流體力學(xué)第十章+邊界層理論.ppt

流體力學(xué),退出,中國科學(xué)文化出版社,第十章邊界層理論,邊界層特性邊界層微分方程平板層流邊界層的微分方程解邊界層積分（動量）方程平板層流邊界層的積分方程解平板紊流邊界層計算平板混合邊界層計算,第一節(jié),第二節(jié),第三節(jié),第四節(jié),第五節(jié),退出,返回,第六節(jié),第七節(jié),退出,返回,第十章邊界層理論,第1頁,實(shí)際流體具有粘性，其流動參量受粘性的影響。對于氣體，其粘性主要是由于不同速度的相鄰流體層間發(fā)生動量交換的結(jié)果。對于液體，粘性主要是由于流體分子間的內(nèi)聚力和附著力引起的。因此，如果相鄰流體微元間存在速度梯度，從而受分子附著力和內(nèi)聚力或?qū)娱g動量交換的作用，就會產(chǎn)生剪切力。剪切力的大小與速度梯度有關(guān)，其比例系數(shù)即為流體的粘性系數(shù)或粘度。單位面積上的剪切力叫做剪切應(yīng)力或稱粘性力。速度梯度大時，粘性力也大，此時的流場稱為粘性流場，可用納維斯托克斯方程式求解；速度梯度很小時，粘性力可以忽略，此時的流場稱為非粘性流場，可以按理想流體來處理，采用歐拉方程求解可使問題大大簡化。無論是流體流過物體，還是物體在流體中運(yùn)動，由于流體的附著作用，在物體表面總有一層與之直接接觸的薄層流體附在其上，它與相鄰的另一層流體之間存在著速度梯度，從而使兩層流體之間產(chǎn)生粘性力。,第一節(jié)邊界層特性,第一節(jié)邊界層特性,退出,第十章邊界層理論,第2頁,如圖10.1所示，平面物體C在靜止的流體中以速度w運(yùn)動，與之接觸的流體薄層A在附著力的作用下，也將以速度w隨物體運(yùn)動。與之相鄰的B層流體，也將在粘性作用下運(yùn)動。但是由于慣性力的作用，B的速度將低于A的速度w，兩者之間存在速度差，也就出現(xiàn)粘性力。,C,B,A,w,w,圖10.1流體粘性對速度分布的影響,同樣，B上面的一層流體，也將被牽引而以更低的速度運(yùn)動。最后出現(xiàn)上圖所示的速度分布?？梢?，越靠近物體表面，速度梯度越大，粘性力也越大；遠(yuǎn)離物體表面，則速度梯度小，粘性力也小。,返回,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第3頁,流體的粘性力是與速度梯度和粘度有關(guān)的。從整個流場來看，當(dāng)流體的速度很大時，流體受粘性力的作用不大，由粘性而產(chǎn)生的能量損失也相對較小，所以流體的慣性力與粘性力的比值（即雷諾數(shù)）才是全面描述粘性流體運(yùn)動特征的指標(biāo)。慣性力大時，值大，粘性力的作用就減小；慣性力小時，值小，粘性力作用就大。,僅憑流體的粘度大小，并不能決定其流動的粘性作用。例如，空氣和水均是實(shí)際流體，在流場中，除了與物體接觸的極小部分外，大部分可以看成是非粘性流動。但是當(dāng)流場中的物體或流道的尺寸很小、流速又很低時，則不能忽略空氣和水的粘性力。,不管流體的粘度大小、流場中速度的高低，靠近物體表面處，由于流速減緩，速度梯度很大，因而不能忽視粘性力的作用。流體沿靜止物體流動時，緊靠物體表面處流體的流速大致與物體表面平行。直接接觸物體表面的流速為零，而離開物體表面沿外法線方向速度急劇增大，速度梯度則逐漸減小，如圖10.2所示。緊靠物體表面的速度梯度很大的這層流體稱為邊界層。,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第4頁,在邊界層中，流體粘性力的作用不能忽略。,對于實(shí)際流體，直接從納維斯托克斯方程式對整個流場求解是很困難的。由于方程式的非線性和邊界條件的復(fù)雜性，直到目前還不能用解析法來分析。普朗特通過對粘性力作用的分析，認(rèn)為可以把整個流場分為兩部分：一部分是直接臨近物體表面的邊界層區(qū)和經(jīng)過邊界層后靠近物體的尾跡區(qū)，在這部分流場中，粘性作用顯著，屬于粘性流，可按納維斯托克斯方程式求解。