彈性波動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)復(fù)習(xí)題

1、緒論復(fù)習(xí)思考題1什么是彈性體?當(dāng)一個(gè)物體受到外力作用，在它的內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)間發(fā)生位置的相對(duì)變化，從而使其形狀改變，當(dāng)外力作用取消后，物體的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)立刻消失，并恢復(fù)原有的形狀。這類物體稱為彈性體。2物體在什么條件下表現(xiàn)為彈性性質(zhì)，在什么條件下表現(xiàn)為塑性性質(zhì)?在外力作用較小，作用時(shí)間較短情況下，大多數(shù)物體包括巖石在內(nèi)，表現(xiàn)為彈性體性質(zhì)。外力作用大，作用時(shí)間長(zhǎng)的情況下，物體會(huì)表現(xiàn)為塑性體性質(zhì)。3彈性動(dòng)力學(xué)的基本假設(shè)有哪些?（1）介質(zhì)是連續(xù)的（2）物體是線性彈性的（3）介質(zhì)是均勻的（4）物體是各向同性的（5）物體的位移和應(yīng)變都是微小的 （6）物體無(wú)初應(yīng)力 4什么是彈性動(dòng)力學(xué)中的理想介質(zhì)?理想介質(zhì)：連續(xù)

2、的、均勻的、各向同性的線性完全彈性介質(zhì)。第二章復(fù)習(xí)思考題3什么是正應(yīng)變、切應(yīng)變、相對(duì)體變?寫(xiě)出它們的位移表達(dá)式。答：正應(yīng)變是彈性體沿坐標(biāo)方向的相對(duì)伸縮量。切應(yīng)變表示彈性體扭轉(zhuǎn)或體積元側(cè)面角錯(cuò)動(dòng)。相對(duì)體變表示彈性體體積的相對(duì)變化。4什么是旋轉(zhuǎn)角位移?寫(xiě)出它與(線)位移的關(guān)系式。旋轉(zhuǎn)角位移為體積元側(cè)面積對(duì)角線的轉(zhuǎn)動(dòng)角度。5試解釋?xiě)?yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)張量中各分量的物理含義。分別表示彈性體沿x、y、z方向的相對(duì)伸長(zhǎng)量；分別表示平行于坐標(biāo)面、和xoz的側(cè)面積的角錯(cuò)動(dòng)量。分別表示與坐標(biāo)面、xoz和平行的側(cè)面積對(duì)角線圍繞、y和軸的旋轉(zhuǎn)角。 11設(shè)彈性體內(nèi)的位移場(chǎng)為，其中都是與1相比很小的數(shù)，試求應(yīng)變張量、轉(zhuǎn)動(dòng)角位

3、移矢量及體積膨脹率(相對(duì)體變)。解： 應(yīng)變張量體積膨脹率12已知彈性體內(nèi)的位移場(chǎng)為，其中為已知常數(shù)，試求應(yīng)變張量和旋轉(zhuǎn)張量，并闡述此結(jié)果反映什么物理現(xiàn)象。解： 應(yīng)變張量體積膨脹率反映了該彈性體沒(méi)有發(fā)生體積及形狀的變化，只是繞z軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度。6什么是應(yīng)力、正應(yīng)力、切應(yīng)力、應(yīng)力張量?答：作用于單位截面積上的內(nèi)力，稱為應(yīng)力。應(yīng)力作用方向與作用截面垂直，稱為正應(yīng)力；應(yīng)力作用方向在作用截面上，稱為切應(yīng)力。三個(gè)相互正交的坐標(biāo)面上應(yīng)力矢量共同構(gòu)成了應(yīng)力張量。記為。14. 已知彈性體內(nèi)一點(diǎn)P處的應(yīng)力張量由矩陣給出。試求過(guò)點(diǎn)P外法線方向?yàn)閡=2i-2j+k的面元上的應(yīng)力矢量。解： 外法線單位矢量為由得得 則

