格林公式與曲面積分總結(jié)

1、曲面積分與格林公式總結(jié)1曲面積分的概念（1）對面積的曲面積分1）定義：設(shè)函數(shù)在光滑曲面上有界，通過分割、近似、求和、取極限得到和的極限就是對面積的曲面積分，即 2）性質(zhì)： 與曲面?zhèn)鹊倪x擇無關(guān)，即 對曲面具有可加性，即若，則（2）對坐標(biāo)的曲面積分1）定義：設(shè)函數(shù)在光滑的有向曲面上有界，通過分割、近似、求和、取極限得到和的極限就是對坐標(biāo)的曲面積分，即2）性質(zhì)： 與曲面的側(cè)有關(guān)， 即 對曲面具有可加性，即若，則2曲面積分的計算方法（1）對面積的曲面積分化為投影域上的二重積分計算方法與步驟： 1）畫出曲面草圖，寫出曲面方程；2）做三代換： ； ； 曲面在面上的投影域?qū)γ娣e的曲面積分化為二重積分；3）

2、在投影域上計算二重積分（2）對坐標(biāo)的曲面積分 計算方法與步驟 1）利用高斯公式 若為封閉曲面，則條件一：在空間區(qū)域內(nèi)偏導(dǎo)連續(xù)； 條件二：曲面為閉曲面的外側(cè) 若為非封閉曲面，且比較復(fù)雜, 在由 (為閉合)所圍成的空間閉區(qū)域中有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則2）通過投影到坐標(biāo)面上化為二重積分 其中號的確定：若曲面的法向量與軸夾角為銳角時，第一個積分前取正號，否則取負(fù)號；若曲面的法向量與軸夾角為銳角時，第二個積分前取正號，否則取負(fù)號；若曲面的法向量與軸夾角為銳角時，第三個積分前取正號，否則取負(fù)號3）利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系改變投影面其中，為曲面上點處法向量的方向余弦（3）兩類曲面積分的聯(lián)系 其中為曲面上點處法

3、向量的方向余弦3曲面積分應(yīng)用1）幾何應(yīng)用： 空間曲面的面積2）物理應(yīng)用： 面密度為的物質(zhì)曲面，質(zhì)量： ；重心坐標(biāo)： ，；轉(zhuǎn)動慣量： ，流體流量：設(shè)流體的密度，速度，單位時間內(nèi)流過曲面指定側(cè)的流量 4高斯公式設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù)在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有這里是的整個邊界曲面的外側(cè)，是上點處的法向量的方向余弦高斯公式的物理意義：若是高斯公式中閉區(qū)域的邊界曲面的外側(cè)，那么解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域的流體的總質(zhì)量等于分布在內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總質(zhì)量所以高斯公式另一寫法其中是空間閉區(qū)域的邊界曲面，而是在外側(cè)法向量上的投影向量場的散度： 稱為向量場的散度5斯托克斯公

4、式設(shè)為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側(cè)符合右手規(guī)則，函數(shù)在包含曲面在內(nèi)的一個空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有另一種寫法 環(huán)流量：沿有向閉曲線的曲線積分叫向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量 向量場的旋度：斯托克斯公式物理意義：向量場沿有向閉曲線的環(huán)流量等于向量場的旋度場通過曲線所張的曲面的通量二、例題分析1對面積的曲面積分例1計算，其中為球面解：方法1：曲面分成兩個半球面, 則面積元素分別為，又它們在面上的投影均為，因此積分同理 ,于是 方法2：之間投影到平面計算2對坐標(biāo)的曲面積分上述三種計算方法適用情況：（1）若曲面在面上投影為一個區(qū)域，則用方法3）簡便；（2）

5、若曲面在面上投影為一條線，且具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則通常用加面，使封閉，利用高斯公式；（3）若曲面在面上投影為一條線，偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的情況下，使用方法2）處理例2計算曲面積分，其中為下半球面的上側(cè)，為大于零的常數(shù)解：因為被積函數(shù)在點沒有定義，不能用加、減一塊面構(gòu)成閉曲面計算積分，應(yīng)先將半球面方程帶入被積函數(shù)中，得以下利用三種方法計算本題：方法1： 利用高斯公式補一張面，投影域為，且是下側(cè)，這里則 方法2：投影法：曲面投影到平面上應(yīng)分成前后兩塊，即曲面在平面的投影域為，曲面在平面的投影域為，因為 而 ，于是 方法3：轉(zhuǎn)換投影法：投影到平面上， 曲面曲面法向量為， 投影域為， 例3計算，其中是橢球面外側(cè)