,由于邊界層和尾跡區(qū)的尺寸很小，和物體的幾何尺寸相比屬于微量，因而可認(rèn)為流動是平行于物體表面的，方程式就可得到簡化；另一部分是邊界層和尾跡以外的區(qū)域，在此區(qū)域中粘性力的作用很小，可以看成非粘性流，且不存在速度梯度，可以按理想流體的勢流考慮。,能量供應(yīng)加強(qiáng)，而使邊界層速度梯度增大，邊界層逐漸減薄至。進(jìn)入直管段EF后，邊界層又沿管長增厚，直至發(fā)展到管中心。因此在整個流道中邊界層是逐步發(fā)展的。,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第5頁,一、邊界層的形成流場中流動參量的變化、流道和繞流體形狀的不同，都會影響邊界層的形成和發(fā)展。下面舉幾個典型的例子來說明這一問題。（一）收縮管中的流動,圖103所示為一收縮管中的流動。流體在進(jìn)入收縮流道CD前的AB段內(nèi)，邊界層已有相當(dāng)發(fā)展，具有一定厚度，進(jìn)入收縮管道CD段后，流體加速而壓力逐漸降低，由于主流速度逐漸增高，對邊界層流體的,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第6頁,（二）繞過流線型機(jī)翼的流動圖10.4所示為均速流體繞過流線型機(jī)翼柱體的流動。邊界層沿機(jī)翼表面發(fā)展并逐漸加厚，直到翼柱后部形成尾跡區(qū)。開始時尾跡區(qū)中速度梯度較大，一定距離后尾跡逐漸擴(kuò)散，速度梯度減小，最終消失在主流區(qū)中。,圖10.5漸擴(kuò)管中的流動,（三）漸擴(kuò)管中的流動,圖10.5所示為漸擴(kuò)管中的流動。由于流道截面逐漸增大，主流區(qū)中壓力不斷增高，流體便需要消耗動能來補(bǔ)充壓力能，但是在邊界層中由于粘性摩擦力的影響而損失的動能較主流區(qū)大，因此其動能不足以補(bǔ)充壓力能的增高，且主流的增壓減速運(yùn)動，對邊界層流體能量供應(yīng)減弱，致使邊界層中流體的流速最終降為零，甚至出現(xiàn)倒流（流速為負(fù)值）。,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第7頁,而受粘性影響較小的中心主流卻仍以較高流速流動，不再貼近管道壁面。在主流與管壁之間，邊界層被破壞，出現(xiàn)旋渦和倒流等不規(guī)則的流動。開始出現(xiàn)這種不規(guī)則的倒流而使邊界層被破壞的區(qū)域稱為邊界層脫離點(diǎn)。因此在漸擴(kuò)管形的流道中邊界層有可能不是連續(xù)穩(wěn)定發(fā)展的。,（四）繞過圓柱體的流動,圖10.6表示流體繞過圓柱體的流動。在來流接觸柱體表面后的前一半柱面ABC區(qū)域，邊界層逐漸形成并發(fā)展。此時流體沿柱面是增速降壓流動，不會出現(xiàn)邊界層脫離現(xiàn)象。進(jìn)入后一半柱面ADC區(qū)域，流體作減速增壓流動，邊界層中因克服粘性摩擦而損失大量,動能，無法補(bǔ)充足夠的壓力能來與主流壓力平衡，邊界層便開始脫離，形成旋渦狀尾跡，并向下游發(fā)展，直到幾倍圓柱直徑的距離后消失。離開表面較遠(yuǎn)的區(qū)域，以及尾跡后的主流區(qū)則可視為非粘性流。,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第8頁,由此可見，流體流過物體表面時，粘性流的邊界層可能充分發(fā)展，也可能出現(xiàn)脫離。因此不能認(rèn)為除去靠近物體表面的區(qū)域外，都屬于非粘性流區(qū)域。只有當(dāng)很高，且邊界層不脫離時，物體表面以外的主流區(qū)才可認(rèn)為是屬于非粘性流，可按勢流來處理，如處于均速流場中的機(jī)翼形物體的繞流或平板繞流等。必須指出，直管內(nèi)的流動不能按非粘性流考慮，即不能按勢流計算，因?yàn)榱黧w均速流進(jìn)直管時，在粘性力作用下，會逐漸出現(xiàn)速度梯度，靠近壁面處流速降低，形成一薄層邊界層，隨著流動的繼續(xù)，粘性力的作用范圍不斷擴(kuò)大，直至發(fā)展到整個截面，此時管道中心處流速最大，壁面處流速為零，速度梯度最大的區(qū)域仍在壁面附近，但是粘性力的作用范圍最終達(dá)到了整個截面，這與平板繞流或曲面繞流的情況不同。