數(shù)學(xué)建模-灰色預(yù)測模型(

.,灰色預(yù)測模型及其應(yīng)用,洛陽理工學(xué)院數(shù)理部,.,灰色預(yù)測模型（GrayForecastModel）是通過少量的、不完全的信息，建立數(shù)學(xué)模型并做出預(yù)測的一種預(yù)測方法.當(dāng)我們應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)的思想方法解決實(shí)際問題，制定發(fā)展戰(zhàn)略和政策、進(jìn)行重大問題的決策時，都必須對未來進(jìn)行科學(xué)的預(yù)測.預(yù)測是根據(jù)客觀事物的過去和現(xiàn)在的發(fā)展規(guī)律，借助于科學(xué)的方法對其未來的發(fā)展趨勢和狀況進(jìn)行描述和分析，并形成科學(xué)的假設(shè)和判斷.,.,灰色系統(tǒng)理論是研究解決灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決策和控制的理論.灰色預(yù)測是對灰色系統(tǒng)所做的預(yù)測.目前常用的一些預(yù)測方法（如回歸分析等），需要較大的樣本.若樣本較小，常造成較大誤差，使預(yù)測目標(biāo)失效.灰色預(yù)測模型所需建模信息少，運(yùn)算方便，建模精度高，在各種預(yù)測領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，是處理小樣本預(yù)測問題的有效工具.,.,1灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn)灰色系統(tǒng)的模型Sars疫情4銷售額預(yù)測5城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測6城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測7災(zāi)變與異常值預(yù)測,.,1灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),.,灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),灰色系統(tǒng)理論是由華中理工大學(xué)鄧聚龍教授于1982年提出并加以發(fā)展的。二十幾年來，引起了不少國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，得到了長足的發(fā)展。目前，在我國已經(jīng)成為社會、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)技術(shù)在等諸多領(lǐng)域進(jìn)行預(yù)測、決策、評估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一。特別是它對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的分析與建模，具有獨(dú)特的功效，因此得到了廣泛的應(yīng)用.在這里我們將簡要地介紹灰色建模與預(yù)測的方法.,.,一、灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),1.灰色系統(tǒng)的定義,灰色系統(tǒng)是黑箱概念的一種推廣。我們把既含有已知信息又含有未知信息的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng).作為兩個極端，我們將稱信息完全未確定的系統(tǒng)為黑色系統(tǒng)；稱信息完全確定的系統(tǒng)為白色系統(tǒng).區(qū)別白色系統(tǒng)與黑色系統(tǒng)的重要標(biāo)志是系統(tǒng)各因素之間是否具有確定的關(guān)系。,.,1灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),2.灰色系統(tǒng)的特點(diǎn),（1）用灰色數(shù)學(xué)處理不確定量，使之量化.,（2）充分利用已知信息尋求系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律.,（3）灰色系統(tǒng)理論能處理貧信息系統(tǒng).,.,1灰色系統(tǒng)的定義和特點(diǎn),常用的灰色預(yù)測有五種：,（1）數(shù)列預(yù)測，即用觀察到的反映預(yù)測對象特征的時間序列來構(gòu)造灰色預(yù)測模型，預(yù)測未來某一時刻的特征量，或達(dá)到某一特征量的時間。,（2）災(zāi)變與異常值預(yù)測，即通過灰色模型預(yù)測異常值出現(xiàn)的時刻，預(yù)測異常值什么時候出現(xiàn)在特定時區(qū)內(nèi)。