4、： 8. 楊氏模量、泊松比、剪切模量、體變模量各表示了什么物理含義?答：（1）楊氏模量E，是正應(yīng)力與正應(yīng)變的比例系數(shù)；（2）切變模量，是切應(yīng)力與切應(yīng)變的比例系數(shù)；（3）拉梅系數(shù)，反映正應(yīng)力與正應(yīng)變的比例系數(shù)的另一種形式；（4）壓縮模量或體變模量K，表示單元體在脹縮應(yīng)變狀態(tài)下，相對(duì)體變與周圍壓力間的比例系數(shù)；（5）泊松比，表示物體橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比例系數(shù)，故也稱橫向形變系數(shù)。19. 已知一各向同性線性彈性體的彈性模量為：楊氏模量E=210Gpa，泊松比為0.28；其中一點(diǎn)處的應(yīng)變分量為，其中a=，試求拉梅常數(shù)，并寫(xiě)出該點(diǎn)上的應(yīng)力張量。解：體應(yīng)變則由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系 1已知一彈性介質(zhì)內(nèi)，位移場(chǎng)為

5、,其中試求點(diǎn)P(0,2,-4)處的應(yīng)變張量、轉(zhuǎn)動(dòng)向量、體應(yīng)變以及該點(diǎn)處的應(yīng)力分量。 解：由題可知在P(0,2,-4)點(diǎn) ， ， ， 則應(yīng)變張量為或 由轉(zhuǎn)動(dòng)向量 體應(yīng)變由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有 20. 將代入用下標(biāo)記號(hào)表示的運(yùn)動(dòng)微分方程中，化為矢量方程，并用梯度算子表示。解：由可知 代入運(yùn)動(dòng)微分方程得：將各式分別乘以單位向量，相加，得：第三章復(fù)習(xí)思考題3寫(xiě)出縱波和橫波速度的表達(dá)式，分析它們之間的大小關(guān)系。 由于，因此，即，可見(jiàn)縱波速度大于橫波速度。4什么叫泊松體?泊松體的拉梅常數(shù)、縱橫波速度、泊松比各有什么特點(diǎn)?答：，或者，具有這種性質(zhì)的物體稱為泊松體。對(duì)泊松體而言，。14已知某彈性介質(zhì)中的P波速度為3

6、600ms，S波速度1950ms，求該介質(zhì)的泊松比。解： 15已知彈性介質(zhì)中楊氏模量為E，泊松比為，求介質(zhì)的P波速度和S波速度。解： 6簡(jiǎn)述地震波在彈性介質(zhì)中傳播的基本規(guī)律。答：惠更斯（Huygens）原理：任意時(shí)刻波前面上的每一點(diǎn)都可以看作是一個(gè)新的波源（子波源），由它產(chǎn)生二次擾動(dòng)，形成新的波前，而以后的波前位置可以認(rèn)為是該時(shí)刻子波前的包絡(luò)線。由波前面各點(diǎn)所形成的新擾動(dòng)（二次擾動(dòng)）在觀測(cè)點(diǎn)上相互干涉疊加，其疊加結(jié)果是在該點(diǎn)觀測(cè)到的總擾動(dòng)。斯奈爾（Snell）定律：反射波滿足反射定律，而透射波滿足折射定律（地震學(xué)中稱透射定律），地震波也遵循這個(gè)規(guī)律，統(tǒng)稱為斯奈爾定律。在界面上，入射波、反射波和

7、透射波的 值相等，稱為射線參數(shù)。7寫(xiě)出周期、頻率、波長(zhǎng)、波數(shù)、速度各量之間的關(guān)系式。 10簡(jiǎn)述非均勻波的主要特點(diǎn)。答：非均勻波的振幅在空間是變化的，隨著空間坐標(biāo)在變化。不均勻平面波其等相位面與等振幅面互相垂直。16已知介質(zhì)1的P波速度為，介質(zhì)2的P波速度為，有一平面簡(jiǎn)諧P波以入射角自介質(zhì)1入射到兩介質(zhì)的分界面上，已知入射波的振幅為，頻率為30Hz，反射P波和透射P波的振幅分別為和，試寫(xiě)出這三個(gè)波的波函數(shù)表達(dá)式。解：臨界角，入射角小于臨界角。反射角等于入射角，根據(jù)透射定律，透射角。平面簡(jiǎn)諧波函數(shù)，x軸向右，z軸向下入射波：反射波：透射波：17已知一簡(jiǎn)諧P波的波函數(shù)為，試求以下問(wèn)題： (1)設(shè)x軸

