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文檔簡介
一、定義描述(8)1、群:設(shè)G是一個非空集合, 是它的一個代數(shù)運(yùn)算。如果滿足以下條件: (1)結(jié)合律成立,即對G中任意元素a,b,c都有(a b) c = a (b c). (2)G中有元素e.叫做G的左單位元,它對G中每個元素a都有e a = a . (3)對G中每個元素a,在G中都有元素a-1,叫做a的左逆元,使a-1 a = e . 則稱G對代數(shù)運(yùn)算 做成一個群。2、正規(guī)子群:設(shè)N是群G的一個子群,如果對G中每個元素a都有 aN=Na,即 aNa-1=N ,則稱N是群G的一個正規(guī)子群(或不變子群)。3、環(huán):設(shè)非空集合R有兩個代數(shù)運(yùn)算,一個叫做加法并用加號 + 表示,另一個叫做乘法用乘號表示,如果: (1)R對加法作成一個加群; (2)R對乘法滿足結(jié)合律:(ab)c = a(bc); (3)乘法對加法滿足左右分配率:a(b+c)= ab + ac ,(b+c)a = ba + ca . 其中a,b,c為R中任意元素,則稱R對這兩個代數(shù)運(yùn)算作成一個環(huán)。4、極大理想:設(shè)N是環(huán)R的一個理想,且NR .如果除R和N外,R中沒有包含N的其它理想,則稱N為環(huán)R的一個極大理想。5、惟一分解整環(huán):設(shè)K是有單位元的整環(huán)。如果K中每個既不是零又不是單位的元素都能惟一分解,則稱K為惟一分解整環(huán)。整數(shù)環(huán)Z及域F上多項(xiàng)式環(huán)F x 都是惟一分解整環(huán)。 6、歐氏環(huán):設(shè)K是一個有單位元的整環(huán),如果 (1)有一個從K的非零元集K 0到非負(fù)整數(shù)集的映射存在; (2)這個對K中任意元素a及b0,在K中 有元素q,r使a=bq + r,r=0或(r)(b),則稱R關(guān)于作成一個歐氏環(huán)。-7、素理想:設(shè)R是一個交換環(huán),P R .如果abP = aP或bP,其中a,bR,則稱P是R的一個素理想。顯然,環(huán)R本身是R的一個素理想;又零理想 0是R的素理想當(dāng)且僅當(dāng)R無零因子,亦即R是一個整環(huán)。8、主理想:設(shè)R是一個環(huán),任取aR,R中包含a的全部理想的交也是R的一個理想,且是R的包含元素a的最小理想,并稱其為R的由a生成的主理想,記為 .9、理想:設(shè)N是環(huán)R的一個子加群,即對N中任意元素a,b,差a-b仍屬于N,如果又有 rR,aN = raN,則稱N是環(huán)R的一個左理想;如果 rR,aN = arN,則稱N是環(huán)R的一個右理想;如果N既是R的左理想又是右理想,則稱N是環(huán)R的一個雙邊理想,簡稱理想,并用符號N R表示。否則記為N R .10、商群:群G的正規(guī)子群N的全體陪集對于陪集的乘法作成一個群,稱為G關(guān)于N的商群,記為G/N .11、主理想環(huán):設(shè)K是一個有單位元的整環(huán)。如果K的每一個理想都是一個主理想,則稱K是一個主理想整環(huán)。整數(shù)環(huán)和域F上的多項(xiàng)式環(huán)F x都是主理想整環(huán)。但是,整數(shù)環(huán)Z上的多項(xiàng)式環(huán)Z x不是一個主理想整環(huán)。二、填空(30)1、集合M的一個分類決定M的一個等價關(guān)系。2、集合M的一個等價關(guān)系決定M的一個分類。3、設(shè)G是一個半群,則G作為成群的充要條件是,對G中任意元素a、b,方程ax=b , ya=b在G中都有解。4、群G的一個非空子集H作成子群的充要條件是: (1)a,bH = abH ; (2)aH = a-1H.5、設(shè)H,k是群G的兩個子群,則HKG HK=KH.6、整數(shù)加群Z是無限循環(huán)群。7、無限循環(huán)群有兩個生成元,即a與a-1;n階循環(huán)群有(n)個生成元,其中(n)為Euler函數(shù)。例如,4、5、6階循環(huán)群分別有(4)=2 ,(5)=4 ,(6)=2 個生成元。8、設(shè)是任意一個循環(huán)群。 (1)若|a|=,則與整數(shù)加群Z同構(gòu); (2)若|a|=n,則與n次單位根群Un 同構(gòu)。9、循環(huán)群的子群仍為循環(huán)群。10、不相連循環(huán)相乘時可以交換。11、k循環(huán)的階為k;不相連循環(huán)乘積的階為各因子的階的最小公倍。12、(J.L.Lagrange,17361813)設(shè)H是有限群G的一個子群,則|G|=|H|(G:H).從而任何子集的階和指數(shù)都是群G的階的因數(shù)。13、有限群中每個元素的階都整除群的階。14、左陪集的重要性質(zhì) (1)aaH . (2)aH aH=H . (3)baH aH=bH . (4)aH=bH,即a與b同在一個左陪集中 a-1bH(或b-1aH)。 (5)若aHbH,則aH=bH .對任二陪集來說,要么相等要么無公共元素。15、循環(huán)群的商群也是循環(huán)群。