格林公式與曲面積分總結

1、曲面積分與格林公式總結1曲面積分的概念（1）對面積的曲面積分1）定義：設函數(shù)在光滑曲面上有界，通過分割、近似、求和、取極限得到和的極限就是對面積的曲面積分，即 2）性質： 與曲面?zhèn)鹊倪x擇無關，即 對曲面具有可加性，即若，則（2）對坐標的曲面積分1）定義：設函數(shù)在光滑的有向曲面上有界，通過分割、近似、求和、取極限得到和的極限就是對坐標的曲面積分，即2）性質： 與曲面的側有關， 即 對曲面具有可加性，即若，則2曲面積分的計算方法（1）對面積的曲面積分化為投影域上的二重積分計算方法與步驟： 1）畫出曲面草圖，寫出曲面方程；2）做三代換： ； ； 曲面在面上的投影域將對面積的曲面積分化為二重積分；3）

2、在投影域上計算二重積分（2）對坐標的曲面積分 計算方法與步驟 1）利用高斯公式 若為封閉曲面，則條件一：在空間區(qū)域內偏導連續(xù)； 條件二：曲面為閉曲面的外側 若為非封閉曲面，且比較復雜, 在由 (為閉合)所圍成的空間閉區(qū)域中有一階連續(xù)偏導數(shù)，則2）通過投影到坐標面上化為二重積分 其中號的確定：若曲面的法向量與軸夾角為銳角時，第一個積分前取正號，否則取負號；若曲面的法向量與軸夾角為銳角時，第二個積分前取正號，否則取負號；若曲面的法向量與軸夾角為銳角時，第三個積分前取正號，否則取負號3）利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系改變投影面其中，為曲面上點處法向量的方向余弦（3）兩類曲面積分的聯(lián)系 其中為曲面上點處法

3、向量的方向余弦3曲面積分應用1）幾何應用： 空間曲面的面積2）物理應用： 面密度為的物質曲面，質量： ；重心坐標： ，；轉動慣量： ，流體流量：設流體的密度，速度，單位時間內流過曲面指定側的流量 4高斯公式設空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有這里是的整個邊界曲面的外側，是上點處的法向量的方向余弦高斯公式的物理意義：若是高斯公式中閉區(qū)域的邊界曲面的外側，那么解釋為單位時間內離開閉區(qū)域的流體的總質量等于分布在內的源頭在單位時間內所產生的流體的總質量所以高斯公式另一寫法其中是空間閉區(qū)域的邊界曲面，而是在外側法向量上的投影向量場的散度： 稱為向量場的散度5斯托克斯公

4、式設為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側符合右手規(guī)則，函數(shù)在包含曲面在內的一個空間區(qū)域內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有另一種寫法 環(huán)流量：沿有向閉曲線的曲線積分叫向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量 向量場的旋度：斯托克斯公式物理意義：向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量等于向量場的旋度場通過曲線所張的曲面的通量二、例題分析1對面積的曲面積分例1計算，其中為球面解：方法1：曲面分成兩個半球面, 則面積元素分別為，又它們在面上的投影均為，因此積分同理 ,于是 方法2：之間投影到平面計算2對坐標的曲面積分上述三種計算方法適用情況：（1）若曲面在面上投影為一個區(qū)域，則用方法3）簡便；（2）

5、若曲面在面上投影為一條線，且具有連續(xù)的偏導數(shù)，則通常用加面，使封閉，利用高斯公式；（3）若曲面在面上投影為一條線，偏導數(shù)不連續(xù)的情況下，使用方法2）處理例2計算曲面積分，其中為下半球面的上側，為大于零的常數(shù)解：因為被積函數(shù)在點沒有定義，不能用加、減一塊面構成閉曲面計算積分，應先將半球面方程帶入被積函數(shù)中，得以下利用三種方法計算本題：方法1： 利用高斯公式補一張面，投影域為，且是下側，這里則 方法2：投影法：曲面投影到平面上應分成前后兩塊，即曲面在平面的投影域為，曲面在平面的投影域為，因為 而 ，于是 方法3：轉換投影法：投影到平面上， 曲面曲面法向量為， 投影域為， 例3計算，其中是橢球面外側