6、解：當(dāng)時， ，但是曲面方程不滿足常數(shù)，將曲面改換為：外側(cè)，（），于是 ，即 （）例5 計算，其中為由曲面與平面所圍成的閉曲面外側(cè)解：對第一個積分可以用高斯公式，即 （其中：為在部分），對于第二個積分不能用高斯公式，因為在處偏導(dǎo)數(shù)不存在，只能投影，將曲面分成兩塊，上側(cè)，下側(cè)，因為垂直于平面，所以， 對于積分，將投影到平面還需要分麻煩，采用轉(zhuǎn)換投影法，投影到平，因為曲面法向量，所以（因為被積函數(shù)關(guān)于的奇函數(shù)且積分區(qū)域關(guān)于軸對稱），于是 注意：有時對第二類曲面積分的幾項，各采用不同的方法去做會帶來方便3利用斯托克斯公式計算曲線積分例7計算，其中為球面，的邊界線，從球心看為逆時針方向解：方法1： 曲線

7、用參數(shù)方程表示，將分成3段，平面上一段：（從到0），則，由的輪換對稱及表達(dá)式的輪換對稱知道 方法2： 用斯托克斯公式計算斯托克斯公式： 其中（1）為分段光滑的空間閉曲線；是以為邊界的分片光滑有向曲面（符合右手規(guī)則）；（2）函數(shù)在含的空間區(qū)域內(nèi)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)這里，則 （）注意：方向：從球心看去是逆時針方向，從外看去是順時針方向，曲面法向量指向球心4曲面積分的應(yīng)用例8設(shè)空間曲線構(gòu)件的線密度為 ，且曲線方程是曲面與平面的交線，求曲線構(gòu)件的質(zhì)量解：相交的曲線方程，消去得到一個過曲線的柱面方程 又該曲線的質(zhì)量 ，將曲線方程代入被積函數(shù)即可計算出該積分注意：也可以利用參數(shù)方程計算該積分例9設(shè)向量，曲面為上半球

8、面，被錐面所截部分（即）的上側(cè)，求通過曲面的流量（流體質(zhì)量）解：流量 因為曲面在面上投影域的邊界曲線比較容易求，所以用轉(zhuǎn)換投影法，由與，消去，得到，所以曲面在面上投影區(qū)域為：，并且在面上的投影點不重合，因為 ，所以于是 一、格林公式牛頓萊布尼茲公式表示：在區(qū)間上的定積分可以通過它的原函數(shù)在這個區(qū)間端點的值來表達(dá)而格林公式表示：在平面區(qū)域上的二重積分可以通過沿閉區(qū)域的邊界曲線的曲線積分來表達(dá)這樣，牛頓萊布尼茲公式成為格林公式的特殊情形平面單連通域的概念設(shè)為平面區(qū)域，如果內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于，則稱為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域例如：平面上的圓形區(qū)域，上半平面都是單連通區(qū)域，圓環(huán)形區(qū)域

9、都是復(fù)連通區(qū)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域的邊界曲線，規(guī)定的正向如下：當(dāng)觀察者沿的方向行走時，總在他的左邊例如是邊界曲線及所圍成的復(fù)連通域(圖8)，作為的正向邊界，的正向是逆時針方向，而的正向是順時針方向定理1 設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有, (1)其中是的取正向的邊界曲線公式(1)叫做格林公式證 先假設(shè)區(qū)域既是型又是Y型的情形，即穿過區(qū)域且平行坐標(biāo)軸的直線與的邊界曲線的交點恰好為兩點(圖9)設(shè)，因為連續(xù)，所以.另一方面，對坐標(biāo)的曲線積分.因此得 . (2)類似地，設(shè)，則可證. (3)由于既是型又是型的區(qū)域，(2)(3)同時成立，二式合并即得公式(1)區(qū)域既是型又是型這樣的要

10、求是相當(dāng)嚴(yán)格的，但是對于一般情形，即區(qū)域不滿足這個條件時，我們可在內(nèi)引進(jìn)輔助線把分成有限個部分閉區(qū)域，使得每個部分閉區(qū)域都滿足這個條件，如圖10，應(yīng)用公式(1)于每個部分區(qū)域，即可得證因此，一般地對于由分段光滑曲線圍成的閉區(qū)域公式(1)都成立證畢注 (1) 格林公式中左端二重積分的被積函數(shù)是，而且在內(nèi)偏導(dǎo)連續(xù)這是初學(xué)者容易記錯或者忽略的地方右端曲線積分中曲線對區(qū)域來說都是正向，這也是需要注意的(2) 對于復(fù)連通區(qū)域，格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域的全部邊界的曲線積分例如對圖8的復(fù)連通域(陰影部分)格林公式應(yīng)為.其中、是的取正向的閉曲線(3) 格林公式揭示出二重積分與平面曲線積分之間的聯(lián)系，同時也給出

