數(shù)學(xué)歸納法教案

2.3.1數(shù)學(xué)歸納法教案一、教情分析數(shù)學(xué)歸納法作為直接證明的一種特殊方法，主要用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。人教課標版教科書把數(shù)學(xué)歸納法安排在選修2-2第二章推理與證明中，教學(xué)時間為2課時，本教案為數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課。在此之前，學(xué)生已經(jīng)通過數(shù)列一章內(nèi)容和推理與證明內(nèi)容的學(xué)習，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法，知道不完全歸納法是研究數(shù)學(xué)問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個特殊事例得出的結(jié)論的歸納推理是合情推理，而由合情推理得出的結(jié)論未必正確。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進一步學(xué)習嚴謹?shù)目茖W(xué)的論證方法數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法是促進學(xué)生從有限思維發(fā)展到無限思維的一個重要載體，也是培養(yǎng)學(xué)生嚴密的推理能力及抽象思維能力的好素材。二、教學(xué)目標1.知識與技能目標 （1）了解不完全歸納法屬于合情推理，而由合情推理得出的一般結(jié)論未必正確。（2）能以遞推思想為指導(dǎo)， 理解數(shù)學(xué)歸納的原理與實質(zhì)（3）掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的與整 數(shù)有關(guān)的命題2.過程與方法目標（1）通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴密的邏輯推理能力。（2）借助“多米諾骨牌”讓學(xué)生體會類比的思想。（3）感受從有限思維發(fā)展到無限思維的思考過程。3.情感態(tài)度價值觀（1）利用多米諾骨牌，努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅情境，提高學(xué)生學(xué)習的興趣和課堂效率。 （2）通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹、實事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神。三、教學(xué)重難點1.重 點理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟，初步會用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)恒等式。2.難 點對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴密性與有效性。四、教學(xué)手段與方法多媒體輔助，采用情境教學(xué)法、類比教學(xué)法、自主探究、合作交流的教學(xué)模式，問題探究和啟發(fā)式相結(jié)合的教學(xué)方法。五、教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)問題情境（1）法國數(shù)學(xué)家費馬觀察到：都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如 （n）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是著名的費馬猜想。半個世紀以后，數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個費馬數(shù)不是質(zhì)數(shù),從而推翻了費馬的猜想。這告訴我們，由合情推理所獲得的結(jié)論不一定可靠。（2）提出數(shù)學(xué)問題數(shù)列，已知，通過對1,2,3,4前四項的歸納，我們能否猜想出通項公式？設(shè)計意圖：借助數(shù)學(xué)史料，引導(dǎo)學(xué)生體會歸納法，并回顧之前學(xué)習，了解不完全歸納法的局限性，同時肯定它的價值和意義。提出問題，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想的意識和數(shù)學(xué)概括能力概括能力是思維能力的核心魯賓斯坦指出：思維都是在概括中完成的心理學(xué)認為“遷移就是概括”，我所找的突破口就是學(xué)生的概括過程。剛才我們從有限項歸納猜想得到的通項公式一定是正確的嗎？怎么去驗證？正整數(shù)有無限多個，不可能一一驗證，那么該如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？我們要尋求一種方法：通過有限步驟推理，證明取所有正整數(shù)都成立。引出數(shù)學(xué)歸納法。設(shè)計意圖：怎么驗證不完全歸納法所得結(jié)論，構(gòu)造懸念，激發(fā)學(xué)生探究問題的欲望，問題層層遞進，為學(xué)生營造探究的課堂氛圍。特點是師生互動，學(xué)生能積極參與。（3）演示多米諾骨牌游戲，分解過程，引導(dǎo)學(xué)生思考：多米諾骨牌全部倒下要滿足什么條件設(shè)計意圖：展示多米諾骨牌游戲，活躍課堂氛圍，激發(fā)學(xué)生的興趣。這里從生活中多米諾骨牌引入，使抽象的原理寓于簡單的事例當中，通俗易懂，讓學(xué)生觀察多米諾骨牌倒下過程，將抽象的數(shù)學(xué)找到現(xiàn)實的固著點，形象化的展示，通過探討骨牌全部倒下的條件，初步嘗試，感性認識，為類比得出數(shù)學(xué)歸納法做鋪墊。2、類比探究你認為證明數(shù)列的通項公式是這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？設(shè)計意圖：把問題作為教學(xué)的出發(fā)點，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會類比，激起學(xué)生探究熱情，讓學(xué)生將生活例子回歸理性，幫助學(xué)生積極思考，主動構(gòu)建新知識。 類比“多米諾骨牌”的原理來驗證情境1中對于通項公式猜想，設(shè)想將全部正整數(shù)由小到大依次排列為無限長一隊，將多米諾骨牌原理中的第一塊骨牌倒下對應(yīng)于驗證猜想成立，第塊倒下，使第塊倒下對應(yīng)于當時猜想成立，即，那么能推出時等式也成立，那么，這樣，對于猜想，時等式成立時等式成立時等式成立所以取任何正整數(shù)猜想都成立，即數(shù)列的通項公式是設(shè)計意圖：使學(xué)生經(jīng)歷一次數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)的完整過程，并進一步熟悉數(shù)學(xué)歸納法。3、概念新知上面這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法一般被用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，下面請同學(xué)們總結(jié)一下用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟。學(xué)生交流后，共同總結(jié)：（1）證明當取第一個值（例如或2等）時結(jié)論正確；（2）假設(shè)當（，且）時結(jié)論正確，證明當時結(jié)論也正確。根據(jù)（1）和（2），可知命題對從開始的所有正整數(shù)都正確。概括起來就是“兩個步驟，一個結(jié)論?！?設(shè)計意圖：方法的提煉事實是對一種模式的提煉，通過對引例數(shù)學(xué)問題的解決過程的體驗，學(xué)生由感性認識上升為理性認識，感受數(shù)學(xué)思維的嚴密性，理解類比在我們解決問題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生合作交流和歸納抽象的能力。4、提問質(zhì)疑，理解升華問題1：數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟各起到了怎樣的作用呢？問題2：第一步中起點可作適當偏移。如邊形內(nèi)角和問題3：這一思想方法在生活中由應(yīng)用嗎？（比如火車開動）設(shè)計意圖：問題1,2讓學(xué)生更深刻的了解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，問題3通過舉例子，讓學(xué)生進一步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活之間的聯(lián)系和類比，增進對數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣。5、鞏固新知，規(guī)范步驟例：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 設(shè)計意圖：讓學(xué)生應(yīng)用中感受數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)，同時注意學(xué)生在書寫表達上是否規(guī)范。6、小結(jié)（師生共同完成）（1）數(shù)學(xué)歸納法能解決哪些問題？（與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明）（2）數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是什么？（兩步驟一結(jié)論）（3）它的核心思想是什么？（無窮遞推）設(shè)計意圖：通過學(xué)生的學(xué)后總結(jié)與反思，是知識得以內(nèi)化的必要過程.7、布置作業(yè)選修2-2第96頁習題2.3 A組思考題（為進一步深入學(xué)