6、解：當時， ，但是曲面方程不滿足常數(shù)，將曲面改換為：外側，（），于是 ，即 （）例5 計算，其中為由曲面與平面所圍成的閉曲面外側解：對第一個積分可以用高斯公式，即 （其中：為在部分），對于第二個積分不能用高斯公式，因為在處偏導數(shù)不存在，只能投影，將曲面分成兩塊，上側，下側，因為垂直于平面，所以， 對于積分，將投影到平面還需要分麻煩，采用轉換投影法，投影到平，因為曲面法向量，所以（因為被積函數(shù)關于的奇函數(shù)且積分區(qū)域關于軸對稱），于是 注意：有時對第二類曲面積分的幾項，各采用不同的方法去做會帶來方便3利用斯托克斯公式計算曲線積分例7計算，其中為球面，的邊界線，從球心看為逆時針方向解：方法1： 曲線

7、用參數(shù)方程表示，將分成3段，平面上一段：（從到0），則，由的輪換對稱及表達式的輪換對稱知道 方法2： 用斯托克斯公式計算斯托克斯公式： 其中（1）為分段光滑的空間閉曲線；是以為邊界的分片光滑有向曲面（符合右手規(guī)則）；（2）函數(shù)在含的空間區(qū)域內偏導數(shù)連續(xù)這里，則 （）注意：方向：從球心看去是逆時針方向，從外看去是順時針方向，曲面法向量指向球心4曲面積分的應用例8設空間曲線構件的線密度為 ，且曲線方程是曲面與平面的交線，求曲線構件的質量解：相交的曲線方程，消去得到一個過曲線的柱面方程 又該曲線的質量 ，將曲線方程代入被積函數(shù)即可計算出該積分注意：也可以利用參數(shù)方程計算該積分例9設向量，曲面為上半球

8、面，被錐面所截部分（即）的上側，求通過曲面的流量（流體質量）解：流量 因為曲面在面上投影域的邊界曲線比較容易求，所以用轉換投影法，由與，消去，得到，所以曲面在面上投影區(qū)域為：，并且在面上的投影點不重合，因為 ，所以于是 一、格林公式牛頓萊布尼茲公式表示：在區(qū)間上的定積分可以通過它的原函數(shù)在這個區(qū)間端點的值來表達而格林公式表示：在平面區(qū)域上的二重積分可以通過沿閉區(qū)域的邊界曲線的曲線積分來表達這樣，牛頓萊布尼茲公式成為格林公式的特殊情形平面單連通域的概念設為平面區(qū)域，如果內任一閉曲線所圍的部分都屬于，則稱為平面單連通區(qū)域，否則稱為復連通區(qū)域例如：平面上的圓形區(qū)域，上半平面都是單連通區(qū)域，圓環(huán)形區(qū)域

9、都是復連通區(qū)域對平面區(qū)域的邊界曲線，規(guī)定的正向如下：當觀察者沿的方向行走時，總在他的左邊例如是邊界曲線及所圍成的復連通域(圖8)，作為的正向邊界，的正向是逆時針方向，而的正向是順時針方向定理1 設閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有, (1)其中是的取正向的邊界曲線公式(1)叫做格林公式證 先假設區(qū)域既是型又是Y型的情形，即穿過區(qū)域且平行坐標軸的直線與的邊界曲線的交點恰好為兩點(圖9)設，因為連續(xù)，所以.另一方面，對坐標的曲線積分.因此得 . (2)類似地，設，則可證. (3)由于既是型又是型的區(qū)域，(2)(3)同時成立，二式合并即得公式(1)區(qū)域既是型又是型這樣的要

10、求是相當嚴格的，但是對于一般情形，即區(qū)域不滿足這個條件時，我們可在內引進輔助線把分成有限個部分閉區(qū)域，使得每個部分閉區(qū)域都滿足這個條件，如圖10，應用公式(1)于每個部分區(qū)域，即可得證因此，一般地對于由分段光滑曲線圍成的閉區(qū)域公式(1)都成立證畢注 (1) 格林公式中左端二重積分的被積函數(shù)是，而且在內偏導連續(xù)這是初學者容易記錯或者忽略的地方右端曲線積分中曲線對區(qū)域來說都是正向，這也是需要注意的(2) 對于復連通區(qū)域，格林公式右端應包括沿區(qū)域的全部邊界的曲線積分例如對圖8的復連通域(陰影部分)格林公式應為.其中、是的取正向的閉曲線(3) 格林公式揭示出二重積分與平面曲線積分之間的聯(lián)系，同時也給出

