理論力學題庫第五章

1、理論力學題庫第五章一、 填空題1. 限制力學體系中各質點自由運動的條件稱為 。質點始終不能脫離的約束稱為 約束，若質點被約束在某一曲面上，但在某一方向上可以脫離，這種約束稱為 約束。2. 受有理想約束的力學體系平衡的充要條件是 ，此即 原理。3. 基本形式的拉格朗日方程為 ，保守力系的拉格朗日方程為 。4. 若作用在力學體系上的所有約束力在任意虛位移中所作的虛功之和為零，則這種約束稱為 約束。5. 哈密頓正則方程的具體形式是 和 。5-1. n個質點組成的系統(tǒng)如有k個約束，則只有 3n - k 個坐標是獨立的.5-2.可積分的運動約束與幾何約束在物理實質上沒有區(qū)別，合稱為 完整約束 .5-3自

2、由度可定義為：系統(tǒng)廣義坐標的獨立 變分數(shù)目 ，即可以獨立變化的 坐標變更數(shù) .5-4.廣義坐標就是確定力學體系空間位置的一組 獨立坐標 。 5-5.虛位移就是 假想的 、符合約束條件的、無限小的、 即時的 位置變更。 5-6.穩(wěn)定約束情況下某點的虛位移必在該點曲面的 切平面上 。5-7.理想、完整、穩(wěn)定約束體系平衡的充要條件是 主動力虛功之和為零 . 5-8.有效力（主動力 + 慣性力）的總虛功等于 零 。5-9.廣義動量的時間變化率等于 廣義力 （或：主動力+拉氏力）。5-10.簡正坐標能夠使系統(tǒng)的動能和勢能分別用 廣義速度 和 廣義坐標 的平方項表示。5-11.勒讓德變換就是將一組 獨立

3、變數(shù)變?yōu)榱硪唤M 獨立 變數(shù)的變換。5-12.勒讓德變換可表述為：新函數(shù)等于 不要的變量 乘以原函數(shù)對該變量的偏微商的 和 ，再減去原函數(shù)。 5-13.廣義能量積分就是 t 為循環(huán)坐標時的循環(huán)積分。5-14. 泊松定理可表述為：若是正則方程的初積分，則 也是正則方程的初積分.5-15.哈密頓正則方程的泊松括號表示為： ； 。5-16.哈密頓原理可表述為：在相同 始終 位置和 等時 變分條件下，保守、完整力系所可能做的真實運動是 主函數(shù) 取極值.5-17.正則變換就是 使正則方程 形式不變的廣義坐標的變換。5-18.正則變換目的就是通過正則變換，使新的H* 中有更多的 循環(huán)坐標 。5-19. 哈密

4、頓正則方程為： ； 。5-20. 哈密頓正則變換的數(shù)學表達式為： 。二、選擇題5-1. 關于廣義坐標的理解，下列說法正確的是：【B】 A 廣義坐標就是一般的坐標； B 廣義坐標可以是線量，也可以是角量；C 一個系統(tǒng)的廣義坐標數(shù)是不確定的；D系統(tǒng)廣義坐標的數(shù)目一定就是系統(tǒng)的自由度數(shù)5-2. 關于自由度數(shù)目的理解，下列說法正確的是：【B】 A系統(tǒng)的自由度數(shù)目就是系統(tǒng)的獨立的一般坐標的數(shù)目； B系統(tǒng)的自由度數(shù)目與系統(tǒng)的廣義坐標的獨立變更數(shù)目一定相同；C 一個系統(tǒng)的自由度數(shù)目是不確定的，與系統(tǒng)廣義坐標的選取有關；D系統(tǒng)的自由度數(shù)目一定與系統(tǒng)的廣義坐標的數(shù)目相同。5-3. 關于分析力學中的概念，找出錯誤