,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第9頁,二、層流邊界層和紊流邊界層,層流時，流體的流動主要受粘性力控制，流速場平行于流道壁面。紊流的流速則隨時間和位置不斷發(fā)生大小和方向的變化，其速度場是指平均流速的分布。嚴(yán)格說來，任何流場中的流速都在變動，當(dāng)變動十分微小，接近于其時均值時，即屬于層流。變動大時，即為紊流。由層流轉(zhuǎn)入紊流的機(jī)理，可以認(rèn)為與流場中的微小擾動和該擾動的擴(kuò)大有關(guān)。兩層流速不同的流體之間，由于速度差而出現(xiàn)微小旋渦。這些旋渦可以在粘性力作用下，由于存在減緩速度梯度的效應(yīng)而衰減；也可以在慣性力作用下，由于存在維持速度梯度的效應(yīng)而擴(kuò)大。如果旋渦擾動逐漸衰減，流動就恢復(fù)為層流狀態(tài)。如果旋渦擾動逐漸擴(kuò)大，就發(fā)展為紊流狀態(tài)。,在繞流流場中，邊界層的流動同樣也有由層流轉(zhuǎn)入紊流的現(xiàn)象。如圖10.7所示為處在均速主流流場中的流線型銳端平板。剛接觸板端時，流速是均勻的。進(jìn)入平板后，由于粘性作用，在壁面處便出現(xiàn)一層極薄的邊界層。,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第10頁,因?yàn)檫吔鐚雍穸葮O小，擾動在其中不易發(fā)展，所以此時邊界層中的流動是層流，稱為層流邊界層，受粘性力的控制。,當(dāng)流體沿平板繼續(xù)流動，邊界層逐漸增厚，擾動便會發(fā)展起來，邊界層中的流動變成紊流，此時邊界層厚度增加很快，稱為紊流邊界層。邊界層由層流向紊流轉(zhuǎn)變時，不是突然發(fā)生的，中間有一過渡區(qū)，稱作變流區(qū)。在與板面直接接觸的地方，還有一層極薄的層流底層（對光滑板尤其明顯）。邊界層由層流向紊流的轉(zhuǎn)變，取決于雷諾數(shù)的大小。對繞流流場，與主流流速、流體運(yùn)動粘度和自板端向后流過的距離有關(guān)，即,（10.1）,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第11頁,是否由層流轉(zhuǎn)入紊流取決于臨界雷諾數(shù)，而主流的初始擾動程度、板面的幾何形狀、流場的壓力梯度、壁面的粗糙度、流體的可壓縮性（馬赫數(shù)）、加熱或冷卻效果等都會影響臨界雷諾數(shù)。對于光滑表面沒有壓力梯度的絕熱流動,當(dāng)主流擾動非常小時，可達(dá)到。紊流時繞流物體在流場中的阻力比層流時大，故在設(shè)計時應(yīng)盡量避免紊流。當(dāng)主流速度一定時，只要使，就可避開紊流邊界層。在邊界層計算中，必須先確定，然后再對層流區(qū)和紊流區(qū)分別計算。,對于層流邊界層，根據(jù)粘性流的剪切應(yīng)力公式可以進(jìn)行精確計算。雖然對于不同的幾何形體，求解十分復(fù)雜，但它能夠用解析法來計算。而對于紊流，由于沒有具體的物理模型，所以無法進(jìn)行定量計算，只能結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行近似計算，以滿足工程需要。至于變流區(qū)，情形更為復(fù)雜，在計算中往往近似地把它看成是層流和紊流的重疊區(qū)，或者全部按紊流來計算。,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第12頁,不管是層流邊界層或紊流邊界層，在分析計算時，若，則可認(rèn)為邊界層厚度和物體的尺寸或流動距離相比屬于微量，從而對邊界層的計算進(jìn)行簡化。邊界層以外的主流區(qū)則按非粘性流考慮。