七年級數學下冊 第七章 相交線與平行線 7.2 相交線 知識學習：數學文化素材 （新版）冀教版

知識學習：數學文化數學作為一種文化現象，早已是人們的常識。歷史地看，古希臘和文藝復興時期的文化名人，往往本身就是數學家。最著名的如柏拉圖和達芬奇。晚近以來，愛因斯坦、希爾伯特、羅素、馮諾依曼等文化名人也都是20世紀數學文明的締造者。數學文化的存在價值在即將公布的高中數學課程標準中，數學文化是一個單獨的板塊，給予了特別的重視。許多老師會問為什么要這樣做？一個重要的原因是，20世紀初年的數學曾經存在著脫離社會文化的孤立主義傾向，并一直影響到今天的中國。數學的過度形式化，使人錯誤地感到數學只是少數天才腦子里想象出來的“自由創(chuàng)造物”，數學的發(fā)展無須社會的推動，其真理性無須實踐的檢驗，當然，數學的進步也無須人類文化的哺育。于是，西方的數學界有“經驗主義的復興”。懷特（l.a.white）的數學文化論力圖把數學回歸到文化層面?？巳R因（m.kline）的古今數學思想、西方文化中的數學、數學：確定性的喪失相繼問世，力圖營造數學文化的人文色彩。國內最早注意數學文化的學者是北京大學的教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的數學與文化，匯集了一些數學名家的有關論述，也記錄了從自然辯證法研究的角度對數學文化的思考。稍后出版的有齊民友的數學與文化，主要從非歐幾何產生的歷史闡述數學的文化價值，特別指出了數學思維的文化意義。鄭毓信等出版的專著數學文化學，特點是用社會建構主義的哲學觀，強調“數學共同體”產生的文化效應。以上的著作以及許多的論文，都力圖把數學從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來，重點是分析數學文明史，充分揭示數學的文化內涵，肯定數學作為文化存在的價值。認識和實施數學文化教育進入21世紀之后，數學文化的研究更加深入。一個重要的標志是數學文化走進中小學課堂，滲入實際數學教學，努力使學生在學習數學過程中真正受到文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位，體察社會文化和數學文化之間的互動。那么，如何在中小學數學教學中進行數學文化教育呢？筆者認為應該從以下幾個方面加以認識和實施。認識數學文化的民族性和世界性每個民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個文化的數學。古希臘的數學和中國傳統數學都有輝煌的成就、優(yōu)秀的傳統。但是，它們之間有著明顯的差異。古希臘和古代中國的不同政治文明孕育了不同的數學。古希臘是奴隸制國家。當時希臘的雅典城邦實行奴隸主的民主政治（廣大奴隸不能享受這種民主）。男性奴隸主的全體大會選舉執(zhí)政官，對一些戰(zhàn)爭、財政大事實行民主表決。這種政治文明包含著某些合理的因素。奴隸主之間講民主，往往需要用理由說服對方，使學術上的辯論風氣濃厚。為了證明自己堅持的是真理，也就需要證明。先設一些人人皆同意的“公理”，規(guī)定一些名詞的意義，然后把要陳述的命題，稱為公理的邏輯推論。歐氏的幾何原本正是在這樣的背景下產生的。中國在春秋戰(zhàn)國時期也有百家爭鳴的學術風氣，但是沒有實行古希臘統治者之間的民主政治，而是實行君王統治制度。春秋戰(zhàn)國時期，也是知識分子自由表達見解的黃金年代。當時的思想家和數學家，主要目標是幫助君王統治臣民、管理國家。因此，中國的古代數學，多半以“管理數學”的形式出現，目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計算稅收、運輸糧食等國家管理的實用目標。理性探討在這里退居其次。因此，從文化意義上看，中國數學可以說是“管理數學”和“木匠數學”，存在的形式則是官方的文書。古希臘的文化時尚，是追求精神上享受，以獲得對大自然的理解為最高目標。因此，“對頂角相等”這樣的命題，在幾何原本里列入命題15，借助公理3（等量減等量，其差相等）給予證明。在中國的數學文化里，不可能給這樣的直觀命題留下位置。同樣，中國數學強調實用的管理數學，卻在算法上得到了長足的發(fā)展。負數的運用、解方程的開根法，以及楊輝（賈憲）三角、祖沖之的圓周率計算、天元術那樣的精致計算課題，也只能在中國誕生，而為古希臘文明所輕視。我們應當充分重視中國傳統數學中的實用與算法的傳統，同時又必須吸收人類一切有益的數學文化創(chuàng)造，包括古希臘的文化傳統。當進入21世紀的時候，我們作為地球村的村民，一定要溶入世界數學文化，將民族性和世界性有機地結合起來。揭示數學文化內涵，走出數學孤立主義的陰影數學的內涵十分豐富。但在中國數學教育界，常常有“數學=邏輯”的觀念。據調查，學生們把數學看作“一堆絕對真理的總集”，或者是“一種符號的游戲”。