5、的說法：【D】 A 拉格朗日方程是S個二階常微分方程組成的方程組； B 哈密頓正則方程是2S個一階常微分方程組成的方程組； C 拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)的變量不同； D 拉格朗日方程和哈密頓正則方程是分析力學中兩個基本的方程，不能相互推演。5-4. 分析力學的特點中，正確的有：【C】 A 分析力學是對力學體系的分析過程的理論； B分析力學中系統(tǒng)的廣義坐標一定與系統(tǒng)的空間坐標有關；C分析力學的研究方法是通過選定系統(tǒng)的廣義坐標從而確定系統(tǒng)的運動規(guī)律；D 分析力學的研究方法只對力學體系有效5-5. 關于系統(tǒng)約束的分類，錯誤的描述有：【D】A 系統(tǒng)約束可分為幾何約束和運動約束；B 系統(tǒng)約束可分為穩(wěn)定約

6、束和不穩(wěn)定約束；C 約束就是對物體運動的位置或速度進行限定；D運動約束就是完整約束。5-6. 分析力學中的循環(huán)坐標，下列描述中錯誤的有：【D】A 循環(huán)坐標是指拉格朗日函數(shù)中或哈密頓函數(shù)中不顯含的廣義坐標；B 循環(huán)坐標能使拉格朗日方程或哈密頓正則方程求解簡單；C 循環(huán)坐標可以是線坐標，也可以是其它物理量；D 系統(tǒng)確定，循環(huán)坐標數(shù)目就一定確定5-7. 關于廣義動量和廣義速度，下列說法正確的有：【A】A廣義速度可以是線速度，也可以是其他的物理量； B廣義動量就是動量；C 廣義動量等于系統(tǒng)的廣義速度乘以系統(tǒng)的質量；D 廣義動量的增量等于力對時間的沖量。5-8. 關于虛功指的是【B】A 當質點發(fā)生位移時

7、力所作的功；B 質點在約束可能范圍內發(fā)生虛位移時力所作的功 ；C 虛力在質點發(fā)生位移時所作的功；D 虛力和虛位移所作的功。9. 設A、B兩質點的質量分別為mA、mB，它們在某瞬時的速度大小分別為vA、vB，則C(A) 當vA=vB，且mA=mB時，該兩質點的動量必定相等；(B) 當vA=vB，而mAmB時，該兩質點的動量也可能相等；(C) 當vAvB，且mAmB時，該兩質點的動量有可能相等；(D) 當vAvB，且mAmB時，該兩質點的動量必不相等；12-2. 設剛體的動量為K，其質心的速度為vC，質量為M，則B(A) K=MvC式只有當剛體作平移時才成立；(B) 剛體作任意運動時，式K=MvC

8、恒成立；(C) K=MvC式表明：剛體作任何運動時，其上各質點動量的合成的最后結果必為一通過質心的合動量，其大小等于剛體質量與質心速度的乘積；(D) 剛體作任何運動時，其上各質點動量合成的最后結果，均不可能為一通過質心的合動量。10. 如果質點系質心在某軸上的坐標保持不變，則D(A) 作用在質點系上所有外力的矢量和必恒等于零；(B) 開始時各質點的初速度均必須為零；(C) 開始時質點系質心的初速度必須為零；(D) 作用在質點系上所有外力在該軸上投影的代數(shù)和必恒等于零，但開始時質點系質心的初速度并不一定等于零。11. 圖示三個均質圓盤A、B、C的重量均為P，半徑均為R，它們的角速度w的大小、轉向

9、都相同。A盤繞其質心轉動，B盤繞其邊緣上O軸轉動，C盤在水平面上向右滾動而無滑動。在圖示位置時，A、B、C三個圓盤的動量分別用KA、KB、KC表示，則CwRAwRCwRB(A)KA=KB=KC;(B)KAKBKC;(C)KAKB=KC;(D)KA=KBKC;12. 圖a所示機構中，O1AO2B，且O1A=O2B=10cm，曲柄O1A以勻角速度w=2rad/s繞O1軸朝逆時針向轉動，O1、O2位于同一水平線上。圖b所示CD桿的C端沿水平面向右滑動，其速度大小vC=20cm/s，D端沿鉛直墻滑動。圖c所示EF桿在傾角為45的導槽內滑動，契塊以勻速u=20cm/s沿水平面向左移動。設AB、CD、EF