,三、邊界層厚度在管內(nèi)紊流和繞流情況下，流場中的速度變化主要發(fā)生在壁面附近。流速改變劇烈的區(qū)域，即為邊界層。自壁面至流速不再改變處的距離稱為邊界層厚度，用表示。邊界層厚度以外叫主流區(qū)。嚴(yán)格說來，自壁面至流速完全不變的區(qū)域，距離很大，故一般將速度達(dá)到主流速度0.990.995倍的地方作為邊界層厚度的上限。照此規(guī)定，邊界層厚度極小，與物體尺寸相比可看成微量。但是這樣的規(guī)定卻不利于對邊界層進(jìn)行解析計算，為此下面列出了三種較嚴(yán)格的規(guī)定邊界層厚度的方法。,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第13頁,由此可見，在保證流量相等的前提下，邊界層的存在猶如將沒有粘性的主流區(qū)自固體壁面向外推移了距離，或者說主流區(qū)被向外排擠了距離。因此流量厚度又稱排擠厚度或位移厚度。理想流體流過厚度的流量為，實(shí)際情況下由于粘性而使速度減低從而減少的流量為,流量厚度的定義是：理想流體以主流速度流過厚度的流量等于實(shí)際流體由于粘性使流速減低時整個流場減小的流量。如圖10.8所示，即面積（1+3）=面積（2+3）。,（一）流量厚度,于是,（10.2）,于是,能量厚度的定義是：理想流體以主流速度流過厚度的動能等于實(shí)際流體在整個流場中的動能減少量。,動量厚度的定義是：理想流體以主流速度流過厚度的動量等于整個流場中實(shí)際流體的流量與速度減小量的乘積。,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第14頁,（二）動量厚度,即,（10.3）,（三）能量厚度,即,（10.4）,第一節(jié)邊界層特性,退出,返回,第十章邊界層理論,第15頁,在已知與的關(guān)系后，即可通過式（10.2）、（10.3）、（10.4）計算邊界層流量厚度、動量厚度和能量厚度。利用、和可以進(jìn)行邊界層的解析計算，并且可以根據(jù)、和的比值表示邊界層中的速度分布。,退出,返回,第十章邊界層理論,第1頁,第二節(jié)邊界層微分方程,普朗特和馮卡門（VonKarman）分別提出邊界層的微元體分析法和控制體分析法，建立了邊界層的微分方程式和積分方程式。,（10.5）,邊界層中的流動屬于粘性流，它符合納維斯托克斯方程式。對于忽略了質(zhì)量力的不可壓縮流體穩(wěn)定的二維繞流流動，其運(yùn)動方程式和連續(xù)方程式為,邊界層計算主要解決的是邊界層厚度沿界面的變化、流體壓力分布和流動阻力的計算問題。下面首先討論邊界層微分方程式。,退出,返回,第十章邊界層理論,第2頁,第二節(jié)邊界層微分方程,現(xiàn)利用邊界層特性來討論方程組中各項(xiàng)的數(shù)量級，從而簡化方程組。以表示主流速度、表示邊界層厚度、表示繞流物體的長度（如平板長、翼弦）。并以表示微量，用符號“”表示數(shù)量級相同。在流動方向上，的變化從零到，與數(shù)量級相同；相應(yīng)地由零到，具有的數(shù)量級，即，由于邊界層厚度很小，與繞流物體長度相比為微量，因此,邊界層中的速度沿著厚度從零變化到，因此；的數(shù)量級可由連續(xù)性方程推導(dǎo)如下：,或,各項(xiàng)除以，注意到，則上式可寫成,退出,返回,第十章邊界層理論,第3頁,第二節(jié)邊界層微分方程,式（10.5）的第一個方程中各項(xiàng)及對應(yīng)的數(shù)量級為,當(dāng)較大時，有，則1，趨于零。,111,式（10.5）的第二個方程中各項(xiàng)的數(shù)量級為,退出,返回,第十章邊界層理論,第4頁,第二節(jié)邊界層微分方程,各項(xiàng)除以，則上式可寫成與第一個方程中各項(xiàng)的數(shù)量級相比，上式各項(xiàng)均為微量，從而得到。即邊界層中的壓力在y方向是不變的，與邊界層外的壓力相等。事實(shí)上，由實(shí)驗(yàn)測出的物體表面壓力分布與按理想勢流計算出的壓力分布十分接近。