余弦定理教學(xué)設(shè)計

1.1.2余弦定理教學(xué)設(shè)計I .教學(xué)目標(biāo)認(rèn)知目標(biāo)：在創(chuàng)設(shè)的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理的內(nèi)容，推導(dǎo)余弦定理，并簡單地用余弦定理求解三角形；能力目標(biāo)：通過觀察、推導(dǎo)和比較，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般地歸納余弦定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和觀察能力及邏輯思維能力，并利用向量作為數(shù)形結(jié)合的工具，實現(xiàn)幾何問題向代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化；情感目標(biāo)：為所有學(xué)生創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過學(xué)生與教師和學(xué)生之間的交流、合作和評價，調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，給學(xué)生一個成功的體驗，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛科學(xué)與創(chuàng)新的精神。二，教學(xué)難點要點：探索和證明余弦定理的過程；理解和掌握余弦定理的內(nèi)容；余弦定理的初步應(yīng)用。難點：用矢量方法證明余弦定理的想法；余弦定理的熟練應(yīng)用。三、學(xué)習(xí)情況和教學(xué)內(nèi)容分析在學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理的內(nèi)容，掌握了正弦定理的證明和應(yīng)用，并明確了哪些類型的三角形可以用正弦定理求解。在此基礎(chǔ)上，教師可以創(chuàng)建一個“已知三角形的邊和角”來解決三角形的實際例子，學(xué)生發(fā)現(xiàn)前一節(jié)所學(xué)的知識不能用來解決這個問題，從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出本節(jié)的內(nèi)容。在講授余弦定理時，考慮到余弦定理在形式上比正弦定理更復(fù)雜，教師可以有目的地提供一些研究材料，并給予必要的啟發(fā)和指導(dǎo)，使學(xué)生通過類比、聯(lián)想、提問、探究等步驟，輔以小組合作學(xué)習(xí)，進(jìn)行思考，建立猜想，獲得命題，然后想方設(shè)法加以證明。當(dāng)用兩種不同的方法證明余弦定理時，學(xué)生在證明思想時可能會遇到困難，教師可以給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。第四，教學(xué)過程鏈接1創(chuàng)造情境1、復(fù)習(xí)引言讓學(xué)生回答正弦定理的內(nèi)容和該定理可以解決的問題類型。ABC圖12.場景介紹如圖1所示，為了挖掘山嶺隧道，隧道施工團(tuán)隊需要測量隧道穿過山嶺的長度。工程技術(shù)人員首先在地面上選擇一個合適的位置A，測量從甲到乙、丙腳的距離，然后用經(jīng)緯儀測量甲到乙腳的開角(即線段BC)，最后計算出乙腳的長度BC。對學(xué)生來說，把這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題并不難：知道三角形的兩條邊和一個夾角，找到三角形的另一邊。這個問題不能用正弦定理來解決。學(xué)生們渴望應(yīng)用新知識來解決這個問題。鏈接2導(dǎo)入新課問題：在ABC中，當(dāng)C=90時，有c2=a2 b2.如果a和b邊的長度是常數(shù)，當(dāng)C的大小改變時，c2和a2 b2之間的大小關(guān)系是什么？請考慮一下。教師鼓勵學(xué)生積極思考，大膽發(fā)言，啟發(fā)學(xué)生解決問題，學(xué)生借助多媒體動畫演示結(jié)果進(jìn)行回答。如圖2所示，如果c 90，由于AC和BC的長度相同，AB的長度變短，即C2 a2b2。CBA b 圖2AC b B圖3如圖3所示，如果 90，由于AC和BC的長度不變，AB的長度變長，即C2 a2b2。經(jīng)過討論，學(xué)生們得出當(dāng)C90，c2a2 b2。鏈接3新課探究詢問1。在前面的問題中，我們已經(jīng)知道當(dāng) C 90，c2a2 b2。c2和a2 b2之間的等價關(guān)系是什么？請繼續(xù)探索。教師引導(dǎo)學(xué)生分組合作學(xué)習(xí)，這樣幾組學(xué)生可以在c為銳角時學(xué)習(xí)結(jié)論，而其他組可以在c為鈍角時學(xué)習(xí)結(jié)論。最后，交流探索，展示成果。如圖4所示，當(dāng)C為銳角時，使BDAC在d處，BD將ABC分成兩個直角三角形：ACBD圖4在RtABD中，AB2=AD2 BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，dc=bccosc=acosc。