10、三均質桿的重量相等，在圖示位置時，它們的動量矢量分別用KAB、KCD、KEF表示，則B(b)45vCCD(c)4545uEF45wO2O1BA(a) (A)KAB=KCDKEF; (B)KAB= KEF KCD; (C)KABKCD KEF; (D)KAB=KCD= KEF.13. 圖示均質桿AB重W，其A端置于水平光滑面上，B端用繩懸掛。取圖示坐標系oxy，此時該桿質心C的坐標xC=0。若將繩剪斷，則CBAoWCyx(A) 桿倒向地面的過程中，其質心C運動的軌跡為圓??；(B) 桿倒至地面后，xC0；(C) 桿倒至地面后，xC=0；(D) 桿倒至地面后，xCvbvc)拋出，它們的質量均為M。若

11、不計空氣阻力，它們的質心加速度分別以aa、ab、ac表示。以下四種說法中，哪一個是正確的？A(b)vb(c)vcva(a)(A) aa=ab=ac；(B) aaababac；(D) aaabvbvc)拋出，它們的質量均為M。若不計空氣阻力，它們的速度在坐標軸上的投影，有以下四種說法，其中哪些是正確的？ADva(a)(b)vb(c)vc(A) vax=常量，vbx=常量，vcx=常量；(B) vax常量，vbx=常量，vcx=常量；(C) vay常量，vby=常量，vcy常量；(D) vay常量，vby常量，vcy常量。CAB18.圖示均質方塊質量為m，A、B兩處裝有兩個大小忽略不計的圓輪，并可

12、在光滑水平面上滑動，開始時方塊處于靜止狀態(tài)，若突然撤去B端的滑輪支撐，在剛撤去滑輪B的瞬時，以下幾種說法中，哪些是正確的？CEF(A) 在剛撤滑輪B的支撐時，方塊的質心加速度acAC向下；(B) 只有在剛撤滑輪B的支撐時，方塊的質心加速度ac鉛直向下；(C) 滑輪B的支撐撤去后，方塊質心加速度ac始終鉛直向下；(D) 只有在剛撤滑輪B的支撐時，方塊質心速度vc鉛直向下；(E) 滑輪B的支撐撤去后，方塊質心速度vc在x軸上的投影始終為零；(F)滑輪B的支撐撤去后，方塊質心的x坐標xc始終保持不變。19. 圖示一均質圓盤以勻角速度w繞其邊緣上的O軸轉動，已知圓盤的質量為m，半徑為R，則它對O軸的動

13、量矩GO大小為AwROC(A) GO=3mR2w/2(B) GO=mR2w(C) GO=mR2w/2(D) GO=mR2w/320.圖示一均質圓盤的質量為m，半徑為R，沿傾角為a的斜面滾動而無滑動。已知輪心O的速度大小為v，則它對斜面上與輪的接觸點C的動量矩大小GC為CvaCRO(A) GC=mRv/2;(B) GC=mRv;(C) GC=3mRv/2;(D) GC=5mRv/2.BAOww21.圖示兩均質細桿OA與AB鉸接于A，在圖示位置時，OA桿繞固定軸O轉動的角速度為w，AB桿相對于OA桿的角速度亦為w，O、A、B三點位于同一鉛直線上。已知OA和AB兩桿的質量均為m，它們的長度均為L，則

14、該系統(tǒng)此時對O軸的動量矩大小為GO為A(A) GO=21mL2w/6;(B) GO=11mL2w/4;(C) GO=8mL2w/3;(D) GO=5mL2w/3.22.圖示z軸通過某物體的質心C，該物體的質量為m，圖示z1、z2、z三軸彼此平行，z1dbaz2zz1yxC與z兩軸相距為a，z與z2兩軸相距為b，z1與z2兩軸相距為d，則由轉動慣量的平行軸定理可得A(A) Jz1-Jz2=m(a2-b2);(B) Jz2= Jz1+md2;(C) Jz=Jz1+ma2;(D) Jz2= Jz+mb2.木鐵，L/2L/2z3z2z1BAC23.圖示一細棒由鐵質和木質兩段構成，兩段長度相等，都可視為