,（10.6）,其邊界條件為,由上述分析，得到簡化后的不可壓縮粘性流體二維穩(wěn)定流動的層流邊界層方程組,退出,返回,第十章邊界層理論,第5頁,第二節(jié)邊界層微分方程,式中表示位置沿壁面的主流區(qū)的流速，即邊界層外緣的流速。當(dāng)時，主流流速不變，為一常數(shù)，與無關(guān)。邊界層微分方程式是邊界層計算的基本方程式。但是，由于它的非線性，即使對于形狀最簡單的物體，求解也十分困難。因此目前只能對平板繞流層流邊界層進(jìn)行解析計算，對復(fù)雜物體的繞流和紊流邊界層尚無法求解。,退出,返回,第十章邊界層理論,第1頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,如圖10.9所示，假定在穩(wěn)定流動情況下，沿平板流動方向主流速度不隨而變化，故不存在壓力梯度，即。式（10.6）變?yōu)?平板層流邊界層的計算應(yīng)從式（10.6）及其邊界條件出發(fā)，先將運(yùn)動方程和連續(xù)性方程歸并、簡化成常微分方程式，然后進(jìn)行求解，得到邊界層中速度分布規(guī)律及沿流動方向邊界層厚度增長規(guī)律，最后確定出流動的剪切應(yīng)力和阻力系數(shù)。,（10.7）,為了將其簡化為一常微分方程式，在邊界層中取一微元體進(jìn)行分析，作用在微元體上的力只有粘性力和慣性力。,退出,返回,第十章邊界層理論,第2頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,設(shè)邊界層微元底面的粘性力為，頂面的粘性力為，則沿方向粘性力的合力為，由于，故。微元體的加速度,對穩(wěn)定流動，從而得，因此慣性力。在層流邊界層中，粘性力與慣性力成比例，即,（10.8）,假定邊界層中的速度分布在任何截面上均相似，也就有于是,退出,返回,第十章邊界層理論,第3頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,或,（10.9）,代入式（10.8），可得,（10.10）,將（10.9）式代入上式可得,（10.11）,式中。令為另一函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，則,由上述邊界層中速度分布的相似條件可知是的函數(shù)，即,退出,返回,第十章邊界層理論,第4頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,對層流邊界層引入流函數(shù)，則有,，,于是,由此得,則,（10.12）,利用流函數(shù)，并將各運(yùn)動參量表示成的函數(shù)，可將邊界層微分方程簡化為的常微分方程。,退出,返回,第十章邊界層理論,第5頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,由于流線方程具有連續(xù)函數(shù)的特性，即,（10.13）,退出,返回,第十章邊界層理論,第6頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,也就是可見所取流線方程式滿足不可壓縮流體的連續(xù)性方程。將式（10.13）代入式（10.6）中的納維斯托克斯運(yùn)動方程，整理后得到,（10.14）,（b）,此式是一個三階非線性常微分方程式，其邊界條件是,即,即,（a）,即,（c）,退出,返回,第十章邊界層理論,第7頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,利用上述邊界條件，將邊界層計算問題歸結(jié)為求解常微分方程式（10.14），即求函數(shù)。假定是一個指數(shù)級數(shù)形式：,其中，是待定系數(shù)。由上式可得函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)、由函數(shù)、及邊界條件的式（a）、（b）得到，；，,將、和代入微分方程式（10.14），整理后可得,退出,返回,第十章邊界層理論,第8頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,可見、等不為零，且均可用表示。