,（3）季節(jié)災(zāi)變與異常值預(yù)測，即通過灰色模型預(yù)測災(zāi)變值發(fā)生在一年內(nèi)某個特定的時區(qū)或季節(jié)的災(zāi)變預(yù)測。,（4）拓?fù)漕A(yù)測，將原始數(shù)據(jù)作曲線，在曲線上按定值尋找該定值發(fā)生的所有時點(diǎn)，并以該定值為框架構(gòu)成時點(diǎn)數(shù)列，然后建立模型預(yù)測該定值所發(fā)生的時點(diǎn)。,（5）系統(tǒng)預(yù)測.通過對系統(tǒng)行為特征指標(biāo)建立一組相互關(guān)聯(lián)的灰色預(yù)測模型，預(yù)測系統(tǒng)中眾多變量間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系的變化。,.,2灰色系統(tǒng)的模型,.,在灰色系統(tǒng)理論中，把一切隨機(jī)變量都看作灰色數(shù)，即使在指定范圍內(nèi)變化的所有白色數(shù)的全體，對灰數(shù)處理主要是利用數(shù)據(jù)處理的方法去尋求數(shù)據(jù)間的內(nèi)在規(guī)律，通過對已知數(shù)據(jù)列中的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理而產(chǎn)生新的數(shù)據(jù)列，以此來研究尋求數(shù)據(jù)的規(guī)律性，這種方法稱為數(shù)據(jù)的生成。,常用的方法有：,累加生成累減生成均值生成,.,1）累加生成,把數(shù)列各時刻數(shù)據(jù)依次累加的過程稱為累加生成過程，記為AGO，有累加生成過程所得到的新數(shù)列稱為累加生成數(shù)列。,設(shè)原始數(shù)列為，令,則稱為數(shù)列的1次累加生成，數(shù)列稱為數(shù)列的1次累加生成數(shù)列。類似有,.,稱之為的r次累加生成，記稱之為的r次累加生成數(shù)列,.,2）累減生成,對于原始數(shù)據(jù)列依次做前后相鄰的兩個數(shù)據(jù)相減的運(yùn)算過程稱為累減生成過程，記為IAGO，,設(shè)原始數(shù)列為，令,則稱為數(shù)列的1次累減生成,一般地，對于r次累加生成數(shù)列則稱,為數(shù)列的r次累減生成,2）累減生成,.,3）均值生成,設(shè)原始數(shù)列則稱與為數(shù)列的鄰值，為后鄰值，為前鄰值。,對于常數(shù)，則稱,為有數(shù)列的鄰值在生成系數(shù)（權(quán)）下的鄰值生成數(shù),特別地，當(dāng)生成系數(shù)時則稱,為鄰均值生成數(shù)，即等權(quán)鄰值生成數(shù),.,2灰色系統(tǒng)的模型,通過下面的數(shù)據(jù)分析、處理過程，我們將了解到，有了一個時間數(shù)據(jù)序列后，如何建立一個基于模型的灰色預(yù)測。1.數(shù)據(jù)的預(yù)處理首先我們從一個簡單例子來考察問題.【例7.1】設(shè)原始數(shù)據(jù)序列,.,7.2灰色系統(tǒng)的模型,對數(shù)據(jù)累加,于是得到一個新數(shù)據(jù)序列,.,7.2灰色系統(tǒng)的模型,歸納上面的式子可寫為稱此式所表示的數(shù)據(jù)列為原始數(shù)據(jù)列的一次累加生成，簡稱為一次累加生成.顯然有,將上述例子中的,分別做成圖7.1、圖7.2.,可見圖7.1上的曲線有明顯的擺動，圖7.2呈現(xiàn)逐漸遞增的形式，說明原始數(shù)據(jù)的起伏已顯著弱化.可以設(shè)想用一條指數(shù)曲線乃至一條直線來逼近累加生成數(shù)列,.,7.2灰色系統(tǒng)的模型,圖7.2,圖7.1,為了把累加數(shù)據(jù)列還原為原始數(shù)列，需進(jìn)行后減運(yùn)算或稱相減生成，它是指后前兩個數(shù)據(jù)之差，如上例中,.,7.2灰色系統(tǒng)的模型,歸納上面的式子得到如下結(jié)果：一次后減,其中,.,.,.,.,.,.,.,.,.,白化定義,.,.,.,.,7.2灰色系統(tǒng)的模型,3.精度檢驗(yàn)(1)殘差檢驗(yàn)：分別計算,.,7.2灰色系統(tǒng)的模型,（3）預(yù)測精度等級對照表，見表7.1.,.,7.2灰色系統(tǒng)的模型,注：由于模型是基于一階常微分方程建立的，故稱為一階一元灰色模型，記為GM(1,1).須指出的是，建模時先要作一次累加，因此要求原始數(shù)據(jù)均為非負(fù)數(shù).否則，累加時會正負(fù)抵消，達(dá)不到使數(shù)據(jù)序列隨時間遞增的目的.如果實(shí)際問題的原始數(shù)據(jù)列出現(xiàn)負(fù)數(shù)，可對原始數(shù)據(jù)列進(jìn)行“數(shù)據(jù)整體提升”處理.注意到一階常微分方程是導(dǎo)出GM(1,1)模型的橋梁，在我們應(yīng)用GM(1,1)模型于實(shí)際問題預(yù)測時，不必求解一階常微分方程。