v0從兩墻之間的O點(diǎn)斜向上拋出，與A和B各發(fā)生一次彈性碰撞后，正好落回拋出點(diǎn)，求小球的拋射角.解析：將彈性小球在兩墻之間的反彈運(yùn)動(dòng)，可等效為一個(gè)完整的斜拋運(yùn)動(dòng)（見(jiàn)圖）.所以可用解斜拋運(yùn)動(dòng)的方法求解.由題意得：可解得拋射角 例2：質(zhì)點(diǎn)由A向B做直線運(yùn)動(dòng)，A、B間的距離為L(zhǎng)，已知質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為v0，加速度為a，如果將L分成相等的n段，質(zhì)點(diǎn)每通過(guò)L/n的距離加速度均增加a/n，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B時(shí)的速度.解析 從A到B的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由于加速度均勻增加，故此運(yùn)動(dòng)是非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，而非勻變速直線運(yùn)動(dòng)，不能用勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式求解，但若能將此運(yùn)動(dòng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)等效代替，則此運(yùn)動(dòng)就可以求解.因加速度隨通過(guò)的距離均勻增加，則此運(yùn)動(dòng)中的平均加速度為由勻變速運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)出公式得解得 例3一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離s1=1m的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為，問(wèn)當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的B點(diǎn)時(shí)，其速度大小老鼠從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間t=？解析 我們知道當(dāng)汽車(chē)以恒定功率行駛時(shí)，其速度v與牽引力F成反比，即，v=P/F，由此可把老鼠的運(yùn)動(dòng)等效為在外力以恒定的功率牽引下的彈簧的運(yùn)動(dòng).由此分析，可寫(xiě)出當(dāng)將其代入上式求解，得所以老鼠到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度再根據(jù)外力做的功等于此等效彈簧彈性勢(shì)能的增加，圖42代入有關(guān)量可得由此可解得此題也可以用圖像法、類(lèi)比法求解.例4 如圖42所示，半徑為r的鉛球內(nèi)有一半徑為的球形空腔，其表面與球面相切，鉛球的質(zhì)量為M.在鉛球和空腔的中心連線上，距離鉛球中心L處有一質(zhì)量為m的小球（可以看成質(zhì)點(diǎn)），求鉛球?qū)π∏虻囊?解析 因?yàn)殂U球內(nèi)部有一空腔，不能把它等效成位于球心的質(zhì)點(diǎn). 我們?cè)O(shè)想在鉛球的空腔內(nèi)填充一個(gè)密度與鉛球相同的小鉛球M，然后在對(duì)于小球m對(duì)稱(chēng)的另一側(cè)位置放另一個(gè)相同的小鉛球M，這樣加入的兩個(gè)小鉛球?qū)π∏騧的引力可以抵消，就這樣將空腔鉛球變成實(shí)心鉛球，而結(jié)果是等效的.帶空腔的鉛球?qū)的引力等效于實(shí)心鉛球與另一側(cè)M對(duì)m的引力之和. 設(shè)空腔鉛球?qū)的引力為F，實(shí)心鉛球與M對(duì)m的引力分別為F1、F2. 則F=F1F2 經(jīng)計(jì)算可知：，所以圖43將、代入式，解得空腔鉛球?qū)π∏虻囊槔? 如圖4-3所示，小球長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時(shí)與擋板碰撞并反向彈回，若每次與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前速度大小的，求小球從開(kāi)始下滑到最終停止于斜面下端時(shí)，小球總共通過(guò)的路程.解析 小球與擋板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，說(shuō)明碰撞過(guò)程中損失能量，每次反彈距離都不及上次大，小球一步一步接近擋板，最終停在擋板處. 我們可以分別計(jì)算每次碰撞垢上升的距離L1、L2、Ln，則小球總共通過(guò)的路程為，然后用等比數(shù)列求和公式求出結(jié)果，但是這種解法很麻煩.我們假設(shè)小球與擋板碰撞不損失能量，其原來(lái)?yè)p失的能量看做小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服阻力做功而消耗掉，最終結(jié)果是相同的，而阻力在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都有，就可以利用摩擦力做功求出路程.設(shè)第一次碰撞前后小球的速度分別為、，碰撞后反彈的距離為L(zhǎng)1，則其中碰撞中損失的動(dòng)能為根據(jù)等效性有 解得等效摩擦力圖44通過(guò)這個(gè)結(jié)果可以看出等效摩擦力與下滑的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，所以在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，等效摩擦力都相同. 