8、向右，z軸向下，請(qǐng)用一經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的射線畫(huà)出此波的傳播方向，并標(biāo)明角度。 (2)這個(gè)波的圓頻率和圓波數(shù)各是多少?在x方向和z方向上的視波數(shù)各是多少?圓頻率在x方向和z方向上的視波數(shù)圓波數(shù)或者(3)這個(gè)波的真實(shí)傳播速度、在x方向和z方向上的視速度各是多少?解： 求解得波的真實(shí)傳播速度：在x方向和z方向上的視速度、11球面波、柱面波與平面波的本質(zhì)區(qū)別在哪里?試解釋球面擴(kuò)散因子和柱面波擴(kuò)散因子的物理含義。答：平面波在其傳播過(guò)程中波形及其振幅都不變化，而球面波的振幅隨傳播距離r的增大而衰減1/r，并且球面波在其傳播過(guò)程中波形逐漸改變。遠(yuǎn)離震源時(shí)，柱面波的振幅隨r增大而衰減，與成正比。球面擴(kuò)散因子：表示波遠(yuǎn)

9、離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與到震源的距離成反比。柱面波擴(kuò)散因子：表示波遠(yuǎn)離震源向外傳播，其振幅不斷衰減，且與成反比。第四章復(fù)習(xí)思考題1什么是機(jī)械能密度?什么是能流密度?寫(xiě)出能流密度和機(jī)械能密度的關(guān)系式，并解釋其物理意義。答：?jiǎn)挝惑w積物體所具有的機(jī)械能叫機(jī)械能密度。能流密度：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)與能量傳播方向垂直的單位截面積的機(jī)械能。表明了單位體積的體積元內(nèi)機(jī)械能在單位時(shí)間內(nèi)的減少量等于通過(guò)其表面積的機(jī)械能流失量。2寫(xiě)出能流密度與應(yīng)力張量和位移矢量的關(guān)系。寫(xiě)出簡(jiǎn)諧波強(qiáng)度的表達(dá)式。答： 或 14一平面波的位移位為，求應(yīng)變張量分量、應(yīng)力張量分量、能流密度矢量及波的強(qiáng)度分布。解：由可知 能流密度矢量

10、波的強(qiáng)度分布3常見(jiàn)的平面極化波有哪幾種?什么叫轉(zhuǎn)換波?什么時(shí)候會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)換波?答：常見(jiàn)的平面極化波有縱波、SV波（垂直極化橫波）、SH波（水平極化橫波）。同入射波極化類型不同的波稱為轉(zhuǎn)換波(如入射波為縱波，則有轉(zhuǎn)換反射橫波和轉(zhuǎn)換透射橫波)。轉(zhuǎn)換波的產(chǎn)生是由于入射波傾斜地作用在分界面上，它可分解為垂直于界面的力和切向力兩部分，導(dǎo)致體應(yīng)變和切應(yīng)變，則相應(yīng)有P波和SV波產(chǎn)生。轉(zhuǎn)換波的能量與入射角有關(guān)，垂直入射時(shí)不能形成轉(zhuǎn)換波；只有入射角達(dá)到一定程度時(shí)，才有足夠能量的轉(zhuǎn)換波被記錄下來(lái)。6Knott方程和Zoeppritz方程各表達(dá)了什么含義?它們之間的關(guān)系如何?答：Knott方程表示以位移位振幅比表示的

11、P波入射時(shí)的P波反射系數(shù)、SV波反射系數(shù)、P波透射系數(shù)和SV波透射系數(shù)的表達(dá)式。求解該方程，可以得到以位移位振幅比表示的縱橫波的反射系數(shù)及縱橫波的透射系數(shù)。同時(shí)，也是用位移位振幅比表示的入射縱波和各反射波或透射波的能量分配關(guān)系。可以看出，它們除了同入射角有關(guān)外，還同上下介質(zhì)的速度和密度參數(shù)的比值有關(guān)。Zoeppritz方程表示以位移振幅比表示的P波入射時(shí)的P波反射系數(shù)、SV波反射系數(shù)、P波透射系數(shù)和SV波透射系數(shù)。7寫(xiě)出平面P波垂直入射到彈性界面上時(shí)的反射透射系數(shù)表達(dá)式，并說(shuō)明其主要特點(diǎn)。（1）平面P波垂直入射到彈性界面上時(shí)，將產(chǎn)生反射P波和透射P波。為了形成反射波，分界面兩側(cè)介質(zhì)波阻抗必須存