16、(第一同構(gòu)定理)設(shè)是群G到G的一個同態(tài)滿射,又Ker N G,N=(N), 則G/N G/N .17、(第二同構(gòu)定理)設(shè)G是群,又HG,N G .則HN H,并且HN/NH/(HN) .18、(第三同構(gòu)定理)設(shè)G是群,又N G,HG/N .則 (1)存在G的惟一子群H N,且H=H/N ; (2)又當(dāng)H G/N時,有惟一的H G使H=H/N且G/HG/NH/N .19、設(shè)G是一個群,aG,則(1)a:x axa-1 (xG)是G的一個自同構(gòu),稱為G的一個內(nèi)自同構(gòu);(2)G的全體內(nèi)自同構(gòu)作成一個群,稱為群G的內(nèi)自同構(gòu)群,記為Inn G;(3)Inn G Aut G .20、環(huán)R的非空子集S作成子環(huán)的充要條件是:a,bS = a - bS , a,bS = abS .21、如果p是素?cái)?shù),則環(huán)Zp是一個域;如果n是合數(shù),則環(huán)Zn有零因子,從而不是域。22、(環(huán)同態(tài)基本定理)設(shè)R與R是兩個環(huán),且R R . 則(1)這個同態(tài)核N,即零元的全體逆象,是R的一個理想;(2)R/N R23、設(shè)P是交換環(huán)R的一個理想。則P是R的素理想的充分與必要條件是,商環(huán)R/P無零因子,即為整環(huán)。24、整數(shù)環(huán)Z的理想N是Z的極大理想,當(dāng)且僅當(dāng)N是由素?cái)?shù)生成的理想。25、整環(huán)K中的元素一定是不可約元。26、設(shè)K是任意一個惟一分解整環(huán)。則p是K的元素當(dāng)且僅當(dāng)p是K的不可約元。27、設(shè)K是有單位元的整環(huán)。如果(1)K中每個既不是零又不是單位的元素都可分為不可約元的乘積;(2)K中的不可約元都是素元;則K是一個惟一分解整環(huán)。28、Gauss整環(huán)Z i是主理想整環(huán)。29、整數(shù)環(huán)Z是歐氏環(huán)。30、域F上多項(xiàng)式環(huán)F x是一個歐氏環(huán)。31、歐氏環(huán)必是主理想環(huán),因而是惟一分解整環(huán)。(反之不成立)32、主理想整環(huán)是惟一分解整環(huán)。(反之不成立)33、群G中關(guān)于子群H的互異的左(或右)陪集的個數(shù),叫做H在G里的指數(shù),記(G:H).34、設(shè)pK .p0,且p不是單位。如果p|ab就必有p|a或p|b,則稱p是K的一個元素。35、同態(tài):反身、傳遞 (不滿足對稱) ; 同構(gòu):反身、傳遞、對稱。例一、設(shè)=(14)(235),=(153)(24). 求-1 =? 解:由定理可知: -1 = (1)(5)(3)(2)(4) = (425)(24).例二、證明:K=(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23) 作成交代群A4 的一個交換子群。這個群(以及與其同構(gòu)的群)稱為Klein(C.L.Klein,1849-1925)四元群。證 顯然K4 中的置換全為偶置換,而且除恒等置換外其余三個置換的階都是2,而且其中任二個相乘等于第三個,即K4 對置換的乘法封閉。從而K4 是A4的一個子群,且顯然是一個交換子群。 (證畢)例三、證明:Z i=a + bi|a,bZ 作成一個有單位元的整環(huán)(這個環(huán)稱為Gauss整環(huán)),并 且其單位群是1,i . 證 Z i 作成有單位元的整環(huán)顯然。又顯然1,i均為其單位。下證:Z i 沒有別 的單位。 設(shè)=a + bi 是Z i的任一單位,則有 Z i 使 =1,|2|2 =1 . 這只有|2 =a2 + b2=1,從而只有a=1,b=0;或a=0,b=1 . 即只能是1及i . 因此,1和i是環(huán)Z i 的全部單位。故 U(Z i )=1,i .例四、在模8剩余類環(huán)Z8 中 ,令= 0 , 4 ,=0 , 2 ,4 , 6 ,則不是Z8的素理想 (因?yàn)?2=4,但是2),也不是Z8的極大理想(因?yàn)?Z8). 但是,易知既是Z8的素理想也是Z8的極大理想。例五、設(shè)G= 為6階循環(huán)群。給出G的一切生成元和G的所有子群。 解: a,a5 ; (6)=2 .例六、試求下列各置換的階:1=(1378)(24);【4】 2=(1372)(234);【6】 3= 1 2 3 4 5 6 6 4 1 5 2 3 ;【3】 4= 1 2 3 4 5 6 7 5 7 6 3 1 4 2 ;【6】例七、設(shè)=(327)(26)(14),=(134)(57). 則 -1 = (13)(2654) ; -1 =(265)(34) . 三、判斷(10)1、在環(huán)R中,當(dāng)a不是左零因子時,則 ab =ac ,a0 = b=c ; (1) 當(dāng)a不是右零因子時,則 ba= ca ,a0 = b=c . (2)2、無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)
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