以整個(gè)運(yùn)動(dòng)為研究過(guò)程，有解出小球總共通過(guò)的總路程為此題也可以通過(guò)遞推法求解，讀者可試試.例6 如圖44所示，用兩根等長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線懸掛一個(gè)小球，設(shè)L和已知，當(dāng)小球垂直于紙面做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其周期為 .解析 此題是一個(gè)雙線擺，而我們知道單擺的周期，若將又線擺擺長(zhǎng)等效為單擺擺長(zhǎng)，則雙線擺的周期就可以求出來(lái)了.將雙線擺擺長(zhǎng)等效為單擺擺長(zhǎng)，則此雙線擺的周期為圖45例8 如圖45所示，由一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的剛性輕桿和桿端的小球組成的單擺做振幅很小的自由振動(dòng). 如果桿上的中點(diǎn)固定另一個(gè)相同的小球，使單擺變成一個(gè)異形復(fù)擺，求該復(fù)擺的振動(dòng)周期.解析 復(fù)擺這一物理模型屬于大學(xué)普通物理學(xué)的內(nèi)容，中學(xué)階段限于知識(shí)的局限，不能直接求解. 如能進(jìn)行等效操作，將其轉(zhuǎn)化成中學(xué)生熟悉的單擺模型，則求解周期將變得簡(jiǎn)捷易行.設(shè)想有一擺長(zhǎng)為L(zhǎng)0的輔助單擺，與原復(fù)擺等周期，兩擺分別從擺角處從靜止開(kāi)始擺動(dòng)，擺動(dòng)到與豎直方向夾角為時(shí)，具有相同的角速度，對(duì)兩擺分別應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，于是得對(duì)單擺，得 聯(lián)立兩式求解，得圖46故原復(fù)擺的周期為例9 粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有某種液體，開(kāi)始靜止在水平面上，如圖46所示，已知：L=10cm，當(dāng)此U形管以4m/s2的加速度水平向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求兩豎直管內(nèi)液面的高度差.（g=10m/s2）解析 當(dāng)U形管向右加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，可把液體當(dāng)做放在等效重力場(chǎng)中，的方向是等效重力場(chǎng)的豎直方向，這時(shí)兩邊的液面應(yīng)與等效重力場(chǎng)的水平方向平行，即與方向垂直.設(shè)的方向與g的方向之間夾角為，則由圖46可知液面與水平方向的夾角為，所以，例10 光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為R，在其最低點(diǎn)A處放一質(zhì)量為m的帶電小球，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，使小球受到電場(chǎng)力的大小為，方向水平向右，現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度，使小球沿軌道向上運(yùn)動(dòng)，若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求.解析 小球同時(shí)受到重力和電場(chǎng)力作用，這時(shí)也可以認(rèn)為小球處在等效重力場(chǎng)中.圖47小球受到的等效重力為等效重力加速度圖47甲與豎直方向的夾角，如圖47甲所示.所以B點(diǎn)為等效重力場(chǎng)中軌道的最高點(diǎn)，如圖47，由題意，小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度在等效重力場(chǎng)中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律將、分別代入上式，解得給小球的初速度為例11 空間某一體積為V的區(qū)域內(nèi)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度（E）的定義為圖48如圖48所示，今有一半徑為a原來(lái)不帶電的金屬球，現(xiàn)使它處于電量為q的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，點(diǎn)電荷位于金屬球外，與球心的距離為R，試計(jì)算金屬球表面的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)在此球內(nèi)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度.解析 金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的球內(nèi)電場(chǎng)，由靜電平衡知識(shí)可知等于電量為q的點(diǎn)電荷在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)，其大小相等，方向相反，因此求金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，相當(dāng)于求點(diǎn)電荷q在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng).由平均電場(chǎng)強(qiáng)度公式得設(shè)金屬球均勻帶電，帶電量為q，其密度為，則有為帶電球體在q所在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，因而有，方向從O指向q.例11 質(zhì)量為m的小球帶電量為Q，在場(chǎng)強(qiáng)為E的水平勻強(qiáng)電場(chǎng)中獲得豎直向上的初速度為. 若忽略空氣阻力和重力加速度g隨高度的變化，求小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小速度.圖49解析 若把電場(chǎng)力Eq和重力mg合成一個(gè)力，則小球相當(dāng)于只受一個(gè)力的作用，由于小球運(yùn)動(dòng)的初速度與其所受的合外力之間成一鈍角，因此可以把小球的運(yùn)動(dòng)看成在等效重力（即為合外力）作用下的斜拋運(yùn)動(dòng)，而做斜拋運(yùn)動(dòng)的物體在其速度方向與垂直時(shí)的速度為最小，也就是斜拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，由此可見(jiàn)用這種等效法可以較快求得結(jié)果.電場(chǎng)力和重力的合力方向如圖49所示，由圖所示的幾何關(guān)系可知小球從O點(diǎn)拋出時(shí)，在y方向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng). 當(dāng)在y軸方向上的速度為零時(shí)，小球只具有x軸方向上的速度，此時(shí)小球的速度為最小值，所以此題也可以用矢量三角形求極值的方法求解，讀者可自行解決.圖410例12 如圖410所示，R1、R2、R3為定值電阻，但阻值未知，Rx為電阻箱.當(dāng)Rx為時(shí)，通過(guò)它的電流時(shí)，通過(guò)它的電流則當(dāng)時(shí)，求電阻圖410甲解析 電源電動(dòng)勢(shì)、內(nèi)電阻r、電阻R1、R2、R3均未知，按題目給的電路模型列式求解，顯然方程數(shù)少于未知量數(shù)，于是可采取變換電路結(jié)構(gòu)的方法.將圖410所示的虛線框內(nèi)電路看成新的電源，則等效電路如圖410甲所示，電源的電動(dòng)勢(shì)為，內(nèi)電阻為. 根據(jù)電學(xué)知識(shí)，新電路不改變Rx和Ix的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有 由、兩式，得，代入式，可得例13 如圖411所示的甲、乙兩個(gè)電阻電路具有這樣的特性：對(duì)于任意阻值的RAB、RBC和RCA，相應(yīng)的電阻Ra、Rb和Rc可確定. 因此在對(duì)應(yīng)點(diǎn)A和a，B和b、C和c的電位是相同的，并且，流入對(duì)應(yīng)點(diǎn)（例如A和a）的電流也相同，利用這些條件圖411證明：，并證明對(duì)Rb和Rc也有類(lèi)似的結(jié)果，利用上面的結(jié)果求圖411甲中P和Q兩點(diǎn)之間的電阻.解析 圖411中甲、乙兩種電路的接法分別叫三角形接法和星形接法，只有這兩種電路任意兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的總電阻部分都相等，兩個(gè)電路可以互相等效，對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、a、B、b和C、c將具有相同的電勢(shì).由Rab=RAB，Rac=RAC，Rbc=RBC，對(duì)ab間，有 同樣，ac間和bc間，也有 將+得：再通過(guò)和+，并整理，就得到Rb和RC的表達(dá)式.412甲412乙412丙下面利用以上結(jié)果求圖412乙中P和Q兩點(diǎn)之間的電阻. 用星形接法代替三角形接法，可得圖412乙所示電路，PRQS回路是一個(gè)平衡的惠斯登電橋，所以在RS之間無(wú)電流，因此它與圖412丙所示電路是等效的. 因此PQ之間的總電阻RPQ可通過(guò)這三個(gè)并聯(lián)電阻求和得到.例14 如圖413所示，放在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.6T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的長(zhǎng)方形金屬線框abcd，框平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直，其中ab和bc各是一段粗細(xì)均勻的電阻絲Rab=5，Rbc=3，線框其余部分電阻忽略不計(jì).現(xiàn)讓導(dǎo)體EF擱置在ab、cd邊上，其有效長(zhǎng)度L=0.5m，且與ab垂直，阻值REF=1，并使其從金屬框ad端以恒定的速度V=10m/s向右滑動(dòng)，當(dāng)EF滑過(guò)ab長(zhǎng)的4/5距離時(shí)，問(wèn)流過(guò)aE端的電流多大？圖413解析 EF向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，當(dāng)EF滑過(guò)ab長(zhǎng)的時(shí)，電路圖可等效為如圖413甲所示的電路.根據(jù)題設(shè)可以求出EF產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，圖413甲此時(shí)電源內(nèi)阻為導(dǎo)體EF的電阻，則電路中的總電阻為電路中的總電流為圖414通過(guò)aE的電流為例15 有一薄平凹透鏡，凹面半徑為0.5m，玻璃的折射率為1.5，且