11、了通過二重積分計算曲線積分的一個重要公式許多情況，曲線積分化為二重積分計算往往是方便的當然有些二重積分也可以化為曲線積分來計算，但是在化為曲線積分時，被積表達式并不是唯一的例如，化為曲線積分時，即可以是，也可以是或者是，等等格林公式的一個簡單應用，在公式(1)中取，即得，上式左端為閉區(qū)域的面積的兩倍，因此區(qū)域的面積可以用下面的曲線積分計算. (4)例1 求橢圓，所圍成的面積解 由公式(4).例4 計算，其中L為一條無重點、分段光滑且不經過原點的連續(xù)閉曲線，的方向為逆時針方向解 令，當時，有記所圍成閉區(qū)域為，當時，由格林公式(1)得.當時，、不滿足格林公式中的條件，因此不能直接應用格林公式我們選

12、取適當小的作位于內的圓周：，記和所圍成的閉區(qū)域為(圖12)這時，、在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)對復連通區(qū)域應用格林公式.其中的方向為逆時針方向，由于上式左端積分值為零，所以.注 如果積分曲線不是閉曲線，可以作適當?shù)妮o助線使與構成閉曲線，這時只要，在閉曲線圍成的區(qū)域內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，也可以應用格林公式，間接計算沿著的曲線積分二、平面上曲線積分與路徑無關的條件我們知道場力沿曲線作功的問題，可以用對坐標的曲線積分來計算在許多物理與力學問題中，場力作功常常與路徑無關，而只與路徑的起點和終點有關這個問題在數(shù)學上就表現(xiàn)為曲線積分與路徑無關的問題為此首先要明確什么叫做曲線積分與路徑無關，并進一步討論在什么條件

13、下曲線積分與路徑無關：設是一個區(qū)域，在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，如果對于內任意指定的兩點、，以及內以點到點的任意兩條曲線、(圖13)等式恒成立，就說曲線積分在內與路徑無關，否則便說與路徑有關由此我們得到一個重要結論，即：曲線積分在內與路徑無關等價于沿內任意閉曲線的曲線積分等于零事實上，如果曲線積分與路徑無關，那么，對于具有相同起點與終點的任意曲線、，有由于 所以 .從而 .這里是一條有向閉曲線，因此在區(qū)域內由曲線積分與路徑無關可以推得在內沿閉曲線的曲線積分為零反過來如果在內沿任意閉曲線的曲線積分為零，也可以推得在內曲線積分與路徑無關由格林公式，啟示我們，如果沿閉曲線的曲線積分為0，應該有，并且利用

14、格林公式我們可以證明如下定理定理2 設區(qū)域是一個單連通域，函數(shù)，在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則曲線積分在G內與路徑無關(或沿G內任意閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是 (5)證 (充分性) 設在內任取一條閉曲線，要證條件(5)成立時，因為閉曲線所圍成閉區(qū)域全部在內，應用格林公式有.由條件(5)即得右端曲線積分等于0(必要性) 現(xiàn)在要證：如果沿內任意閉曲線的曲線積分為零，那么在內恒有成立用反證法，假設 ，那么在內至少有一點使為確定起見，不妨假設由于、在內連續(xù)，可以在內取得一個以為圓心、半徑足夠小的圓形閉曲域，使得在上恒有，于是由格林公式這里是的正向邊界曲線，是的面積，從而這與在內沿任意閉曲線的曲線積分為零的假定相矛盾，所以在內(5)式處處成立證畢注 定理2要求是單連通域，且，在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，如果這兩個條件之一不滿足，那么定理結論不能保證成立，如例4三、二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)，有全微分公式，對應曲線積分的表達式，我們要問，滿足什么條件時，這個表達式也恰好是某個函數(shù)的全微分？如果這個二元函數(shù)存在，又應該如何求出？定理3 設區(qū)域是一個單連通域，函數(shù)，在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則在內是某個函數(shù)的全微分的充分必要條件是 (5)在G內恒成立證 (略)根據這個定理，如果函數(shù)，在單