,.,7.2灰色系統(tǒng)的模型,4.GM(1,1)的建模步驟綜上所述，GM(1,1)的建模步驟如下：,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,銷售額預(yù)測,.,7.3銷售額預(yù)測,隨著生產(chǎn)的發(fā)展、消費(fèi)的擴(kuò)大，市場需求通常總是增加的，一個商店、一個地區(qū)的銷售額常常呈增長趨勢.因此，這些數(shù)據(jù)符合建立灰色預(yù)測模型的要求。,【例7.2】表7.2列出了某公司19992003年逐年的銷售額.試用建立預(yù)測模型，預(yù)測2004年的銷售額，要求作精度檢驗(yàn)。,.,7.3銷售額預(yù)測,表7.2逐年銷售額（百萬元）,【例7.2】表7.2列出了某公司19992003年逐年的銷售額.試用建立預(yù)測模型，預(yù)測2004年的銷售額，要求作精度檢驗(yàn)。,.,7.3銷售額預(yù)測,解（1）由原始數(shù)據(jù)列計算一次累加序列，結(jié)果見表7.3.表7.3一次累加數(shù)據(jù),.,7.3銷售額預(yù)測,（2）建立矩陣：,.,7.3銷售額預(yù)測,.,7.3銷售額預(yù)測,.,7.3銷售額預(yù)測,.,7.3銷售額預(yù)測,.,7.3銷售額預(yù)測,下面我們用用GM預(yù)測軟件求解例7.2.參考附錄B（1）調(diào)用GM預(yù)測軟件.見圖7.3.,圖7.3,.,7.3銷售額預(yù)測,（2）在“文件”菜單中打開“新建問題”，見到數(shù)據(jù)輸入界面.見圖7.4.,.,7.3銷售額預(yù)測,（3）輸入題目名稱及元素個數(shù)后，點(diǎn)擊“下一步”鍵，得到原始數(shù)據(jù)序列,的輸入表格.見圖7.5.,.,7.3銷售額預(yù)測,（4）點(diǎn)擊“運(yùn)行”鍵，輸出分析數(shù)據(jù)如下：題目:123原始數(shù)列(5個):2.874，3.278，3.337，3.39，3.679預(yù)測結(jié)果如下：1dx/dt+ax=u：a=-0.03720438，u=3.065363312時間響應(yīng)方程：X(k+1)=85.2665*exp(0.0372k)-82.39253殘差E(k)：(1)0.00000000(2)0.04596109(3)-0.01754976(4)-0.09170440(5)0.065321154第一次累加值:(1)2.874000(2)6.152000(3)9.489000(4)12.879000(5)16.5580005相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)0.01402108(3)-0.00525914(4)-0.02705145(5)0.01775514,.,7.3銷售額預(yù)測,6原數(shù)據(jù)均值avg(x)：3.311600007原數(shù)據(jù)方差S(1)：0.258610608殘差的均值avg(E)：0.000507029殘差的方差S(2)：0.0614327610后驗(yàn)差比值:C：0.2375492811小誤差概率P：1.0000000012模型計算值X(k)：(1)2.87400000(2)3.23203891(3)3.35454976(4)3.48170440(5)3.6136788513預(yù)測的結(jié)果X*(k)：(1)3.75065581(2)3.89282490(3)4.04038293(4)4.19353416(5)4.35249061(6)4.51747233預(yù)測精度等級：好！,.,7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測,.,7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測,灰色理論以“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”的不確定問題為研究對象,通過對“部分”已知的信息的生成開發(fā),提取有價值的信息,構(gòu)造生成序列的手段來尋求現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象中存在的規(guī)律。交通事故作為一個隨機(jī)事件,其本身具有相當(dāng)大的偶然性和模糊性,如果把某地區(qū)的道路交通作為一個系統(tǒng)來看，則此系統(tǒng)中存在著一些確定因素(灰色系統(tǒng)稱為白色信息),如道路狀況、信號標(biāo)志,同時也存在一些不確定因素(灰色系統(tǒng)稱為灰色信息)如車輛狀況、氣候因素、駕駛員心理狀態(tài)等等,具有明顯的不確定性特征。因此可以認(rèn)為一個地區(qū)的道路交通安全系統(tǒng)是一個灰色系統(tǒng),可以利用灰色系統(tǒng)理論進(jìn)行研究。,.,7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測,【例7.3】某市2004年1-6月的交通事故次數(shù)統(tǒng)計見表7.5.試建立灰色預(yù)測模型.