12、在著差異，。波阻抗差異大，反射系數(shù)大，界面反射波強(qiáng)；相反，波阻抗差異小，反射系數(shù)小，界面反射波弱。（2）當(dāng)波在波阻抗大的分界面（）反射時(shí)，反射系數(shù)為正，這意味著反射波相位與入射波相位相同。相反，當(dāng)波入射到波阻抗小的分界面（）時(shí)，反射系數(shù)為負(fù)值。這時(shí)反射波相對(duì)入射波有相位差，稱為“半波損失”現(xiàn)象。（3）平面P波垂直入射到彈性界面上時(shí)，在分界面另一側(cè)產(chǎn)生的透射波，總是和入射波同相位。8什么叫透射損失?寫(xiě)出其表達(dá)式。答：表示波從不同的方向穿過(guò)同一界面一個(gè)來(lái)回時(shí)振幅的變化，稱為界面的“透射損失”。9證明平面P波垂直入射到彈性界面上時(shí)滿足能量守恒關(guān)系。證：=0，入射P波的能量：反射P波的能量：透射P波的

13、能量： 把代入能量計(jì)算式所以平面P波垂直入射到彈性界面上時(shí)滿足能量守恒關(guān)系。第五章復(fù)習(xí)思考題1試解釋頻散的概念和相速度、群速度的物理含義。答：如果傳播速度成為與地震波的頻率有關(guān)的函數(shù)，那么構(gòu)成脈沖波的各簡(jiǎn)諧分量將分別以各自不同的速度傳播，在經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后，各簡(jiǎn)諧波有著不同的傳播距離，因而由它們疊加而成的波的延續(xù)長(zhǎng)度(擾動(dòng)區(qū)域的范圍)就要比開(kāi)始時(shí)有所增大。換句話說(shuō)，隨著時(shí)間的推移，一個(gè)脈沖波將逐漸地變?yōu)橐涣胁ǎ@種現(xiàn)象稱為波的頻散(dispersion)。相速度：簡(jiǎn)諧波中任一等相位面的傳播速度，即整個(gè)簡(jiǎn)諧波的傳播速度。群速度：整個(gè)波列的傳播速度。第六章復(fù)習(xí)思考題1解釋波動(dòng)方程的克其霍夫積分解即

14、式(615)的物理含義。答:式中的體積積分項(xiàng)是非齊次波動(dòng)方程的特解，對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)部震源對(duì)波場(chǎng)貢獻(xiàn)部分，被積函數(shù)r為內(nèi)部空間震源單元到觀測(cè)點(diǎn)P的距離；而式中的面積積分是齊次波動(dòng)方程的一般解，反映區(qū)域以外的外部空間震源的影響。2解釋推遲位和超前位的概念。推遲位: 超前位；4克其霍夫積分解求解的是哪一類波動(dòng)方程?其求解思路是什么?答：震源分布于曲面以外的區(qū)域，我們希望確定曲面內(nèi)部空間的位移場(chǎng)，解決的則是內(nèi)部問(wèn)題。（1）利用傅立葉變化得到亥姆霍茲方程（2）利用格林公式求解亥姆霍茲方程（3）利用傅里葉反變換求未知函數(shù)3解釋克其霍夫繞射公式中各項(xiàng)的物理含義，并說(shuō)明克其霍夫繞射公式在實(shí)際中的應(yīng)用。答：空間任意