15、均質的，其總質量為M。此棒對通過A、B、C的三軸z1、z2、z3的轉動慣量分別用Jz1、Jz2、Jz3表示，則B(A) Jz1Jz2Jz3;(B) Jz2 Jz1 Jz3;(C) Jz1=Jz2Jz3;(D) Jz1=Jz3+M(L/2)2。24.圖示A、B兩輪的轉動慣量相同。圖a中繩的一端掛一重W的物塊，圖b中繩的一端作用一鉛直向下的拉力T，且T=W。A輪的角加速度和它對轉軸A的壓力大小分別用eA和PA表示，B輪的角加速度和它對轉軸B的壓力大小分別用eB和PB表示，則ArrWBAT(a)(b)(A) eAeB;(D) PA=PB;m3m1eRBAC25.圖示一繩索跨過均質的定滑輪B，繩的一端

16、懸掛一質量為m1的重物A；另一端懸掛一質量為m3的重物C?；咮的質量為m2，半徑為R，其角加速度e設為順時針向。繩索的質量忽略不計，則滑輪B的轉動微分方程為C(A) (B) (C) (D) baqPACOB26.圖示桿OA的重量為P，它對O軸的轉動慣量為J，彈簧的剛性系數(shù)為c，當桿位于鉛直位置時，彈簧無變形，則OA桿在鉛直位置附近作微小擺動時的運動微分方程為B(A) (B) (C) (D) 27.圖示均質圓盤，其轉動慣量為JO，可繞固定軸O轉動，軸承的摩擦不計。盤上繞以繩索，繩的兩端各掛一重物A和B，它們的重量分別為PA和PB，且PAPB。設繩與圓盤間有足夠的摩擦，使繩不在圓盤上打滑。懸掛A

17、、B兩重物的繩索的張力分別為TA和TB。以下幾種說法中，哪些是正確的？ADBwAw(A) TATB；(B) TA=TB；(C) TA aO(b)aO(c)；(C) aO(a)= aO(d)；(D) e(a) e(b) e(c)；(E) e(a)= e(d)。OCwe30.圖示均質圓盤重P，半徑為r，圓心為C，繞偏心軸O以角速度w轉動，偏心距OC=e，該圓盤對定軸O的動量矩為B(A) (B) (C) (D) aAwBO31.圖示無重剛桿焊接在z軸上，桿與z軸的夾角a90，兩質量相同的小球A、B焊接在桿的兩端，且AO=OB，系統(tǒng)繞z軸以不變的角速度w轉動。以下四種說法中，哪個是正確的？B(A) 系

18、統(tǒng)對O點的動量矩守恒，對z軸的動量矩不守恒；(B) 系統(tǒng)對O點的動量矩不守恒，對z軸的動量矩守恒；(C) 系統(tǒng)對O點和對z軸的動量矩都守恒；(D) 系統(tǒng)對O點和對z軸的動量矩都不守恒。32.圖示均質圓輪重為Q，半徑為R，兩重物的重分別為P1和P2，平面的摩擦忽略不計。以下所列的求圓輪角加速度的公式中，哪個是正確的？CRP1P2(A) (B) (C) (D) 33.圖示均質圓輪繞通過其圓心的水平軸轉動，輪上繞一細繩，繩的右端掛一重為P的重物，左端有一重量也是P的小孩，圖(a)的小孩站在地面上，拉動細繩使重物上升；圖(b)的小孩離地在繩上爬動而使重物上升。問以下的幾種說法中，哪一個是正確的？B(b