于是變成下列,要滿足式（10.14），上式中各項(xiàng)都應(yīng)為零，由此可確定各系數(shù)為,，,（10.15）,形式：,式中系數(shù)可利用邊界條件的式（c），即時來確定。勃拉修斯經(jīng)過計算得到。于是可通過數(shù)值計算得出、等在不同值下的數(shù)值。豪沃斯（Howarth）求得08.8范圍內(nèi)上述各項(xiàng)的數(shù)值解，其部分結(jié)果列于表10.1中。表10.1表明：當(dāng)時，已趨近于1。根據(jù)式（10.13）的第一式可知，此時，即邊界層外緣流速已等于主流速度，值（）已達(dá)到邊界層規(guī)定厚度以上。,退出,返回,第十章邊界層理論,第9頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,由表中也可以看出，當(dāng)值達(dá)到0.99時，此時，或者,據(jù)此可以確定繞流平板層流邊界層的厚度。邊界層流量厚度,（10.16）,由表可知：當(dāng)時，即可認(rèn)為相當(dāng)于，此時，所以，即,（10.17）,層流情況下貼近壁面處流體的剪切應(yīng)力為由式（10.13）已知,退出,返回,第十章邊界層理論,第10頁,第三節(jié)平板層流邊界層的微分方程解,（10.18）,（10.19）,當(dāng)?shù)刈枇ο禂?shù),寬為、長為的平板的總阻力為,由表10.1數(shù)據(jù)或根據(jù)勃拉修斯的計算，當(dāng)（即）時，所以,（10.20）,式中為按板長計算的雷諾數(shù)。,試驗(yàn)表明上述層流邊界層問題的精確解與實(shí)驗(yàn)結(jié)果十分吻合。,所以總的阻力系數(shù)為,退出,返回,第十章邊界層理論,第1頁,第四節(jié)邊界層積分（動量）方程,邊界層微分方程式的解析計算十分繁雜，目前僅能求解平板繞流層流邊界層問題。應(yīng)用較為廣泛的是邊界層積分方程式，又稱動量方程式。它是馮卡門根據(jù)動量定理提出的?？梢赃m用于層流邊界層和紊流邊界層，以及無壓力梯度和有壓力梯度的情況。如圖10.10所示為邊界層局部圖，沿流動方向有壓力梯度時，主流區(qū)的流速W（即邊界層外緣的流速）是隨變化的，在無壓力梯度時，W為常數(shù)。,取邊界層中與軸垂直的AB、CE兩平行面，其寬度為單位寬度。方向距離為，BC為邊界層邊緣，AE為平板壁面，則ABCE為邊界層中的微元控制體，因?yàn)樵谶吔鐚又?，故在AB、CE界面上壓力為定值。,退出,返回,第十章邊界層理論,第2頁,于是控制體在方向所受到的力有以下幾項(xiàng)：,第四節(jié)邊界層積分（動量）方程,在面上,在面上,在面上,在面上,略去上述各項(xiàng)中的高階微量，則沿方向的總作用力為,（10.21）,單位時間內(nèi)流入控制體的動量為,通過面,通過面流入的流量應(yīng)當(dāng)?shù)扔诹鞒雒娴牧髁颗c流入面的流量之差,退出,返回,第十章邊界層理論,第3頁,第四節(jié)邊界層積分（動量）方程,由于,所以單位時間內(nèi)通過面流入的動量為,單位時間內(nèi)流出控制體的動量，也即通過面流出的動量為,控制體中的動量增加率為,退出,返回,第十章邊界層理論,第4頁,第四節(jié)邊界層積分（動量）方程,由動量守恒定理知，單位時間內(nèi)流入控制體的動量與作用于控制面及控制體上外力之和等于單位時間內(nèi)控制體內(nèi)動量的增加,即,得到,（10.22）,上式即為馮卡門邊界層動量積分方程式。它適用于穩(wěn)定或不穩(wěn)定、可壓縮或不可壓縮流體的層流或紊流邊界層。對于不可壓縮流體的穩(wěn)定流動，積分方程式變?yōu)?