因此，AB2=AD2 BD2轉(zhuǎn)換為c2=(b-acosC)2 (asinC)2，c2=b2-2可以看出，當(dāng)C為銳角時，ABC的三條邊a、b、C具有C2=a2 B2-2 bcosc的關(guān)系。如圖5所示，當(dāng)c是鈍角時，使用BDAC，AC的延長線在d處BADC圖5ACB是兩個直角三角形的差。在RtABD中，AB2=AD2 BD2.在RtBCD中，bcd=-c。BD=BCsin(-C)，CD=BC cos(-C)。所以AB2=AD2 BD2被轉(zhuǎn)換成c2=(空調(diào)CD)2 BD2=b acos(-C)2 asin(-C)2=B2 2 bcos(-C)a2 cos 2(-C)a2 sin 2(-C)=B2 2 bcos(-C)a2。因為cos (-c)=-cosc，C2=B2 a2-2 bcosc也可以得到。老師的建議：在上述兩種情況下，我們可以檢查矢量方向上的正投影的數(shù)量：何時當(dāng)C分別是銳角和鈍角時，得到兩個符號相反的數(shù)。當(dāng)C是直角時，其矢量在直角邊上的正投影數(shù)為零。因此，無論C是銳的、右的還是鈍的，都有,在RtADB中，C2=a2 B2-2 bcosc是利用勾股定理得到的。通過旋轉(zhuǎn)它們，我們可以得到A，B和C的位置a2=b2 c2-2bccosA。B2=C2 a2-2 ccob。因此，我們得到了三角形中角關(guān)系的另一個重要定理：(多媒體投影余弦定理的內(nèi)容)余弦定理三角形任一邊的平方等于另外兩條邊的平方減去兩條邊和它們之間夾角的余弦的兩倍，也就是說C2=a2 B2-2 bcosca2=b2 c2-2bccosAB2=C2 a2-2 ccob從上面的公式，可以得到余弦定理的另一種形式：從上面的分析過程中，我們對C不是直角的情況有了一個清晰的認(rèn)識。我們不僅要認(rèn)識到當(dāng)c為銳角和鈍角時，C2=a2 B2-2 bcosc存在，而且要認(rèn)識到如何將一個斜三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形。這種從未知到已知的轉(zhuǎn)化思想經(jīng)常被用在數(shù)學(xué)中。詢問2。你能用矢量方法證明余弦定理嗎？參見教科書示例1左上角的思想提示。教師可以指導(dǎo)學(xué)生分組討論和探究，最后教師可以用多媒體演示證明的思路和過程。圖6如圖6所示，在ABC中，設(shè)置，教師點評：對于問題1，我們證明了C是銳角和鈍角的情況下余弦定理的形式，過程相當(dāng)復(fù)雜。對于問題2，我們可以簡單地用向量個數(shù)的乘積來證明余弦定理，這說明了向量作為證明某些數(shù)學(xué)問題的工具的作用。在今后的學(xué)習(xí)中，我們應(yīng)該加強(qiáng)所學(xué)知識的應(yīng)用。詢問3。余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用教師啟發(fā)學(xué)生：根據(jù)余弦定理的兩種形式，它能解決哪種類型的三角形？(對于學(xué)生來說，發(fā)現(xiàn)余弦定理可以用來求解兩種類型的三角形解并不困難：(1)知道三角形的兩條邊及其夾角，并找到第三條邊；給定三角形的三條邊，找出三個內(nèi)角。)接下來，請根據(jù)余弦定理的兩個應(yīng)用解決下面三個例子。(用多媒體展示示例)例1。在ABC中，已知a=5，b=4，c=120o，求c。例2，在ABC中，給定a=3，b=2，c=，求這個三角形的三個內(nèi)角的大小和面積(最接近0.1)。例3、ABC的不動點是A(6，5)、B(-2，8)、C(4，1)和A(精確到0.1)。雙邊活動：教師和學(xué)生可以一起完成例子，進(jìn)一步加深學(xué)生對余弦定理的應(yīng)用。鏈接4練習(xí)和鞏固1.在ABC中，a=1，b=1，且c=120o，則c=1。2.在a，b，c中，如果A，b，c三邊相交，則A=0。3.在ABC中，已知這個三角形是(銳角、直角、鈍角)。4.在ABC中，BC=3，AC=2，AB中線的長度為2，因此AB被計算。雙邊活動：學(xué)生在有限的時間內(nèi)進(jìn)行訓(xùn)練，讓學(xué)生回答結(jié)果，解釋錯誤的問題，并用多媒體展示問題4的解題過程。鏈接5課堂反思總結(jié)通過上述研究過程，學(xué)生學(xué)到了哪些知識和方法？你對此有何看法？(學(xué)生將首先回答和總結(jié)，教師將適時補(bǔ)充和改進(jìn))1.余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角開始，分別討論了銳角和鈍角的情況，體現(xiàn)了從特殊到一般的認(rèn)知過程，運(yùn)用了分類討論的數(shù)學(xué)思想。2.余弦定理用向量證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合。3.余弦定理表示三角形的邊和對角線之間的關(guān)系。畢達(dá)哥拉斯定理是一個特例。這個定理可以用來解決兩類問題，即求已知三角形三條邊的第三條邊和內(nèi)角。(從實際問題出發(fā)，通過猜想、實驗、歸納等思維方法，最終推導(dǎo)出正弦定理。我們研究問題的突出特點是從特殊到一般。在整個探索過程中，我們不僅獲得了結(jié)論，而且掌握了研究問題的一般方法。