表7.5交通事故次數(shù)統(tǒng)計解利用GM預(yù)測軟件計算，輸出分析數(shù)據(jù)如下：原始數(shù)列(元素共6個):83，95，130，141，156，185預(yù)測結(jié)果如下：,.,7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測,1dx/dt+ax=u：a=-0.14401015，u=84.472788102時間響應(yīng)方程：X(k+1)=669.5752*exp(0.1440k)-586.57523殘差E(k)：(1)0.00000000(2)-8.71441263(3)10.22065739(4)2.66733676(5)-3.75981586(6)0.494054944第一次累加值:(1)83.000000(2)178.000000(3)308.000000(4)449.00000(5)605.000000(6)790.0000005相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.09173066(3)0.07862044(4)0.01891728(5)-0.02410138(6)0.00267057,.,7.4城市道路交通事故次數(shù)的灰色預(yù)測,6原數(shù)據(jù)均值avg(x)：131.666666677原數(shù)據(jù)方差S(1)：34.735508578殘差的均值avg(E)：0.181564129殘差的方差S(2)：6.3518971710后驗(yàn)差比值C：0.1828646711小誤差概率P：1.0000000012模型計算值X(k)：(1)83.00000000(2)103.71441263(3)119.77934261(4)138.33266324(5)159.75981586(6)184.5059450613預(yù)測的結(jié)果X*(k)：(1)213.08514646(2)246.09114698(3)284.20963932(4)328.23252716(5)379.07437672(6)437.79141674(7)505.60348139預(yù)測精度等級：好！這表明：如果該市不采取更有效的管制措施，7月的交通事故次數(shù)將上升至213次.,.,7.5城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測,.,7.5城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測,【例7.4】某市20012005年火災(zāi)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)見表7.7.試建立模型，并對該市2006年的火災(zāi)發(fā)生狀況做出預(yù)測。表7.7某市20012005年火災(zāi)數(shù)據(jù),.,7.5城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測,解利用GM預(yù)測軟件計算，輸出分析數(shù)據(jù)如下：原始數(shù)列(元素共5個):87，97，120，166，161預(yù)測結(jié)果如下：,1dx/dt+ax=u：a=-0.16668512，u=81.118924332時間響應(yīng)方程：X(k+1)=573.6597*exp(0.1667k)-486.65973殘差E(k)：(1)0.00000000(2)-7.05165921(3)-2.92477940(4)20.77885211(5)-10.56168104,.,7.5城市火災(zāi)發(fā)生次數(shù)的灰色預(yù)測,4第一次累加值:(1)87.000000(2)184.000000(3)304.000000(4)470.000000(5)631.0000005相對殘差e(k)：(1)0.00000000(2)-0.07269752(3)-0.02437316(4)0.12517381(5)-0.065600506原數(shù)據(jù)均值avg(x)：126.200000007原數(shù)據(jù)方差S(1)：32.319653468殘差的均值avg(E)：0.060183129殘差的方差S(2)：12.2635185110后驗(yàn)差比值C：0.3794446211小誤差概率P：1.0000000012模型計算值X(k)：(1)87.00000000(2)104.05165921(3)122.92477940(4)145.22114789(5)171.5616810413預(yù)測的結(jié)果X*(k)：(1)202.67991837(2)239.44245045(3)282.87305194(4)334.18119203(5)394.79571611(6)466.40463669預(yù)測精度等級：合格！結(jié)果表明：如果該市不采取更有效的防火措施，2006年的火災(zāi)事故次數(shù)約為203次.,.,7.6災(zāi)變與異常值預(yù)測,.,7.6災(zāi)變