19、)(a)(A) 兩種情況，其整個系統(tǒng)（指小孩、圓輪和重物一起）對轉軸的動量矩都守恒。(B) 圖(a)的整個系統(tǒng)對轉軸的動量矩不守恒，而圖(b)的整個系統(tǒng)對轉軸的動量矩守恒。(C) 圖(a)的整個系統(tǒng)對轉軸的動量矩守恒，而圖(b)的整個系統(tǒng)對轉軸的動量矩不守恒。(D) 兩種情況，其整個系統(tǒng)對轉軸的動量矩都不守恒。34.圖示一小球繞點O在鉛直面內作圓周運動。當小球由點A運動到點E時，若沿圓弧ADBE運動，其重力所作的功用W1表示；沿圓弧ACE運動，其重力所作的功用W2表示，則CDCBAOE(A) W1W2(B) W1 vC(b)vC(c)；(C) vC(a)vC(b) t(b)t(c)；(F) t

20、(a) t(b) w(b) w(c)；(C) 下滾距離s時，它們的角速度w(a) w(b) e(b) e(c)；(F) 它們下滾的角加速度e(a) e(b)FiFn(C) F1FiFn(D) F1FnPaaACF26.圖示重為P的小車在力F作用下沿平直軌道作加速直線運動，力F作用于A點，小車的加速度為a，C為小車的質心。則用動靜法分析時對小車添加的慣性力Fg是C(A) Fg= - F（加在A點）(B) Fg=- Pa/g（加在A點）(C) Fg=- Pa/g（加在C點）(D) Fg= - F （加在C點）27.圖示均質細桿AB長為L，質量為m，繞A軸作定軸轉動。設AB桿在圖示鉛直位置的角速度w

21、=0，角加速度為e。此時，AB桿慣性力系簡化的結果是Dw=0eCBA(A) Rg=mLe/2（，作用于A點）Mg=0（順時針向）(B) Rg=mLe/2（，加在質心C）Mg=mL2e/3（順時針向）(C) Rg=mLe/2（，加在A點）Mg=mL2e/12（順時針向）(D) Rg=mLe/2（，加在質心C）Mg=mL2e/12（順時針向）28.均質圓輪的質量為m，半徑為R，它在水平面上滾動而不滑動，其輪心O的加速度為a0，方向如圖所示，C點為輪的速度瞬心。圓輪慣性力系簡化的結果是BD(A) Rg=ma0（，加在C點）RaOCOMg=mRa0/2（逆時針向）(B) Rg=ma0（，加在O點）Mg

22、=mRa0/2（逆時針向）(C) Rg=ma0（，加在O點）Mg=3mRa0/2（逆時針向）(D) Rg=ma0（，加在C點）Mg=3mRa0/2（順時針向）29.圖示均質滑輪對通過其質心的轉軸O的轉動慣量為JO，繩兩端物重WA=WB。已知滑輪轉動的角速度w，繩重不計，則CBAOwWAWB(A) 兩物塊、和滑輪上各質點的慣性力均等于零(B) 兩物塊、和滑輪上各質點的慣性力均不等于零(C) 滑輪兩邊繩的張力相等(D) 滑輪兩邊繩的張力不相等eO2O1DCBAw30.圖示均質矩形板ABCD重W，O1A和O2B兩桿的長度相等，質量不計，O1O2=AB。設O1A桿轉動到圖示鉛直位置時，其角速度w0，角

23、加速度e=0，該桿所受的力的大小為Sd。當系統(tǒng)在圖示位置處于靜止時，桿所受力的大小為S0，則D(A) 必有Sd=S0(B) 不可能有SdS0(C) 必有SdS0(D) 可能有SdmB)，在光滑水平面內受一定的水平力F作用，圖(a)的兩物體作加速運動，圖(b)的兩物體作減速運動。若A對B的作用力以FAB表示，B對A的作用力以FBA表示，以下幾種說法中，哪個是正確的？AD(A) 圖(a)和圖(b)中均有FFAB；(B) 圖(a)中FBAFAB，圖(b)中FBAFAB；(C) 圖(a)中FBAFAB；(D) 圖(a)和圖(b)中均有FBA=FAB。37.圖示均質鼓輪重為P，輪上纏一繩索，繩的兩端掛有