在強(qiáng)調(diào)研究性學(xué)習(xí)方法的同時，注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動學(xué)生的積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動教學(xué)。)鏈接6家庭作業(yè)1.如果三角形的三條邊分別是，然后。2.在ABC中，如果A=7，B=8，最大內(nèi)角的余弦為_。3、已知ABC，acosB=bcos A，請判斷三角形的形狀(用兩種不同的方法)。五、教學(xué)反思1.余弦定理是求解三角形的重要基礎(chǔ)，應(yīng)該引起足夠的重視。在這一部分安排兩節(jié)課是合適的。第一節(jié)，余弦定理的推導(dǎo)、證明和簡單應(yīng)用；第二部分回顧了定理的內(nèi)容并加強(qiáng)了它的應(yīng)用。2.當(dāng)已知兩邊都需要第三條邊和一邊的對角時，可以利用方程的思想推導(dǎo)出含有未知量的第三條邊的方程，并間接利用余弦定理來解決問題。此時，應(yīng)注意解決方案的非唯一性。然而，這個問題是針對這個班的學(xué)生的，學(xué)生很難理解，可以在第二節(jié)課上解決。3.本課的重點首先是定理的證明，其次是定理的應(yīng)用。我們傳統(tǒng)的定理概念教學(xué)往往采用“切頭切尾”的方法來燒斷中斷。它忽略了定理和概念的形成過程，只盲目地教學(xué)生定理概念的結(jié)論或公式。它允許學(xué)生通過大量的話題應(yīng)用這些結(jié)論或形式，并且大量使用問題解決策略，這增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)并且效果不佳。學(xué)生們根本沒有掌握這些定理和概念的形成過程。他們無法理解知識的起源和發(fā)展。他們?nèi)绾戊`活運(yùn)用它們？事實證明，這種以死記硬背和死記硬背為基礎(chǔ)的教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法已經(jīng)不能適應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)教育的教學(xué)理念。新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過程，關(guān)注學(xué)生探索新知識、獲取新知識的體驗。教學(xué)不應(yīng)再脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，應(yīng)該把“發(fā)現(xiàn)和探索知識”的權(quán)利還給學(xué)生。4.這節(jié)課的教學(xué)過程非常重視學(xué)生探索知識的過程，突出了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)理念。教師通過為學(xué)生提供一些學(xué)習(xí)材料來指導(dǎo)學(xué)生研究問題和探索問題的結(jié)論。在這一過程中，教師應(yīng)該“靈活”，即不要太緊，剝奪學(xué)生獨立思考和合作學(xué)習(xí)的意識，更不要說“放羊”教學(xué)，忽視學(xué)生探索問題的困惑。5.多媒體教學(xué)的合理應(yīng)用可以起到畫龍點睛的作用，提高效率，增強(qiáng)學(xué)生的問題意識。教師不能成為多媒體的奴隸。濫用多媒體教學(xué)的后果是將學(xué)生的眼睛、手和嘴變成機(jī)械的眼睛?？赐臧嗉夒娪昂螅瑢W(xué)生沒有足夠的時間思考、練習(xí)和鞏固。課后，他們很快就會忘記他們所學(xué)的所有知識。6.在實際教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能很好地運(yùn)用所學(xué)知識(如向量)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想(如分類討論、數(shù)形結(jié)合)不能靈活運(yùn)用，應(yīng)在今后的教學(xué)中予以加強(qiáng)。從教學(xué)的實際效果來看，我們可以完成這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)。教學(xué)后期應(yīng)主要加強(qiáng)師生之間的雙邊課堂活動學(xué)習(xí)目標(biāo)1.用矢量數(shù)的乘積證明余弦定理的方法。2.記憶和掌握余弦定理3.可以用余弦定理及其推論來求解三角形學(xué)習(xí)要點余弦定理的理解和應(yīng)用學(xué)習(xí)困難余弦定理的定量乘積證明及其應(yīng)用學(xué)習(xí)過程我上課前準(zhǔn)備知識列表(預(yù)覽教科書P5-8以發(fā)現(xiàn)疑問)1.余弦定理：2.余弦定理的推論：3.余弦定理可以用來解決兩類關(guān)于解三角形的問題三面是已知的如果我們知道它們的和，我們就能找到第三條邊和另外兩個角。牛道小石1.已知，尋求；2.已知，因為二。新課程指南1.審閱和導(dǎo)入1.三角形內(nèi)容的正弦定理：給定A=，C=，你能解出這個三角形嗎？【探究】探究一道題中的余弦定理如果條件C=，也就是2，變成了，怎么解三角形？(即已知的三角形