以“螞蟻吃糖”的最短路徑為例話建模

以“螞蟻吃糖”的最短路徑為例話建模課改十年來，廣大數學教師對數學建模在認識上還知之甚少或重視不夠，在實踐中還感到難以施展甚至一籌莫展.因此，頗有必要對如何建立數學模型展開研討與交流.筆者認為數學建模的過程應倡導“問題情境建立模型診釋模型變式拓展實踐應用”的教學模式.本文試以“螞蟻吃糖的最短路徑問題”為例，對數學建模教學進行探討. 1.建模的重要意義.把一個實際問題抽象為用數學符號表示的數學問題，即稱為數學建模，被抽象的數學問題叫數學模型.數學模型能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài)，能預測對象的未來狀況，能提供處理對象最有效的決策.在數學教育中開展數學建模的教育，能培養(yǎng)學生對解決問題的濃厚興趣和進行科學探究的強烈意識，培養(yǎng)學生不斷進取和不怕困難的良好學風，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學生敏銳的洞察力、豐富的想象力和持久的創(chuàng)造力，培養(yǎng)學生的團結協(xié)作精神和數學素養(yǎng). 2.建模的一般方法.根據課程標準，教材向學生提供了大量現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)性的學習內容，這些內容以“問題情境建立模型讓釋模型變式拓展實踐應用”的基本形式呈現(xiàn)，這也正是建立數學模型的常用方法.問題情境.將現(xiàn)實生活中的問題引進課堂，根據問題的特征和目的，對問題進行簡化，并用精確的數學語言加以描述.建立模型.在假設的基礎上，利用適當的數學工具、數學知識來刻畫事物之間的數量關系或內部關系，建立相應的數學結構.診釋模型.對模型求解，并將求解結果與實際情況相比較，以此來驗證模型的科學性.變式拓展.將已求得的數學模型進行變形，拓展引申到相應的問題之中，用求得的模型來解釋新的問題.實踐應用.將求得的模型應用到對應的實際問題之中，使原本復雜的問題得以簡化.三、建模的典型示例1.模型引入孕育一個現(xiàn)實的問題.目自。引例如圖1，螞蟻在一只圓柱形杯子的底部邊沿某處，糖粘在內底邊沿的正對面處，能找到螞蟻從外面爬進杯子里去享受佳肴的最短路徑嗎?設計意圖:螞蟻和糖分別處在杯子的“內層”和“外層”，此題具有很強的挑戰(zhàn)性，由此可以引發(fā)學生強烈的求知欲望. 2.模型識別聯(lián)想一個熟悉的問題.筆者當時也覺得此題很有挑戰(zhàn)性，后來細想，其實這個問題的解決思想在課本上已有所體現(xiàn).人教版數學七年級上冊第134頁作業(yè)第10題:如圖2，一只螞蟻要從正方體的一個頂點A沿表面爬行到點B，怎樣爬行路線最短? 分析這是數學中一個很有趣的“螞蟻吃糖“問題，據說昆蟲有一種天性，它的嗅覺特靈，似乎很擅長于數學中的幾何學，總能選擇一種最佳路線去獲取食物.那么最短路徑在何方呢?由于兩點之間線段最短，而現(xiàn)在的兩點是在立方體上，因此有必要把三維空間轉化為二維平面.不妨把右側面繞側棱順時針旋轉90“，使它與正面在同一個平面內接成一個矩形，再連接AC交側棱于點O，連接OB，則路線AOB就是最短路線(如圖3).又由于不同的側面都可展開，每個側面都全等，因此共有6條相等長度的路線，設計意圖:此題來自教材，學生都很熟悉，并且解決此題的辦法是學生十分熟悉的公理“兩點之間線段最短”的簡單應用.3.模型提煉引申這個熟悉的問題.立方體上螞蟻吃糖的問題如此，長方體上螞蟻吃糖問題又會怎樣?筆者不由的想起了杜登尼，19世紀英國著名的迷題創(chuàng)作者，“螞蟻吃糖”其實來源于他創(chuàng)作的“蜘蛛和蒼蠅的問題”:如圖4，在一個長、寬、高分別為3m、2m、2m的長方體房間內，一只蜘蛛在一面墻的中間離天花板0.lm處(點A處) 蒼蠅在對面墻的中間，離地面0.lm處(點B處)，試問，蜘蛛去捉蒼蠅需要爬行的最短距離是多少?分析把長方體的側面展開后歸納起來可以分4種情況:(1)如圖5，AB=0.1+3+1.9=5(m);(2);(3) ;(4) .經過比較，可知第一種情況的路徑最短.