本第二章-2控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型VIP

控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型,第二章,本課程討論的主要內(nèi)容：,系統(tǒng),輸入,輸出,？,穩(wěn)定性,快速性,準確性,第一節(jié)控制系統(tǒng)的運動微分方程第二節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第三節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化第四節(jié)考慮擾動的反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),控制系統(tǒng)的動態(tài)數(shù)學(xué)模型,為了分析某一物理系統(tǒng)的特性，就必須對這個系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)表達式。如果將物理系統(tǒng)在信號傳遞過程中的動態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達式描述出來，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,可見，分析和設(shè)計系統(tǒng)，首先的任務(wù)就是要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。,經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而以物理定律及實驗規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。,靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。反映系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。,動態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。描述動態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過渡態(tài)特性的模型。,常用的數(shù)學(xué)模型：微分方程、傳遞函數(shù)、狀態(tài)空間方程等。,本質(zhì)：是表示輸入和輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)關(guān)系式。,機械系統(tǒng)：牛頓力學(xué)定律,電學(xué)系統(tǒng)：基爾霍夫電壓電流定律、電容、電感電路，運算放大器原理，晶體管原理等。,機電系統(tǒng)：電動機的特性方程。,（一）知識回顧：,牛頓第二定律：,第一節(jié)控制系統(tǒng)的運動微分方程,胡克定律：,阻尼定律：,在機械系統(tǒng)中，線性粘性阻尼是最常用的一種阻尼模型。阻尼力F的大小與運動質(zhì)點的速度的大小成正比，方向相反，c為粘性阻尼系數(shù)，其數(shù)值須由振動試驗確定。,轉(zhuǎn)動慣量定理：轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量一樣，是回轉(zhuǎn)物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性，用字母J表示。轉(zhuǎn)動慣量，分析實際情況中的作用相當于牛頓運動平動分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。,轉(zhuǎn)動慣量定理：,其中,M是扭轉(zhuǎn)力矩（扭矩也叫轉(zhuǎn)矩）J是轉(zhuǎn)動慣量,是角加速度,阻性元件：,感性元件：,容性元件：,基爾霍夫電壓定理：電網(wǎng)絡(luò)中的閉合回路中電勢的代數(shù)和等于沿回路的電壓降的代數(shù)和。,運算放大器：其信號輸入輸出功率很小，增益很大，通常位于電路的前端。,兩個重要特征：同相端和反相端電壓相等（虛短）；同相端和反相端的輸入電流近似為零（虛斷）,在沒有外接元件的情況下，運算放大器就是個比較器，同相端電壓高的時候，會輸出近似于正電壓的電平，反之也一樣只有在外接電路的時候，構(gòu)成反饋形式，才會使運放有放大，翻轉(zhuǎn)等功能,電樞控制式直流電動機,電動機轉(zhuǎn)矩：,反電動勢：,（二）建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程；消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；標準化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列,例1兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò),（1）明確系統(tǒng)的輸入和輸出,輸入,輸出,（2）列出各環(huán)節(jié)的微分方程,已知：輸入、系統(tǒng),未知：輸出,三個未知量三個方程,例2,直流電動機,(1)輸入：,輸出：,(2)列方程：,其中，,例3,例4,求輸入為力，輸出位移,輸入位移輸出位移,A,在A點力平衡：,B,在B點力平衡：,消去中間變量難,輸入輸出,中間變量消除困難,如圖所示為汽車懸掛系統(tǒng)原理圖,當汽車在道路上形勢時，輪胎的垂直位移是一個運動激勵，作用在汽車的懸掛系統(tǒng)上。該系的運動由質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動組成。建立在垂直方向上的運動的簡化數(shù)學(xué)模型。