24、重為P1和P2的重物，P1P2，輪與繩之間無相對滑動，繩索的質量不計，輪上作用一力偶矩為M的力偶。若繩對P1重物的拉力為T1 ，繩對P2重物的拉力為T2 ，以下四種說法中，哪個是錯誤的？AP2P1M(A) 若M=0，必有T1=T2；(B) 若M0，則P1作加速下降時，有可能T1=T2；(C) 若MT2；(D) 當M=0時，必有T1T2。38.質點系的慣性力系向一點簡化，一般得一主矢Rg和一主矩Mog。以下幾種說法中，哪些是正確的？BD(A) 慣性力系簡化的主矢Rg與簡化中心位置有關；(B) 慣性力系簡化的主矩Mog與簡化中心位置有關；(C) 慣性力系簡化的主矢Rg與簡化中心位置無關；(D) 慣

25、性力系簡化的主矩Mog與簡化中心位置無關。39.以下幾種說法中，哪些是正確的？BC(A) 當剛體繞定軸轉動時，慣性力系的合力必作用在其質心上；(B) 當剛體作平移運動時，慣性力系的合力必作用在其質心上；(C) 只有當慣性力系的主矢等于零時，慣性力系的主矩與簡化中心的位置無關；(D) 當剛體繞定軸轉動時，慣性力系的主矩的大小等于Jze。40.以下幾種說法中，哪個是正確的？D(A) 繞定軸轉動的剛體，只有當其質心在轉軸上，其軸承上就沒有附加的動反力，而達到動平衡；(B) 具有對稱平面的物體繞定軸轉動時，若轉軸垂直于此對稱平面，就可達到動平衡；(C) 繞定軸轉動的剛體，要使其達到動平衡，只要其轉軸通

26、過剛體的質心就可以；(D) 繞定軸轉動的剛體，要使其達到動平衡，不僅要其轉軸通過剛體的質心，而且還要求轉軸垂直于其質量對稱平面。 二.簡答題5.1 虛功原理中的“虛功”二字作何解釋？用虛功原理理解平衡問題，有何優(yōu)點和缺點？ 答：作.用于質點上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、符合約束的、無限小的.即時位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無限小的.且與過程無關的功，它與真實的功完全是兩回事.從可知：虛功與選用的坐標系無關，這正是虛功與過程無關的反映；虛功對各虛位移中的功是線性迭加，虛功對應于虛位移的一次變分.在虛功的計算中應注意：在任意虛過程中假定隔離保持不變，這是虛位移無

27、限小性的結果.虛功原理給出受約束質點系的平衡條件，比靜力學給出的剛體平衡條件有更普遍的意義；再者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動力學問題，這是剛體力學的平衡條件無法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下的質點系的平衡問題時，由于約束反力自動消去，可簡便地球的平衡條件；最后又有廣義坐標和廣義力的引入得到廣義虛位移原理，使之在非純力學體系也能應用，增加了其普適性及使用過程中的靈活性.由于虛功方程中不含約束反力.故不能求出約束反力，這是虛功原理的缺點.但利用虛功原理并不是不能求出約束反力，一般如下兩種方法：當剛體受到的主動力為已知時，解除某約束或某一方向的約束代之以約束反力；再

28、者，利用拉格朗日方程未定乘數(shù)法，景觀比較麻煩，但能同時求出平衡條件和約束反力.5.2 為什么在拉格朗日方程中， q 不包含約束反作用力？又廣義坐標與廣義力的含義如何？我們根據(jù)什么關系由一個量的量綱定出另一個量的量綱? 答 因拉格朗日方程是從虛功原理推出的，而徐公原理只適用于具有理想約束的力學體系虛功方程中不含約束反力，故拉格朗日方程也只適用于具有理想約束下的力學體系，不含約束力；再者拉格朗日方程是從力學體系動能改變的觀點討論體系的運動，而約束反作用力不能改變體系的動能，故不含約束反作用力，最后，幾何約束下的力學體系其廣義坐標數(shù)等于體系的自由度數(shù)，而幾何約束限制力學體系的自由運動，使其自由度減小

