常微分方程常數變異法

第四章常微分方程,第一節(jié)常微分方程的基本概念與分離變量法,第二節(jié)一階線性微分方程,機動目錄上頁下頁返回結束,一、微分方程的基本概念,微分方程：含有未知函數的導數（或微分）的方程稱為微分方程,特別當微分方程中所含的未知函數是一元函數時，時的微分方程就稱為常微分方程.,微分方程的階：微分方程中，所含未知函數的導數的最高階數定義為該微分方程的階數,機動目錄上頁下頁返回結束,線性微分方程:當微分方程中所含的未知函數及其各階導數全是一次冪時，微分方程就稱為線性微分方程.,在線性微分方程中，若未知函數及其各階導數的系數全是常數，則稱這樣的微分方程為常系數線性微分方程,微分方程的解：如果將函數,代入微分方程后,能使方程成為恒等式，,這個函數就稱為該微分方程的解,微分方程的解有兩種形式：,常微分方程的通解,微分方程的特解,如果解中包含任意常數，且獨立的任意常數的個數與方程的階數相同，則稱這樣的解為,不含有任意常數的解，稱為,機動目錄上頁下頁返回結束,初始條件：用未知函數及其各階導數在某個特定點的值作為確定通解中任意常數的條件，稱為初始條件,機動目錄上頁下頁返回結束,二、分離變量法,稱為可分離變量的方程.,可分離變量方程的特點：,等式右邊可以分解成兩個函數之積，,其中一個只是的函數，另一個只是的函數,機動目錄上頁下頁返回結束,可分離變量方程的解法：,（1）分離變量：將該方程化為等式一邊只含變量，,而另一邊只含變量的形式，即,（2）兩邊積分：,機動目錄上頁下頁返回結束,例2.求微分方程,的通解.,解:分離變量得,兩邊積分,得,即,(C為任意常數),或,說明:在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、,減解.,(此式含分離變量時丟失的解y=0),機動目錄上頁下頁返回結束,解方程變形為,分離變量得,兩邊積分得,求積分得,所以,即,(此式含分離變量時丟失的解y=0),機動目錄上頁下頁返回結束,例4.解初值問題,解:分離變量得,兩邊積分得,即,由初始條件得C=1,(C為任意常數),故所求特解為,機動目錄上頁下頁返回結束,例5.,成正比,求,解:根據牛頓第二定律列方程,初始條件為,對方程分離變量,然后積分:,得,利用初始條件,得,代入上式后化簡,得特解,并設降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度,降落傘下落速度與時間的函數關系.,t足夠大時,機動目錄上頁下頁返回結束,內容小結,1.微分方程的概念,微分方程;,初始條件;,2.可分離變量方程的求解方法:,說明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一個解.,例如,方程,分離變量后積分;,根據初始條件定常數.,解;,階;,通解;,特解,y=x及y=C,機動目錄上頁下頁返回結束,找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.,常用的方法:,1)根據幾何關系列方程,2)根據物理規(guī)律列方程,3)根據微量分析平衡關系列方程,(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定初始條件.,(3)求通解,并根據初始條件確定特解.,3.解微分方程應用題的方法和步驟,機動目錄上頁下頁返回結束,練習:,解法1分離變量,即,(C0),解法2,故有,積分,(C為任意常數),所求通解:,機動目錄上頁下頁返回結束,引例1.,一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的,解:設所求曲線方程為y=y(x),則有如下關系式:,(C為任意常數),由得C=1,因此所求曲線方程為,由得,切線斜率為2x,求該曲線的方程.,機動目錄上頁下頁返回結束,一、一階線性微分方程,一階線性微分方程標準形式:,若Q(x)0,稱為非齊次方程.,1.解齊次方程,分離變量,兩邊積分得,故通解為,稱為齊次方程;,機動目錄上頁下頁返回結束,已知函數,對應齊次方程通解,齊次方程通解,非齊次方程特解,2.解非齊次方程,用常數變易法:,則,故原方程的通解,即,即,作變換,兩端積分得,機動目錄上頁下頁返回結束,上述求解方法稱為常數變易法,用常數變易法求一階非齊次線性方程的通解的步驟為：,（1）先求出非齊次線性方程所對應的齊次方程的通解,（3）將所設解代入非齊次線性方程,解出,并寫出非齊次線性方程的通解.,（2）根據所求出的齊次方程的通解設出非齊次線性方程的解(將所求出的齊次方程的通解中的任意常數C改為待定函數即可).,齊次方程通解,非齊次方程特解,機動目錄上頁下頁返回結束,首先對(1)式所對應的齊次方程求解,方程(2)分離變量得,兩邊積分得,所以,齊次方程（2）的通解為,機動目錄上頁下頁返回結束,將通解中的任意常數,換成待定函數,即令,為原方程的通解,將其代入原方程得,于是,