設(shè)汽車輪胎的垂直位移為輸入量，車體垂直運動為輸出量。,圖所示是組合機床動力滑臺銑平面時的情況。當切削力變化時，滑臺可能產(chǎn)生振動，從而降低被加工工件的表面質(zhì)量。,為了分析這個系統(tǒng)，首先將動力滑臺連同銑刀抽象成質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)。,（三）、非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的線性化,線性系統(tǒng),可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的線性系統(tǒng)系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)；,非線性系統(tǒng),用非線性微分方程描述的系統(tǒng)。,疊加原理說明，兩個不同的輸入函數(shù)，同時作用于系統(tǒng)的響應(yīng)，等于兩個輸入函數(shù)單獨作用的響應(yīng)之和。因此，線性系統(tǒng)對幾個輸入量的響應(yīng)，可以一個一個的處理，然后對它們的響應(yīng)結(jié)果進行疊加。,線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：,判斷下列微分方程,(6),式中，nm;an、bm均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的定常數(shù)。（n，m=0、1、2、3）,設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入為x(t)，輸出為y(t)，描述系統(tǒng)的微分方程的一般形式為:,機械控制系統(tǒng)的動態(tài)性能往在是用非線性微分方程來表示的，而非線性的微分方程式無一般解法；為研究分析問題的方便，常根據(jù)實際工程問題的情況將其進行線性化處埋，改非線性微分方程式為某參考點附近的增量線性微分方程式。,實例：單擺運動線性化,解：根據(jù)牛頓第二定律：,拉氏變換和拉氏反變換,補充,微分方程代數(shù)方程,一、拉氏變換及其特性,（一）拉氏變換的定義,時間函數(shù)f(t)，當t0時，f(t)=0，t0時，f(t)的拉氏變換計為Lf(t)或F(s)，且定義為,式中s=+j,L為拉氏變換運算符。通常稱f(t)為原函數(shù)、F(s)為拉氏變換函數(shù)或原函數(shù)的象函數(shù)。,虛數(shù)單位,表2-1常用函數(shù)的拉氏變換對照表,根據(jù)表格直接寫出結(jié)果,（二）、拉氏變換的主要定理,1線性定理,2.延遲定理,對任一正實數(shù)a,3.位移定理,（實數(shù)或復(fù)數(shù)a）,4.相似定理,5微分定理,式中f(0+)表示當t在時間坐標軸的右端趨于零時的f(t)值，相當于初始條件。,式中f(0+)、f(1)(0+)、f(n-2)(0+)、f(n-1)(0+)分別為各階導(dǎo)數(shù)在t時間坐標軸的右端趨于零時的f(t)值，如果所有這些初值為零，則,例試求下面微分方程式的拉氏變換式已知各階導(dǎo)數(shù)初值為零。,解：利用線性定理和微分定理，可得,6.積分定理,式中為在t時間坐標軸的右端趨于零時的f(t)的值，相當于初始條件。,式中f(-1)(0+)、f(-2)(0+)、f(-n)(0+)為式中f(t)的各重積分在t=0+時的值，如果這些初值為零，則有,7初值定理,8終值定理,例：已知，求f(t)的終值。,二、拉氏反變換及其計算方法,（一）拉氏反變換的定義,式中，r為大于F(s)的所有奇異點實部的實常數(shù)。所謂奇異點，即F(s)在該點不解析，也就是F(s)在該點及其鄰域不處處可導(dǎo)。,已知象函數(shù)F(s)，求出與之對應(yīng)的原函數(shù)f(t)就稱為拉氏反變換，計作,(二).拉氏反變換的計算方法,1.查表法,2.部分分式展開法,(利用逆變化的線性原理),控制工程中，象函數(shù)F(s)通?？梢员硎居欣矸质叫问?為實數(shù),稱留數(shù),留數(shù)的方法可分為下面三種情況研究。,(1).不同實數(shù)極點情況的求法,例1求的拉氏反變換。,解：,查表：,(2).包含有共軛極點的情況,使上式兩邊的實數(shù)部分相等，得到一個方程。同樣，使方程兩邊的虛數(shù)部分相等，得到另一個方程，根據(jù)這兩個方程就可以確定1和2。,例2求的拉氏反變換。,由此得：,(3).包含有多重極點的情況,有r個多重極點,下面得到的就是F(s)的拉普拉斯反變換：,的拉氏反變換是由下式,例2-13求的拉氏反變換,解：,因而上式拉氏反變換為,將A1、A2、B1、B2代入前面方程得,一、傳遞函數(shù)的概念,第二節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),當全部初始條件為零時（輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t0時，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0），輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入為，輸出為，描述系統(tǒng)的微分方程的一般形式為:,兩邊拉氏變換,特征方程,令傳遞函數(shù)分母等于零等到的方程稱為系統(tǒng)的特征方程，特征根。,當s=0時系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益,從微分方程的角度看，此時相當于所有的導(dǎo)數(shù)項都為零。K系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。