由此我們發(fā)現(xiàn):(1)當長、高相等時橫向展開和縱向展開所求得的路程遠近相同，即長、高相等兩路皆近;(2)高“小”縱向展開走的路近，長“小”橫向展開走的路近，即誰小走誰近于是，針對引例中的問題，估計會有這么一個想法:如圖9，糖粘在杯子的外表面就簡單了，如粘在正外對面的B處，可以把圓柱(半徑為3cm，高為5cm)沿著點A所在的側棱進行側面展開，于是得到一個矩形，糖就粘在杯子上邊沿圓周長一半處. 設計意圖:有上例作鋪墊，通過轉化得到一個“最短路線極值模型”:把立體圖形沿側面展開，利用“兩點之間線段最短”，求最短路徑.4.模型分析一一化歸這個熟悉的問題.可是題目中的糖卻粘在正對面的內表面處，這時思路的關鍵是把圓柱形杯子側面看成里外兩層，好比一張矩形的紙上下對折后，對折線當作杯子的上邊沿，再讓左右兩邊重合卷出來的圓柱形杯子，讓螞蟻停在外一層矩形的下底邊的左端點處，糖粘在里一層矩形的下底邊的中點處.解題時需把折進去的里層拉出來，原圓柱就變成高度是原來的2倍，底面一樣的新圓柱，再把新圓柱沿著點A所在母線側面展開，那么螞蟻還在A處，糖就跑到了B處(如圖10)，如是最短路徑就是這個展開矩形上的線段AB，因此，螞蟻至少要爬約13.scm才能享受佳肴. 設計意圖:通過對“正方體”和“長方體”表面最短路徑的探討，讓學生在模仿解答的過程中，進一步熟悉“圈柱體表面最短路徑”模型的特征及其解.5.模型拓展一一祠示這個熟悉的問題. 多次重復和簡單的模仿并不能真正掌握一個數學模型，只有掌握了模型的特征和本質，才能熟練、靈活地應用數學模型，因此，模仿之后的延伸和拓展(意在揭示模型的本質)是數學模型教學過程中不可或缺的一環(huán)，它是模型通往應用與創(chuàng)新的前提.筆者在此不由的又想起了人教版八年級下冊89頁“拓廣探究”欄目第8題:已知，如圖1l(左)，圓柱的底面半徑為6cm，高為10cm，螞蟻從A點爬到B點的最短路程是多少(精確到0.Icm分析將圓柱體沿過點A的母線AC剪開并展開在同一平面上，得到圖11(右)，.但若將圓柱的底面半徑改為10cm，高改為6cm，螞蟻從A點爬到B點的最短路程是多少?根據上述求法得:但是如果螞蟻先沿母線AC由AC，然后在上底面沿直徑CB由CB，路徑長為:6+210=26(cm).根據上面的計算發(fā)現(xiàn)，圓柱體的高和底面直徑發(fā)生變化時，最短路徑也可能發(fā)生變化，不妨設高為h，底面半徑為r，則: (1)若沿AC剪開螞蟻在側面上爬行“線段AB”，路徑長為: (2)螞蟻先沿圖12母線AC由AC，然后在上底面沿直徑CB由CB，路徑長為:L2=h+2r，分別將Ll和L2平方后得: =h2+ (h是常數)，由此可知，d是;的二次函數，且它的圖象與橫軸的兩個交點的坐標是(0，0)，(如圖12所示)可得如下結論:(1)當0r4h礦一4時，do，即斌瑞，則Ll一4h鏟一4時，d0，即L圣LI，則LlL:，此時，先沿母線由AoC，再沿直徑由C弓刀，路徑最短;設計意圖:改變圓柱體的底面圓半徑和高，問題的本質雖然沒有發(fā)生變化，但受“底圓半徑和高”的影響，最短路徑可能會發(fā)生變化，讓學生進一步探討. 6.模型推廣解決一類相似的問題.形式化是數學的基本特征之一，數學的魅力不僅僅表現(xiàn)在實際生活中的廣泛應用上，還表現(xiàn)在數學在培養(yǎng)學生思維自幼上，有著其它學科不可替代的作用.注重數學模型在數學問題中應用，既可以升華學生對模型本質的認識，提高解題能力，又能有效的培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和良好的思維品質，面對問題時能主動嘗試著從數學角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略，培養(yǎng)學生的應用意識和建模能力.一般地，求一個多面體沿表面兩點的最短距離的方法是:沿兩個點所在平面的公共棱展開成平面圖形;求一個旋轉體(除球外)沿表面兩點的最短距離的方法是:沿旋轉體的某條母線展開成平面圖形(還要考慮高和底面圓的直徑對路徑長的影響):如果不涉及內外兩層的情況，只要在上述展開的基礎上，再把內外兩層沿邊線對稱地展開成平面，進而化歸為平面內兩點之間線段最短的問題，方法都是“展平”.筆者通過模型引入、識別、提煉、分析、拓展、推廣等方法啟發(fā)、誘導學生，其目的是為了讓學生親身經歷知識的發(fā)生、發(fā)展、形成與應用的過