15、一點(diǎn)P的波場(chǎng)值都是閉合曲面S上各點(diǎn)作為新震源發(fā)出的二次元波在該點(diǎn)疊加的結(jié)果，參與疊加的各元波對(duì)P點(diǎn)波場(chǎng)所起的貢獻(xiàn)大小不同，貢獻(xiàn)大小由方向因子決定。5解釋菲涅耳帶的概念及其影響因素，并說(shuō)明菲涅耳帶半徑與地震分辨率的關(guān)系。答：積分式的積分區(qū)域S是地下整個(gè)反射面的面積。為了完成這一積分，我們對(duì)積分區(qū)域S進(jìn)行分解，按照一定原則將它劃分成一系列以地下反射點(diǎn)R為圓心的同心圓環(huán)狀區(qū)帶。劃分的原則是：使得相鄰圓環(huán)上的點(diǎn)到P點(diǎn)的距離之差等于地震波長(zhǎng)的四分之一。這樣，來(lái)自相鄰圓環(huán)上各點(diǎn)的繞射波傳到P點(diǎn)的雙程走時(shí)為地震波周期的一半，即反相。這些同心圓環(huán)分別稱為第一、第二、第三、菲涅耳帶。第一菲涅耳帶也簡(jiǎn)稱菲涅耳帶。

16、 對(duì)地下整個(gè)界面S的積分，近似等于對(duì)第一菲涅耳帶Sl內(nèi)的積分的一半。習(xí)慣上不考慮常數(shù)，認(rèn)為菲涅耳帶內(nèi)繞射波的積分就是反射波場(chǎng)。菲涅耳帶半徑: 菲涅耳帶決定著地震反射的橫向分辨率?？梢钥闯?，界面埋藏越深，地震波波長(zhǎng)越大(頻率越低)，菲涅耳帶半徑越大，地震橫向分辨率越低；反之，地震橫向分辨率越高。第七章復(fù)習(xí)思考題5常用的描述地震波吸收特性的參數(shù)有哪些？寫(xiě)出它們各自的表達(dá)式及相互關(guān)系式。答：（1）吸收系數(shù)： 可見(jiàn)，表示地震波振幅隨傳播距離的衰減，單位是1/m。（2）衰減因子： 表示地震波振幅隨傳播時(shí)間的衰減，單位是1/s。（3）對(duì)數(shù)衰減率： 對(duì)數(shù)衰減率描述了波傳播一個(gè)波長(zhǎng)或一個(gè)周期時(shí)的振幅變化，是個(gè)

17、無(wú)量綱的量。對(duì)數(shù)衰減率與吸收系數(shù)間存在下列關(guān)系（4）品質(zhì)因子：利用在一個(gè)波長(zhǎng)的距離上（或一個(gè)周期T的時(shí)間內(nèi)）地震波能量的相對(duì)衰減量來(lái)描述介質(zhì)的吸收性質(zhì)。 或 7. 已知某地層的品質(zhì)因子Q=60，地震波速度v=2000m/s，以地震波離開(kāi)震源200m時(shí)的能量為參考標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行下列計(jì)算并做簡(jiǎn)單的比較。（1）計(jì)算離開(kāi)震源2200m處2Hz，40Hz，100Hz的地震波由于地層吸收而衰減的能量。（2）計(jì)算離開(kāi)震源2200m處2Hz，40Hz，100Hz的地震波由于球面擴(kuò)散而衰減的能量。（3）若離開(kāi)震源距離變?yōu)?200m，重新計(jì)算上述內(nèi)容。解：（1）一個(gè)波長(zhǎng)的距離上（或一個(gè)周期T的時(shí)間內(nèi)）地震波能量的相對(duì)

18、衰減量 地震波的波長(zhǎng)2Hz的地震波的波長(zhǎng)為1000m離開(kāi)震源2200m處地震波能量的相對(duì)衰減量為：40Hz的地震波的波長(zhǎng)為50m離開(kāi)震源2200m處地震波能量的相對(duì)衰減量為：100Hz的地震波的波長(zhǎng)為20m離開(kāi)震源2200m處地震波能量的相對(duì)衰減量為：（2）地震波由于球面擴(kuò)散而衰減的能量與頻率無(wú)關(guān)，只與傳播路徑有關(guān)。因?yàn)?，所以（3）離開(kāi)震源距離變?yōu)?200m2Hz的地震波能量的相對(duì)衰減量為：40Hz的地震波能量的相對(duì)衰減量為：100Hz的地震波能量的相對(duì)衰減量為：地震波由于球面擴(kuò)散而衰減的能量 公式推導(dǎo)題1試推導(dǎo)出幾何方程及體應(yīng)變。解： 以為例來(lái)推導(dǎo) 單元體沿x方向受力， 相對(duì)伸長(zhǎng)量為同理可

