數(shù)學(xué)建模之傳染病模型

1、第五章 微 分 方 程 模 型如果實(shí)際對(duì)象的某特性是隨時(shí)間（或空間）變化的，那么分析它的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)它的未來性態(tài)時(shí)，通常要建立此實(shí)際對(duì)象的動(dòng)態(tài)模型，這就是微分方程模型.1 傳 染 病 模 型建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，預(yù)報(bào)傳染病高潮的到來等，一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.考慮某地區(qū)的傳染病的傳染情況，設(shè)該地區(qū)人口總數(shù)為，既不考慮生死，也不考慮遷移，時(shí)間以天為計(jì)量單位.一. SI 模 型假設(shè)條件：1. 人群分為易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)兩類人，簡稱為健康人和病人，在時(shí)刻這兩類人在總?cè)藬?shù)中所占比例分別記作和.

2、2. 每個(gè)病人每天有效接觸的平均人數(shù)是(常數(shù))，稱為日接觸率，當(dāng)病人與健康人有效接觸時(shí)，使健康者受感染變?yōu)椴∪?試建立描述變化的數(shù)學(xué)模型.解： 由假設(shè)2知，每個(gè)病人每天可使個(gè)健康者變?yōu)椴∪耍钟捎诓∪藬?shù)為，每天共有個(gè)健康人被感染.于是就是病人數(shù)的增加率，即有(1) 而.又記初始時(shí)刻()病人的比例為，則這就是Logistic模型，其解為 結(jié)果分析作出和的圖形如下：1. 當(dāng)時(shí)，取到最大值，此時(shí)刻為2. 當(dāng)時(shí)，即所有人終將被傳染，全變?yōu)椴∪耍ㄟ@是不實(shí)際的）.二. SIS 模 型在前面假設(shè)1、2之下，再考慮病人可以醫(yī)治，并且有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變成

3、健康者，健康者還可以被感染再變成病人，此模型稱SIS模型.假設(shè)1、2同SI模型，增加假設(shè):3. 病人每天被治愈的人數(shù)占病人總數(shù)的比例為，稱為日治愈率.病人治愈后成為易感染者（健康人）.顯然是這種傳染病的平均傳染期.解：在假設(shè)1、2、3之下，模型（1）修正為于是 解得 結(jié)果分析1. 令.注意到和的含義，可知是一個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù). 2. 接觸數(shù)是一個(gè)閾值.當(dāng)時(shí)，病人比例越來越小，最終趨于零.當(dāng)時(shí)，的增減性取決于的大小，其極限值.3. SI模型是SIS模型中的情形.三. SIR 模 型 大多數(shù)傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強(qiáng)的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他們已經(jīng)退出傳染系統(tǒng)，此時(shí)模型的假設(shè)為1.人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱為SIR模型.三類人在總?cè)藬?shù)中占的比例分別記作、和.1. 病人的日接解率為，日治愈率為（與SIS模型相同），傳染期接觸數(shù)為.解：由假設(shè)1，有 由假設(shè)2，得 又設(shè)于是(2)我們?cè)谙嗥矫嫔?/p>