11、了通過二重積分計算曲線積分的一個重要公式許多情況，曲線積分化為二重積分計算往往是方便的當(dāng)然有些二重積分也可以化為曲線積分來計算，但是在化為曲線積分時，被積表達(dá)式并不是唯一的例如，化為曲線積分時，即可以是，也可以是或者是，等等格林公式的一個簡單應(yīng)用，在公式(1)中取，即得，上式左端為閉區(qū)域的面積的兩倍，因此區(qū)域的面積可以用下面的曲線積分計算. (4)例1 求橢圓，所圍成的面積解 由公式(4).例4 計算，其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線，的方向為逆時針方向解 令，當(dāng)時，有記所圍成閉區(qū)域為，當(dāng)時，由格林公式(1)得.當(dāng)時，、不滿足格林公式中的條件，因此不能直接應(yīng)用格林公式我們選

12、取適當(dāng)小的作位于內(nèi)的圓周：，記和所圍成的閉區(qū)域為(圖12)這時，、在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)對復(fù)連通區(qū)域應(yīng)用格林公式.其中的方向為逆時針方向，由于上式左端積分值為零，所以.注 如果積分曲線不是閉曲線，可以作適當(dāng)?shù)妮o助線使與構(gòu)成閉曲線，這時只要，在閉曲線圍成的區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，也可以應(yīng)用格林公式，間接計算沿著的曲線積分二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件我們知道場力沿曲線作功的問題，可以用對坐標(biāo)的曲線積分來計算在許多物理與力學(xué)問題中，場力作功常常與路徑無關(guān)，而只與路徑的起點和終點有關(guān)這個問題在數(shù)學(xué)上就表現(xiàn)為曲線積分與路徑無關(guān)的問題為此首先要明確什么叫做曲線積分與路徑無關(guān)，并進(jìn)一步討論在什么條件

13、下曲線積分與路徑無關(guān)：設(shè)是一個區(qū)域，在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如果對于內(nèi)任意指定的兩點、，以及內(nèi)以點到點的任意兩條曲線、(圖13)等式恒成立，就說曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)，否則便說與路徑有關(guān)由此我們得到一個重要結(jié)論，即：曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān)等價于沿內(nèi)任意閉曲線的曲線積分等于零事實上，如果曲線積分與路徑無關(guān)，那么，對于具有相同起點與終點的任意曲線、，有由于 所以 .從而 .這里是一條有向閉曲線，因此在區(qū)域內(nèi)由曲線積分與路徑無關(guān)可以推得在內(nèi)沿閉曲線的曲線積分為零反過來如果在內(nèi)沿任意閉曲線的曲線積分為零，也可以推得在內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)由格林公式，啟示我們，如果沿閉曲線的曲線積分為0，應(yīng)該有，并且利用

14、格林公式我們可以證明如下定理定理2 設(shè)區(qū)域是一個單連通域，函數(shù)，在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分在G內(nèi)與路徑無關(guān)(或沿G內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零)的充分必要條件是 (5)證 (充分性) 設(shè)在內(nèi)任取一條閉曲線，要證條件(5)成立時，因為閉曲線所圍成閉區(qū)域全部在內(nèi)，應(yīng)用格林公式有.由條件(5)即得右端曲線積分等于0(必要性) 現(xiàn)在要證：如果沿內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零，那么在內(nèi)恒有成立用反證法，假設(shè) ，那么在內(nèi)至少有一點使為確定起見，不妨假設(shè)由于、在內(nèi)連續(xù)，可以在內(nèi)取得一個以為圓心、半徑足夠小的圓形閉曲域，使得在上恒有，于是由格林公式這里是的正向邊界曲線，是的面積，從而這與在內(nèi)沿任意閉曲線的曲線積分為零的假定相矛盾，所以在內(nèi)(5)式處處成立證畢注 定理2要求是單連通域，且，在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如果這兩個條件之一不滿足，那么定理結(jié)論不能保證成立，如例4三、二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)，有全微分公式，對應(yīng)曲線積分的表達(dá)式，我們要問，滿足什么條件時，這個表達(dá)式也恰好是某個函數(shù)的全微分？如果這個二元函數(shù)存在，又應(yīng)該如何求出？定理3 設(shè)區(qū)域是一個單連通域，函數(shù)，在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)是某個函數(shù)的全微分的充分必要條件是 (5)在G內(nèi)恒成立證 (略)根據(jù)這個定理，如果函數(shù)，在單