19、得則體應(yīng)變?yōu)?2. 什么是切應(yīng)變？推導(dǎo)切應(yīng)變答：切應(yīng)變也稱剪切應(yīng)變，表示彈性體扭轉(zhuǎn)或體積元側(cè)面角錯(cuò)動(dòng)。如圖所示，由彈性體中截取一個(gè)體積元，考察其側(cè)面積在應(yīng)變過(guò)程中的變化。設(shè)物體受一個(gè)切向力的作用，形狀發(fā)生改變，側(cè)面積變?yōu)?。我們假定位置不變，移至，移至，即垂直線段沿方向發(fā)生了位移，水平線段沿垂直方向發(fā)生了位移。顯然，；在應(yīng)變過(guò)程中側(cè)面積形狀的改變表現(xiàn)為其側(cè)面角度錯(cuò)動(dòng)。我們這里假定點(diǎn)位置不變，其位移為零，并不影響有關(guān)側(cè)面積形狀的討論。由圖可以看出，側(cè)面積側(cè)面角由變?yōu)椋兓浚?因此，側(cè)面角變化量為： 同理可以討論其它兩個(gè)側(cè)面積形狀的改變。對(duì)平行于坐標(biāo)面的側(cè)面積，可有：對(duì)平行于坐標(biāo)面的側(cè)面積，可有：

20、 3. 根據(jù)虎克定律，推導(dǎo)正應(yīng)力與正應(yīng)變關(guān)系式，其中、為拉梅系數(shù)。解：據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，相對(duì)伸長(zhǎng)量與作用力（正應(yīng)力）成正比。對(duì)沿x方向伸長(zhǎng)的物體，有，E為楊氏模量。另一方面，物體沿一個(gè)方向伸長(zhǎng)時(shí)，在其它兩個(gè)方向會(huì)發(fā)生壓縮。縱向伸長(zhǎng)和橫向壓縮存在著比例關(guān)系，即：，為泊松比。同理在y、z方向也存在類似關(guān)系式：一般情況每個(gè)方向既發(fā)生縱向伸長(zhǎng)（或壓縮），也發(fā)生橫向壓縮（或伸長(zhǎng)），則可寫(xiě)出如下關(guān)系式： （1）相對(duì)體積變化為： （2）由（1）式和（2）式解得應(yīng)力、的表達(dá)式 令得 、稱為為拉梅系數(shù)。4. 根據(jù)達(dá)蘭貝爾原理，推導(dǎo)彈性介質(zhì)運(yùn)動(dòng)的應(yīng)力方程。解：設(shè)介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)位移函數(shù)為對(duì)于彈性介質(zhì)體內(nèi)的一體積元dv，為介質(zhì)密

21、度，則其受慣性力為 ，對(duì)整個(gè)體積V，求積分得到對(duì)于介質(zhì)受到的在i方向的面力為，為應(yīng)力分量，為法線的方向余弦。S面上的微量面元ds的面力作用為，對(duì)作用于整個(gè)封閉曲面S的面力為作用于介質(zhì)的體力分布于整個(gè)體積上，與質(zhì)量有關(guān)。定義為作用于單位質(zhì)量上的體力，是它在i方向的分量，則作用在介質(zhì)上的體力為。由達(dá)蘭貝爾原理，慣性力與體力和面力相平衡，按作用力各分量列出方程式： 利用散度定理將面力項(xiàng)化為體積分的形式可得對(duì)于任意的V上式均成立，則被積函數(shù)為零，即5. 由運(yùn)動(dòng)平衡微分方程式推導(dǎo)出由位移向量表示的運(yùn)動(dòng)位移方程解：運(yùn)動(dòng)應(yīng)力方程的展開(kāi)式為把應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系式及應(yīng)變與位移的關(guān)系式代入上式再整理。 以式（1）為例