“數學遵循記憶事實-運用算法-執(zhí)行記憶得來的公式-算出答案”的模式1，“數學=邏輯”的公式帶來了許多負面影響。正如一位智者所說，一個充滿活力的數學美女，只剩下一副x光照片上的骨架了！數學的內涵，包括用數學的觀點觀察現實，構造數學模型，學習數學的語言、圖表、符號表示，進行數學交流。通過理性思維，培養(yǎng)嚴謹素質，追求創(chuàng)新精神，欣賞數學之美。半個多世紀以前，著名數學家柯朗（r.courant）在名著數學是什么的序言中這樣寫道：“今天，數學教育的傳統地位陷入嚴重的危機。數學教學有時竟變成一種空洞的解題訓練。數學研究已出現一種過分專門化和過于強調抽象的趨勢，而忽視了數學的應用以及與其他領域的聯系。教師學生和一般受過教育的人都要求有一個建設性的改造，其目的是要真正理解數學是一個有機整體，是科學思考與行動的基礎?！?002年8月20日，丘成桐接受東方時空的采訪時說：“我把史記當作歌劇來欣賞”，“由于我重視歷史，而歷史是宏觀的，所以我在看數學問題時常常采取宏觀的觀點，和別人的看法不一樣?！边@是一位數學大家的數學文化闡述。文匯報2002年8月21日摘要刊出錢偉長的文章哥丁根學派的追求，其中提到：“這使我明白了：數學本身很美，然而不要被它迷了路。應用數學的任務是解決實際問題，不是去完善許多數學方法，我們是以解決實際問題為己任的。從這一觀點上講，我們應該是解決實際問題的優(yōu)秀屠夫，而不是制刀的刀匠，更不是那種一輩子欣賞自己的刀多么鋒利而不去解決實際問題的刀匠?！边@是一個力學家的數學文化觀。和所有文化現象一樣，數學文化直接支配著人們的行動。孤立主義的數學文化，一方面拒人于千里之外，使人望數學而生畏；另一方面，又孤芳自賞，自言自語，令人把數學家當成“怪人”。學校里的數學，原本是青少年喜愛的學科，卻成為過濾的“篩子”、打人的“棒子”。優(yōu)秀的數學文化，會是美麗動人的數學王后、得心應手的仆人、聰明伶俐的寵物。伴隨著先進的數學文化，數學教學會變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。多側面地開展數學文化研究談到數學文化，往往會聯想到數學史。確實，宏觀地觀察數學，從歷史上考察數學的進步，確實是揭示數學文化層面的重要途徑。但是，除了這種宏觀的歷史考察之外，還應該有微觀的一面，即從具體的數學概念、數學方法、數學思想中揭示數學的文化底蘊。以下將闡述一些新視角，力求多側面地展現數學文化。1.數學和文學。數學和文學的思考方法往往是相通的。舉例來說，中學課程里有“對稱”，文學中則有“對仗”。對稱是一種變換，變過去了卻有些性質保持不變。軸對稱，即是依對稱軸對折，圖形的形狀和大小都保持不變。那么對仗是什么？無非是上聯變成下聯，但是字詞句的某些特性不變。王維詩云：“明月松間照，清泉石上流”。這里，明月對清泉，都是自然景物，沒有變。形容詞“明”對“清”，名詞“月”對“泉”，詞性不變。其余各詞均如此。變化中的不變性質，在文化中、文學中、數學中，都廣泛存在著。數學中的“對偶理論”，拓撲學的變與不變，都是這種思想的體現。文學意境也有和數學觀念相通的地方。徐利治先生早就指出：“孤帆遠影碧空盡”，正是極限概念的意境。2.歐氏幾何和中國古代的時空觀。初唐詩人陳子昂有句云：“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下?！边@是時間和三維歐幾里得空間的文學描述。在陳子昂看來，時間是兩頭無限的，以他自己為原點，恰可比喻為一條直線。天是平面，地是平面，人類生活在這悠遠而空曠的時空里，不禁感慨萬千。數學正是把這種人生感受精確化、形式化。詩人的想象可以補充我們的數學理解。3.數學與語言。語言是文化的載體和外殼。數學的一種文化表現形式，就是把數學溶入語言之中?！安还苋叨弧鄙婕俺朔谠E，“三下二除五就把它解決了”則是算盤口訣。再如“萬無一失”，在中國語言里比喻“有絕對把握”，但是，這句成語可以聯系“小概率事件”進行思考。“十萬有一失”在航天器的零件中也是不允許的。此外，“指數爆炸”“直線上升”等等已經進入日常語言。它們的含義可與事物的復雜性相聯系（計算復雜性問題），正是所需要研究的?！笆聵I(yè)坐標”“人生軌跡”也已經是人們耳熟能詳的詞語。4.數學的宏觀和微觀認識。宏觀和微觀是從物理學借用過來的，后來變成一種常識性的名詞。以函數為例，初中和高中的函數概念有變量說和對應說之分，其實是宏觀描述和微觀刻畫的區(qū)別。初中的變量說，實際上是宏觀觀察，主要考察它的變化趨勢和性態(tài)。高中的對應則是微觀的分析。在分段函數的端點處，函數值在這一段，還是下一段，差一點都不行。政治上有全局和局部，物理上有牛頓力學與量子力學，電影中有全景和細部，國畫中有潑墨山水畫和工筆花鳥畫，其道理都是一樣的。是否要從這樣的觀點考察函數呢？5.數學和美學?！?/2+1/3=2/5？”是不是和諧