（10.23）,根據(jù)沿主流流線的伯努利方程，有,或,退出,返回,第十章邊界層理論,第5頁,第四節(jié)邊界層積分（動量）方程,因?yàn)榈仁絻蛇吪c無關(guān)，只隨變化，所以,式（10.23）第三項(xiàng)也可改寫為,則式（10.23）變換為,（10.24）,根據(jù)流量厚度和動量厚度的定義，上式可變換為,退出,返回,第十章邊界層理論,第6頁,第四節(jié)邊界層積分（動量）方程,該動量方程式適用于穩(wěn)定、不可壓縮流體具有壓力梯度時的層流或紊流邊界層。據(jù)此可以計算邊界層的厚度和流動阻力。邊界層積分方程式中的可由主流區(qū)的勢流方程式確定，剩下的未知量只有、和。因此除了動量方程式外，還需假定邊界層內(nèi)的速度分布，并把與速度分布有關(guān)的和聯(lián)系起來，從而就可根據(jù)邊界條件，對邊界層進(jìn)行求解。,考慮速度分布的相似性，為的函數(shù)，即,流體繞過平板流動時，沿方向無壓力梯度，即，因此，,退出,返回,第十章邊界層理論,第1頁,第五節(jié)平板層流邊界層的積分方程解,（10.25）,上述函數(shù)必須滿足邊界條件：（1），；（2），；（3），?，F(xiàn)假定一速度分布為,由三個邊界條件定出三個系數(shù)分別為，和。因此速度分布函數(shù)成為,（10.26）,是常數(shù)。式（10.24）可寫為,退出,返回,第十章邊界層理論,第2頁,將式（10.26）代入層流條件下的剪應(yīng)力關(guān)系式，得,（10.27）,第五節(jié)平板層流邊界層的積分方程解,代入的關(guān)系式，得,（10.28）,將式（10.27）、（10.28）代入（10.25），得到,從而有,（10.29）,由（10.28）式得,（10.30）,根據(jù)流量厚度,退出,返回,第十章邊界層理論,第3頁,第五節(jié)平板層流邊界層的積分方程解,又可得,（10.31）,因此，寬度為長度為的平板上的總阻力為,（10.32）,當(dāng)?shù)刈枇ο禂?shù),平板總阻力系數(shù)為,（10.34）,（10.33）,退出,返回,第十章邊界層理論,第4頁,第五節(jié)平板層流邊界層的積分方程解,由積分方程式得出的計算結(jié)果與上一節(jié)微分方程解較為接近。若合理假設(shè)邊界層中流速的分布，則可以使誤差更小。對于除繞流平板層流邊界層以外的其它復(fù)雜情況，如曲面繞流和紊流邊界層等，難以或根本不能應(yīng)用微分方程法計算，積分方程法是目前唯一可以采用的解析計算方法。,退出,返回,第十章邊界層理論,第1頁,第六節(jié)平板紊流邊界層計算,實(shí)際流動中，大量問題屬于紊流邊界層問題，而紊流問題顯然比層流問題復(fù)雜。普朗特假設(shè)：沿平板的邊界層流動與圓管中的流動沒有顯著差別。對充分發(fā)展的紊流來說，可以認(rèn)為圓管中的流動是一種邊界層厚度達(dá)到管子半徑的邊界層流動，管中心速度相當(dāng)于勢流區(qū)速度。實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)時，平板繞流邊界層的速度分布與圓管中的流動速度分布幾乎是一樣的。,一、速度分布函數(shù)對于中等雷諾數(shù)（）的流動，光滑圓管中速度分布的指數(shù)公式為：當(dāng)圓管中的雷諾數(shù)時，與的七次方根成正比；而當(dāng)雷諾數(shù)后，就與的八、九、十次方根成正比。,（10.35）,假定平板紊流邊界層的速度分布符合規(guī)律，在邊界層外緣即處有，式（10.35）可寫成,退出,返回,第十章邊界層理論,第2頁,第六節(jié)平板紊流邊界層計算,（10.36）,將切應(yīng)力速度代入上式得,變換上式得,（10.37）,（10.38）,由（10.35）和（10.36）兩式得,二、邊界層厚度,由馮卡門方程，對無壓力梯度的邊界層，有,（10.39）,退出,返回,第十章邊界層理論,第3頁,第六節(jié)平板紊流邊界層計算,將式（10.37）、（10.38）代入（10.39），并考慮式（10.3）得到,積分可得,（10.40）,嚴(yán)格說來，紊流邊界層前為層流邊界層，常數(shù)應(yīng)由層流向紊流轉(zhuǎn)變處