,二、幾個概念,放大系數(shù),的根,，稱為傳遞函數(shù)的零點；,的根,，稱為傳遞函數(shù)的極點；,！系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。！零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)！,零點、極點,零、極點分布圖,傳遞函數(shù)的零、極點分布圖：,將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復(fù)平面上的圖形。,零點用“O”表示極點用“”表示,傳遞函數(shù)分母多項式中s的最高冪數(shù)代表了系統(tǒng)的階數(shù)，如s的最高冪數(shù)為n則該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。,說明在復(fù)數(shù)域內(nèi)，輸入信號乘以傳遞函數(shù)就是輸出信號。傳遞函數(shù)代表了系統(tǒng)對輸入和輸出的傳遞關(guān)系。,系統(tǒng)階次,例試寫出具有下述微分方程式的傳遞函數(shù)。,（）,（）,解：按（2-53）式，則傳遞函數(shù)為,（）,（）,三、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù),環(huán)節(jié):具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。,假設(shè)系統(tǒng)有b個實零點，c對復(fù)零點，d個實極點，e對復(fù)極點和v個零極點，由線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零、極點表達式,比例環(huán)節(jié)：,一階微分環(huán)節(jié)：,二階微分環(huán)節(jié)：,積分環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié)：,振蕩環(huán)節(jié)：,一般，任何線性系統(tǒng)都可以看作是由上述六種因子表示的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)組合。上述六種典型環(huán)節(jié)分別稱為：,實際系統(tǒng)中還存在純時間延遲現(xiàn)象，輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，但延遲了時間,此時,因此，除了上述六種典型環(huán)節(jié)外，還有一類典型環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié),1、比例環(huán)節(jié)Proportionallink,輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。,其運動方程為,分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；,比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。,兩邊取拉氏變換得,2、慣性環(huán)節(jié),凡運動方程為一階微分方程,形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為：,式中,K環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；,T時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。,如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié),3、微分環(huán)節(jié)Differentiallink,一階微分環(huán)節(jié),運動方程：,二階微分環(huán)節(jié),式中，T為常數(shù)；x為阻尼比。,理想微分,如：測速發(fā)電機,無負載時,式中為電機常數(shù)。,無源微分網(wǎng)絡(luò),顯然，無源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當|Ts|1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。,微分電路,4、積分環(huán)節(jié)Integrallink,輸出量正比于輸入量對時間的積分。,運動方程為：,傳遞函數(shù)為：,式中，T積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。,例如圖所示的油缸，其輸入為流量q，輸出為油缸活塞的位移x，試寫出其傳遞函數(shù)。,液壓積分環(huán)節(jié),解：活塞的速度為,所以位移,式中A活塞的面積,對上式取拉氏變換，并整理，則得其傳遞函數(shù)為：,注意：位移對流量來說是積分環(huán)節(jié)，而速度對流量來說，則是一個比例環(huán)節(jié)。因此對一個具體的物理系統(tǒng)而言，究竟是屬于那一個環(huán)節(jié)，要看確定出輸入量與輸出量后的傳遞函數(shù)而定。,例如圖所示的無源網(wǎng)絡(luò)，輸入量為回路電流i,而輸出量為uc，試寫出其傳遞函數(shù)。,電氣積分環(huán)節(jié),解：電容器充電電流i與電容器兩端的電壓uc關(guān)系為,進行拉氏變換得傳遞函數(shù)為,含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，,5、振蕩環(huán)節(jié)Second-orderlink,運動方程為：,傳遞函數(shù)為：,式中，,T振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù),阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，01,K比例系數(shù),振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標準形式為（K=1）：,稱為無阻尼固有角頻率。