29、，這表明約束反作用力不對應有獨立的廣義坐標，故不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉格朗日方程，對受有幾何約束的力學體系既非完整系，則必須借助拉格朗日未定乘數(shù)法對拉格朗日方程進行修正.廣義坐標市確定質點或質點系完整的獨立坐標，它不一定是長度，可以是角度或其他物理量，如面積、體積、電極化強度、磁化強度等.顯然廣義坐標不一定是長度的量綱.在完整約束下，廣義坐標數(shù)等于力學體系的自由度數(shù)；廣義力明威力實際上不一定有力的量綱可以是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強、場強等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對應的廣義坐標作單位值的改變，且其余廣義坐標不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由知，有功的量綱，據(jù)此

30、關系已知其中一個量的量綱則可得到另一個量的量綱.若是長度，則一定是力，若是力矩，則一定是角度，若是體積，則一定是壓強等.3.廣義動量和廣義速度是不是只相差一個乘數(shù)m ？答 與不一定只相差一個常數(shù)，這要由問題的性質、坐標系的選取形式及廣義坐標的選用而定。直角坐標系中質點的運動動能，若取為廣義坐標，則，而，相差一常數(shù)，如定軸轉動的剛體的動能，取廣義坐標，而與相差一常數(shù)轉動慣量，又如極坐標系表示質點的運動動能，若取，有，而，二者相差一變數(shù)；若取有，而,二者相差一變數(shù).在自然坐標系中，取，有，而，二者相差一變數(shù).從以上各例可看出：只有在廣義坐標為長度的情況下，與才相差一常數(shù);在廣義坐標為角量的情形下，

31、與相差為轉動慣量的量綱.為何比更富有物理意義呢？首先，對應于動力學量，他建立了系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)、或與廣義速度、廣義坐標的聯(lián)系，它的變化可直接反應系統(tǒng)狀態(tài)的改變，而是對應于運動學量，不可直接反應系統(tǒng)的動力學特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù)中不含某一廣義坐標時，對應的廣義動量常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問題帶來方便，而此時循環(huán)坐標對應的廣義速度并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場中，不含，故有常數(shù),但常數(shù)；最后，由哈密頓正則方程知,是一組正則變量:哈密頓函數(shù)中不含某個廣義坐標時，對應的廣義動量常數(shù)，不含某個廣義動量時，對應的廣義坐標常數(shù)為什么在拉格朗日方程只適用于完整系？如為不完整系，能否由式得出約束方程

32、式？答只有對于完整系，廣義坐標數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式（5.3.14）各才能全部相互獨立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只適用于完整系，非完整力學體系，描述體系的運動需要的廣義坐標多于自由度數(shù)，各不全部獨立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式結合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用于非完整系。 5.6 平衡位置附近的小振動的性質，由什么來決定？為什么2 個常數(shù)只有2 個是獨立的？答 力學體系在平衡位置附近的動力學方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式，其中，久期方程的各根（本征值）的性質決定體系平衡位置附近的小振動性質。因從本征方程（5.4.6

33、）式中可求出個的本征值（），每一個對應一個獨立的常數(shù)故個常數(shù)中只有個是獨立的。 5.7 什么叫簡正坐標？怎樣去找？它的數(shù)目和力學體系的自由度之間有何關系又每一簡正坐標將作怎樣的運動？ 答多自由度體系的小振動，每一廣義坐標對應于個主頻率的諧振動的疊加。若通過坐標間線性變換使得每一廣義坐標僅對應一個頻率的振動，則變換后的坐標稱之為簡正坐標，對應的頻率為簡正頻率，每一簡正坐標對應一個簡正頻率，而簡正頻率數(shù)和力學體系的自由度數(shù)相等，故簡正坐標數(shù)等于自由度數(shù)。 值得說的是，每一簡正振動為整個力學體系所共有，反映的是各質點（整體）的振動之一，其他坐標都作為簡正坐標的線性函數(shù)，由個簡正振動疊加而成。這種方法