22、代入整理同理 將得到：再將和代入上式得到6. 由齊次波動(dòng)方程推導(dǎo)縱波與橫波波動(dòng)方程，。（提示：利用關(guān)系式）解：將代入運(yùn)動(dòng)位移方程利用若兩個(gè)方括號(hào)中的式子為零，則方程得到滿足。 其中縱波傳播速度：，橫波傳播速度：7. 利用傅里葉變換法求解波動(dòng)方程一維齊次波動(dòng)方程的平面波達(dá)蘭貝爾解，并說(shuō)明達(dá)朗貝爾解物理意義。解：利用傅里葉變換式對(duì)方程求傅里葉變換利用了傅里葉變換的時(shí)域微分性質(zhì)式中，是波數(shù)。此方程就是一維亥姆霍茲方程，它的解使用傅里葉反變換可得時(shí)間域的解，其形式為這里利用了傅里葉變換的時(shí)移性質(zhì)式中，和為子波函數(shù)，和是它們的傅里葉變換。即式為一維齊次波動(dòng)方程的平面波達(dá)蘭貝爾解。是一個(gè)沿+方向以為速度傳

23、播的平面波，是一個(gè)沿方向以為速度傳播的平面波。一維波動(dòng)方程的通解表示介質(zhì)中激發(fā)的平面波總是分為兩部分傳播出去，這兩部分平面波的傳播方向相反、速度相等。8當(dāng)SH波入射到自由表面上時(shí)，會(huì)產(chǎn)生什么樣的反射波，推導(dǎo)反射系數(shù)公式。解：如圖所示，一個(gè)SH波入射到自由表面上，只可能產(chǎn)生一個(gè)反射SH波。入射波和反射波的位移函數(shù)入射SH波：反射SH波： 在時(shí)，有邊界條件： 將代入邊界條件求解得到 SH波在自由表面的反射系數(shù)為1，與入射角無(wú)關(guān)，且無(wú)轉(zhuǎn)換波產(chǎn)生，也無(wú)半波損失現(xiàn)象。9.推導(dǎo)SH波入射到介質(zhì)分界面時(shí)的反射、透射系數(shù)公式。解：SH波入射到介質(zhì)分界面時(shí)只產(chǎn)生反射 SH波、透射SH波。設(shè)入射角為、根據(jù)Snel

24、l定理反射角與入射角相等，透射角為，并且，位移v滿足齊次波動(dòng)方程，入射波、反射波、透射波的位移函數(shù)分別為 邊界條件為： 其中把位移函數(shù)代入邊界條件得通過(guò)求解此方程組得到10推導(dǎo)P波入射到自由表面時(shí)位移振幅比與位移位振幅比之間的關(guān)系。 解：入射P波、反射P波和反射SV波的位函數(shù)分別為(1)入射P波(2)反射P波(3)反射SV波將入射波、反射波和反射波位移位、和，分別代入式，得到各類波相應(yīng)的位移分量、；處的位移根據(jù)其分量計(jì)算入射P波：反射P波：反射SV波： 得到處的反射波和入射波振幅比：（利用廣義Snell定律，后面的e指數(shù)是相同的） 位移振幅比等于位移位振幅比乘以相應(yīng)波傳播速度之比的倒數(shù)。11.瑞雷面波是怎樣產(chǎn)生的？具有什么特點(diǎn)？推導(dǎo)瑞雷面波的位函數(shù)。推導(dǎo)瑞雷面波的存在條件，即。答：瑞雷面波是由于縱波與橫波入射到自由表面時(shí)干涉而產(chǎn)生的。Rayleigh面波是沿x方向平行于自由表面?zhèn)鞑ィǖ恼穹cz坐標(biāo)有關(guān)，并且在z0，即下半空間隨著z的增大，振幅呈指數(shù)衰減，當(dāng)z時(shí)，該波不存在。瑞雷面波的位函數(shù)和滿足齊次波動(dòng)方程波動(dòng)方程的通解可以表示為：設(shè)波沿x方向的視速度為c，視波長(zhǎng)為，瑞雷面波是沿x方向以c為速度傳播的平面簡(jiǎn)諧波，則波函數(shù)形式可以寫(xiě)成： 把第一項(xiàng)改造為振幅沿z方向(z0)衰減的項(xiàng)，而所討論的瑞雷面波正是具有這樣的性質(zhì)。為此將c改寫(xiě)為，表示瑞雷面波的傳播速度，改寫(xiě)為，取 為了