工科數(shù)學(xué)分析-07數(shù)分試卷6學(xué)分答案

誠(chéng)信應(yīng)考,考試作弊將帶來(lái)嚴(yán)重后果華南理工大學(xué)考試數(shù)學(xué)分析三參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)注意事項(xiàng)1考前請(qǐng)將密封線內(nèi)填寫清楚；2所有答案請(qǐng)直接答在試卷上；3考試形式閉卷；4本試卷共兩大題，滿分100分，考試時(shí)間120分鐘。題號(hào)一計(jì)算二證明總分得分評(píng)卷人一計(jì)算題（共8題，每題9分，共72分）。1求函數(shù)在點(diǎn)0,0處的二次極限與二重極限331,SINSIFXYYX解，因此二重極限為43,Y0分因?yàn)榕c均不存在，3301LIMSINSIXYX3301LIMSINSIYX故二次極限均不存在。9分2設(shè)是由方程組所確定的隱函數(shù),其中和分別,YXZ,0ZXFYFFF具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù),求D解對(duì)兩方程分別關(guān)于求偏導(dǎo)X，4分。解此方程組并整理得9分YYXYZFFXFXFDZ3取為新自變量及為新函數(shù)，變換方程,WV。2ZZXYX_學(xué)院專業(yè)學(xué)號(hào)姓名座位號(hào)密封線內(nèi)不答題密封線線10XYDZYFFD設(shè)（假設(shè)出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)皆連續(xù)）,2YXYWZE解看成是的復(fù)合函數(shù)如下Z。4分,2YXYE代人原方程，并將變換為。整理得XYZ。9分2W4要做一個(gè)容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省31M解設(shè)圓桶底面半徑為,高為,則原問(wèn)題即為求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下RH的最小值，其中目標(biāo)函數(shù),2S表約束條件。3分21RH構(gòu)造LAGRANGE函數(shù)22,1FRHRH。令6分240,RHR解得，故有由題意知問(wèn)題的最小值必存在，當(dāng)?shù)酌?314,H半徑為高為時(shí)，制作圓桶用料最省。93,2R分5設(shè),計(jì)算32YXFEDFY解由含參積分的求導(dǎo)公式5分33222232YYXXYXYXYEEDEE32752YXYYYD。9分37521XYEE6求曲線所圍的面積，其中常數(shù)2XYABC,0ABC解利用坐標(biāo)變換由于，則圖象在第一三象限，從而可OS,IN0XY以利用對(duì)稱性，只需求第一象限內(nèi)的面積。3分2,0,SINCO2AB則6分,2XYVD122SINCO0ABD20SINCOAB9分7計(jì)算曲線積分,其中是圓柱面與平面352LZDXYDZL21XY的交線（為一橢圓），從軸的正向看去，是逆時(shí)針?lè)较?ZY解取平面上由曲線所圍的部分作為STOKES公式中的曲面，定ZY向?yàn)樯蟼?cè)，則的法向量為。3分1COS,CS0,2由STOKES公式得352LZDXYDZOCOS352DSXYZ6分S21XYD9分8計(jì)算積分,為橢球的上半部分的下側(cè)SYZDX221ZABC解橢球的參數(shù)方程為，其中SINO,SIN,COSYZ且02,。3分2SI,ZXAC積分方向向下，取負(fù)號(hào)，因此，6分YZDX22320SINOSIBD220IICACD9分4二證明題（共3題，共28分）。9（9分）討論函數(shù)在原點(diǎn)0,0處的連續(xù)性、3224,00XYYF可偏導(dǎo)性和可微性解連續(xù)性當(dāng)時(shí)，2XY，當(dāng)，2440XYF,0,XY從而函數(shù)在原點(diǎn)處連續(xù)。3分0,可偏導(dǎo)性，,0,LIMXXFFFX，,Y0,0YY即函數(shù)在原點(diǎn)處可偏導(dǎo)。5分可微性不存在，2232422001LILIXYXYXYFFYXY從而函數(shù)在原點(diǎn)處不可微。9分,10（9分）（9分）設(shè)滿足,FXY（1）在上連續(xù)，00,DXYAB（2），0F（3）當(dāng)固定時(shí)，函數(shù)是的嚴(yán)格單減函數(shù)。,XY試證存在，使得在上通過(guò)定義了一個(gè)0X,0FXY函數(shù)，且在上連續(xù)。Y證明（I）先證隱函數(shù)的存在性。由條件（3）知，在上是的嚴(yán)格單減函數(shù)，而由條件0,FX0,YBY（2）知，從而由函數(shù)的連續(xù)性得0,0FX，。Y,現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)。由于，則必存在使得0,X0,YB10，。0,FXB1,OX同理，則必存在使得2，。0,Y02,取，則在鄰域內(nèi)同時(shí)成立12MINX，。3分0,FXB0,FYB于是，對(duì)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，都成立,O，。0,Y0,X固定此，考慮一元連續(xù)函數(shù)。由上式和函數(shù)關(guān)于的連續(xù)性可X,FXY,FXY知，存在的零點(diǎn)使得,FY0B0。,而關(guān)于嚴(yán)格單減，從而使0的是唯一的。再由的任意性，,X,XYX證明了對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)，總能從找到唯一確定的與相0,OX,FY對(duì)應(yīng)，即存在函數(shù)關(guān)系或。此證明了隱函數(shù)的存在性。FF6分（II）下證隱函數(shù)的連續(xù)性。YFX設(shè)是內(nèi)的任意一點(diǎn)，記。X0,YFX對(duì)任意給定的，作兩平行線，。由上述證明知，。,0FXY,0FXY由的連續(xù)性，必存在的鄰域使得,OX，。,X對(duì)任意的，固定此并考慮的函數(shù)，它關(guān)于嚴(yán)格單減且XOYFYY，。,0FY,0FX于是在內(nèi)存在唯一的一個(gè)零點(diǎn)使，,X即對(duì)任意的，它對(duì)應(yīng)的函數(shù)值滿足。這證明了函數(shù),XY是連續(xù)的。9分YF11（10分）判斷積分在上是否一致收斂，并給出證明。10SINDX02證明此積分在上非一致收斂。證明如下2作變量替換，則XT。3分1201SINSINDTDT不論正整數(shù)多么大，當(dāng)時(shí)，恒有。3,2,4AN2SINT5分因此，7分2211SINAATDDTT214TA，當(dāng)時(shí)。2043N2因此原積分在上非一致收斂。10分0注不能用DIRICHLET判別