34、在統(tǒng)計物理，固體物理中都有運用。5.8 多自由度力學體系如果還有阻尼力，那么它們在平衡位置附近的運動和無阻尼時有何不同？能否列出它們的微分方程？對一完整的穩(wěn)定的力學體系在有阻尼的情況下，它們在平衡位置附近將作衰減運動。引入耗散函數(shù)則阻力 力學體系的運動方程改為其中，中是的函數(shù)，把在平衡位形區(qū)域展開成泰勒級數(shù)高級項很小，只保留頭一項，則均為常數(shù)。代入運動方程得把代入上式得本征值方程在，的小阻尼情況下，本征值，且振動方程為顯然是按指數(shù)率的衰減振動。哈密頓正則方程能適用于不完整系嗎？為什么？能適用于非保守系嗎？為什么？答：拉格朗日方程只適用于完整系，哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能適用

35、于完整的，保守的力學體系，對非保守體系（5.3.18）改寫為其中為非有勢力，或寫為即。經勒讓德變換后用課本上同樣的方法可推得非保守系中的哈密頓正則方程 5.11 哈密頓函數(shù)在什么情況下是整數(shù)？在什么情況下是總能量？試祥加討論，有無是總能量而不為常數(shù)的情況？ 答：若哈密頓函數(shù)不顯含時間，則；對穩(wěn)定約束下的力學體系，動能不是速度的二次齊次函數(shù)，則,是以哈密頓正則變量表示的廣義總能量，因不穩(wěn)定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約束力，故有此差異，此時并不是真正的能量；對穩(wěn)定的，保守的力學體系，若含則是能量但不為常熟。5.12 何謂泊松括號與泊松定理？泊松定理在實際上的功用如何？ 5.12答

36、：泊松括號是一種縮寫符號，它表示已同一組正則變量為自變量的二函數(shù)之間的關系。若，則是物理學中最常用的泊松括號，用泊松括號可表示力學體系的運動正則方程用泊松括號的性質復雜微分運算問題化為簡單的括號運算，這種表示法在量子力學，量子場論等課程中被廣泛應用。每一正則方程必對應一個運動積分，利用泊松括號從正則方程=積分可以推出另外一個積分，這一關系稱為泊松定理。5.13 哈密頓原理是用什么方法運動規(guī)律的？為什么變分符號可置于積分號內也可移到積分號外？又全變分符號能否這樣？答：哈密頓原理是用變分的方法確定運動規(guī)律的，它是力學變分原理的積分形式。基本思想是在描述力學體系的維空間中，用變分求極值的方法，從許多

37、條端點相同的曲線中挑選一條真是軌道確定體系的運動變化規(guī)律。因為對等時變分，故變分符號可置于積分號內也可置于積分號外，而不等時變分，故全變分符號不能這樣。 5.14 正則變換的目的及功用何在？又正則變換的關鍵何在？ d答：力學體系的哈密頓函數(shù)中是否有循環(huán)坐標系或循環(huán)坐標的數(shù)目與坐標系（或參變數(shù)）的選取有關，故在正則方程形式不變的前提下，通過某種變數(shù)變換找到新的函數(shù)，使之多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標，此即正則變換的目的及公用。由于每一循環(huán)坐標對應一個運動積分，正則變換后可多得到一些運動積分，給解決問題帶來方便，正則變換的關鍵是母函數(shù)的選取，其選取的原則是使中多出現(xiàn)循環(huán)坐標，但并無一定的規(guī)律可循，要具體問題具體分析。 D 5.15 哈密頓-雅可比理論的目的何在？試簡述次理論解題時所應用的步驟. 答：哈密頓正則方程是個一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由而已知運動積分求出其余的運動積分往往是已知解的線性組合或橫等時，并不能給出新的解；而用正則變換可多得到一些循環(huán)坐標是正則方程立即有解，但母函數(shù)的選取往往很困難，哈密頓雅可畢理論的目的既是要彌補上述缺陷，通過一個特殊的正則變換，使得用新變量表示的哈密頓函數(shù)，此時全部為常數(shù)，這樣哈密頓得主函數(shù)極為母函數(shù)，從而解決母函數(shù)難以尋找的困難。5.16 正則方程與及之間關系如何？我們能