,x,x,如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng),傳遞函數(shù)：,6、延時環(huán)節(jié)Delaylink,運動方程：,傳遞函數(shù)：,式中，為純延遲時間。,延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：,慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；,延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0時間內(nèi),沒有輸出，但t=之后，輸出等于之前時刻的輸入。,小結(jié),環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；,一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成,同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。,第三節(jié)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化,一、傳遞函數(shù)方框圖,概念：一個系統(tǒng)可由若干個環(huán)節(jié)按照一定的關(guān)系組成，將這些環(huán)節(jié)以方框表示，其間用相應(yīng)的變量及信號流向聯(lián)系起來，就構(gòu)成了系統(tǒng)的方框圖。實質(zhì)：是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種圖解方法。,如圖所示，圖中指向框圖單元的箭頭表示輸入，從框圖出來的箭頭表示輸出，箭頭上標明了相應(yīng)的信號，G(s)表示其傳遞函數(shù)。,函數(shù)方框,(一)方框圖的結(jié)構(gòu)要素,如圖2-15所示，比較點代表兩個或兩個以上的輸入信號進行相加或相減的元件，或稱比較器。箭頭上的“+”或“-”表示信號相加還是相減，相加減的量應(yīng)具有相同的量綱。,比較點(相加點),如圖所示，分支點表示信號引出和測量的位置，同一位置引出的幾個信號，在大小和性質(zhì)上完全一樣。,引出點(分支點),(二)系統(tǒng)方框圖的建立,(1)建立系統(tǒng)(或入件)的原始微分方程；,(2)對這些原始微分方程進行拉氏變換，并根據(jù)各拉氏變換式中的因果關(guān)系，繪出相應(yīng)的方框圖；,(3)按照信號在系統(tǒng)中傳遞、變換的過程(即流向)，依次將各傳遞函數(shù)方框圖連接起來(同一變量的信號通路連接在一起)，系統(tǒng)輸入量置于左端，輸出量置于右端，使得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖。,兩級RC濾波網(wǎng)絡(luò),列出各環(huán)節(jié)的微分方程,二、方框圖等效簡化法則,1.串聯(lián)連接各環(huán)節(jié)一個個順序連接稱為串聯(lián),前一框圖的輸出為后一框圖的輸入。G1(s)、G2(s)為各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，綜合后總的傳遞函數(shù)為：,由串聯(lián)環(huán)節(jié)所構(gòu)成的系統(tǒng)，當前后方框之間無負載效應(yīng)時，它的總傳遞函數(shù)等于個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。當系統(tǒng)由n個環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時，總傳遞函數(shù)為：,式中Gi(s)第i個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(i=1，2，n),凡有幾個環(huán)節(jié)的輸入相同，輸出相加或相減的連接形式稱為并聯(lián)。圖2-18為兩個環(huán)節(jié)的并聯(lián)，共同的輸入為X(s)，總輸出為:,總的傳遞函數(shù)為,2.并聯(lián)連接,并聯(lián)環(huán)節(jié)所構(gòu)成的總傳遞函數(shù)，等于各個并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和（或差）。推廣到n個環(huán)節(jié)并聯(lián)，其總的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和，即,式中Gi(s)第i個并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)(i=1，2，n),反饋信號與輸入信號相加的稱為“正反饋”，與輸入信號相減的稱為“負反饋”。,由圖可見：,3.反饋連接,式中，傳遞函數(shù)分母的“+”號對應(yīng)于負反饋情況，而“-”號對應(yīng)于正反饋情況。,在前向通路中，所有經(jīng)過的環(huán)節(jié)的乘積?？捎上率接嬎悖?常用的幾個術(shù)語,前向通道,信號沿箭頭方向從輸入直到輸出，并且每一路徑不要重復(fù)的通道。,前向通道傳遞函數(shù),H(s)稱為反饋回路傳遞函數(shù)，它是信號沿著輸出端進入，而回到輸入端時所有經(jīng)過的環(huán)節(jié)乘積，即,反饋回路傳遞函數(shù)：,G(s